备战2025年高考二轮复习数学中低档大题规范练5（Word版附解析）

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1.(13分)(2024·辽宁葫芦岛一模)为了培养具有创新潜质的学生,某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营.选拔考试分为“Pythn编程语言”和“数据结构算法”两个科目,考生两个科目考试的顺序自选,若第一科考试不合格,则淘汰;若第一科考试合格,则进行第二科考试,无论第二科是否合格,考试都结束.“Pythn编程语言”考试合格得4分,否则得0分;“数据结构算法”考试合格得6分,否则得0分.
已知甲同学参加“Pythn编程语言”考试合格的概率为0.8,参加“数据结构算法”考试合格的概率为0.7.
(1)若甲同学先进行“Pythn编程语言”考试,记X为甲同学的累计得分,求X的分布列;
(2)为使累计得分的期望最大,甲同学应选择先回答哪类问题?并说明理由.
解(1)由题意X的所有可能取值为0,4,10,
所以P(X=0)=1-0.8=0.2,
P(X=4)=0.8×(1-0.7)=0.24,
P(X=10)=0.8×0.7=0.56,
所以X的分布列为
(2)甲同学选择先回答“Pythn编程语言”考试这类问题,理由如下:
由(1)可知E(X)=0×0.2+4×0.24+10×0.56=6.56.
甲同学先进行“数据结构算法”考试,记Y为甲同学的累计得分,则Y的所有可能取值为0,6,10,
P(Y=0)=1-0.7=0.3,
P(Y=6)=0.7×(1-0.8)=0.14,
P(Y=10)=0.7×0.8=0.56,
所以Y的分布列为
E(Y)=0×0.3+6×0.14+10×0.56=6.44,所以E(X)>E(Y),
所以甲同学选择先回答“Pythn编程语言”考试这类问题.
2.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+2=2an.
(1)求a2及数列{an}的通项公式;
(2)在an与an+1之间插入n个数,使得这(n+2)个数依次组成公差为d的等差数列,求数列1dn的前n项和Tn.
解(1)由题意,当n=1时,S1+2=a1+2=2a1,解得a1=2.
当n=2时,S2+2=2a2,即a1+a2+2=2a2,解得a2=4.
当n≥2时,由Sn+2=2an,可得Sn-1+2=2an-1,
两式相减,得an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,
综上,数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,故an=2·2n-1=2n,n∈N*.
(2)由(1)可得,an=2n,an+1=2n+1,在an与an+1之间插入n(n∈N*)个数,使得这(n+2)个数依次组成公差为d的等差数列,则有an+1-an=(n+1)dn,
∴dn=an+1-ann+1=2nn+1,∴1dn=n+12n,∴Tn=1d1+1d2+…+1dn=221+322+423+…+n+12n,
12Tn=2×(12)2+3×(12)3+…+n·(12)n+(n+1)·(12)n+1,两式相减,可得12Tn=221+122+123+…+12n-n+12n+1=1+122-12n+11-12-n+12n+1=32-n+32n+1,∴Tn=3-n+32n,n∈N*.
3.(15分)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为平行四边形,M,N分别为AB,DD1的中点.
(1)证明:DM∥平面A1BN;
(2)若底面ABCD为矩形,AB=2AD=4,异面直线DM与A1N所成角的余弦值为105,求点D到平面A1BN的距离.
(1)证明连接AB1,交A1B于点E,连接NE,ME,显然E为A1B的中点.
因为M为AB的中点,
所以ME∥AA1,且ME=12AA1.
因为N为DD1的中点,
所以DN∥AA1,且DN=12AA1,
所以ME∥DN,且ME=DN,
所以四边形EMDN为平行四边形,
所以EN∥DM.
又因为DM⊄平面A1BN,EN⊂平面A1BN,
所以DM∥平面A1BN.
(2)解由题意及几何知识得,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AD=4,直线AB,AD,AA1两两垂直,以A为坐标原点,分别以AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设AA1=2t(t>0),则B(4,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2t),M(2,0,0),N(0,2,t),B1(4,0,2t),
故DM=(2,-2,0),A1N=(0,2,-t).
设异面直线DM与A1N所成角为θ,
则cs θ=|cs|=|DM·A1N||DM||A1N|=|-4|22+(-2)2·22+(-t)2=24+t2=105,
解得t=1,故A1(0,0,2),N(0,2,1),B1(4,0,2),则A1B=(4,0,-2),A1N=(0,2,-1),BD=(-4,2,0).
设平面A1BN的一个法向量为n=(x,y,z),点D到平面A1BN的距离为d,
所以A1B·n=0,A1N·n=0,
即4x-2z=0,2y-z=0,取z=2,得n=(1,1,2).
所以d=|BD·n||n|=|-4×1+1×2+0×2|12+12+22=63,
即点D到平面A1BN的距离为63.
X
0
4
10
P
0.2
0.24
0.56
Y
0
6
10
P
0.3
0.14
0.56