精品解析：2025届江西省九校联考高三上学期11月期中考试数学试题

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考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间 120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解指数不等式求出集合，解不等式求出集合，然后即可求出结果.
【详解】故，
故,
故选：B.
2. 如图，在复平面内，复数z对应的点为P，则复数的虚部为（ ）
A. 45B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对应点坐标写出复数，再应用复数的乘除运算化简，即可得答案.
【详解】由图得，则，
所以，虚部为.
故选：C
3. 设等差数列的前n项和为，若，则的值为（ ）
A. 4B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用等差数列前n项和及相关性质求得，进而得到公差，即可求结果.
【详解】由题设，则，又，
所以，易知的公差，故，
所以.
故选：D
4. 已知，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指对数函数即余弦函数性质判断大小关系即可.
【详解】，，，则.
故选：A
5. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性结合给定条件证明充分性，举反例否定必要性即可.
【详解】因为，所以，
故，即是奇函数，
若，可得，故，
可得，故充分性成立，
令，，此时满足，
但不满足，故必要性不成立，故A正确.
故选：A
6. 已知α为锐角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用和差角正余弦公式，将条件化为，进而有，最后由二倍角正弦公式求结果.
【详解】由，
因为锐角，，所以.
故选：B
7. 已知函数有两个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】条件化为与的两个交点横坐标分别为，数形结合得到，应用对勾函数性质求目标式的范围.
【详解】由函数有两个零点，，
所以与的两个交点横坐标分别为，
结合图象知，，且，
则，
令，则，
又在区间0,1上单调递减，，
故选：B
8. 若函数定义域为，且为偶函数，关于点成中心对称，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题设得到是周期为的周期函数且关于对称，利用周期性、
对称性求得，最后应用周期性求结果.
【详解】由f2x+1偶函数，知的图象关于直线对称，
因图象关于点2,3成中心对称，则①，且，
所以
，
所以是周期为的周期函数.
令代入①，可得，而，
所以，
综上，.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的最大值为
C. 的最小值为15D. 的最小值是9
【答案】ACD
【解析】
【分析】由平面向量的基本定理及共线的推论得，再应用基本不等式、二次函数性质判断各项正误.
【详解】
因为，则，又，，共线，所以，A正确；
由，则，则，当且仅当时取等号，B错误；
由，当时有最小值，C正确；
因为，
当且仅当，即时，等号成立，D正确.
故选：ACD
10. 关于函数，则下列命题正确的有（ ）
A. 是偶函数B. 的值域是
C. 在上单调递增D. 都是的极值点
【答案】BC
【解析】
【分析】由判断A，根据的连续性及函数值的特征判断B，利用导数判断C、D.
【详解】对于A，，
所以函数是奇函数，所以A不正确.
对于B，因为函数在上连续，
且当时，，所以的值域是，所以B正确；
对于C，由，当，，
所以在单调递增，所以C正确.
对于D，，因为，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递增，所以不是函数的极值点，所以D不正确.
故选：BC
11. 已知是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为，且 ，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 任意的，
C. 存在，使得
D. 数列有最大值，无最小值
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题设数列递推关系求数列的前两项判断A；由且判断C；根据A、C分析判断B；作差法研究数列单调性，即可判断D.
【详解】令，则，所以，
令，得，又，可得，A正确；
由，，所以，C错误，
由，且，B正确，
由，得，所以
，即，
所以随的增大而减小，故为正项单调递减的无穷数列，且，
故数列有最大值2，无最小值，D正确；
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 已知向量，若，则___________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】应用空间向量垂直的坐标表示列方程求参数.
【详解】由题设.
故答案为：
13. 在中，角所对的边分别为，且满足，若的中线，且，则的面积为_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦边角关系及和角正弦公式、三角形内角性质整理化简可得，再由及向量数量积运算律求得，最后应用面积公式求面积.
【详解】由，得，
即，因为，所以，
因为，所以，
由，两边平方，
所以，则.
故答案为：
14. 已知函数 ，若存在实数且，使得 ，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】作函数的图象，根据图象分析可知与有三个交点，可得，，代入所求式子可得，令，利用导数求其最值，即可得结果.
【详解】根据题意作函数的图象，如图所示，
令，解得或，
令，解得或或，
由题意可知：与有三个交点，则，
此时由二次函数对称性知，
令，可得，
则，
令，则，
可知在内单调递增，则的最大值为，
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设函数.
（1）求的单调区间;
（2）若存在极值M，求证：.
【答案】（1）答案见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）讨论参数a，应用导数研究单调区间；
（2）讨论参数a，利用导数研究函数极值即可证.
【小问1详解】
由题设，
当时，恒成立，故的增区间为，无减区间；
当时，令，得，故上，上，
所以的减区间为，增区间为.
【小问2详解】
由（1）知，当时，在上单增，没有极值；
当时，在上单减，在上单增，
存在极小值
令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，在时取最大值0，
所以恒成立，即.
16. 已知各项全不为零的数列的前n项和为，且，其中 .
（1）求数列的通项公式；
（2）令，设数列的前n项和为，求证: .
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据递推式可得、，讨论奇偶性求通项公式即可；
（2）由（1）得，应用分组、裂项求和及等比数列前n项和求，即可证结论.
【小问1详解】
当时，由及，得，
当时，由，得，
因为，所以，
从而，，，
综上.
【小问2详解】
由，则，又，
所以，
.
17. 已知向量，函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）将的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若函数的图象与 的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求t的值.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由向量数量积的坐标表示及倍角正余弦公式得到，再由正弦型函数性质求减区间；
（2）由图象平移得到，令交点横坐标为，结合图象及等比数列性质求得，即可求参数值.
【小问1详解】
由题设，
令，，可得，，
所以单调递减区间为，；
【小问2详解】
由y=fx图象向左平移个单位，得，
将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则，
所以图象如下，
由图知，，令横坐标由小到大依次为，
由题意，可得，所以.
18. 已知函数
（1）求函数图象上点到直线的最短距离；
（2）若函数与的图象存在公切线，求正实数a的最小值；
（3）若恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由与平行且与相切的直线的切点到直线的距离最短，结合导数几何意义求切点坐标，应用点线距离公式求结果；
（2）利用导数几何意义求、的切线方程，结合公切线列方程得，应用导数研究右侧最值，即可得结果；
（3）问题化为恒成立，导数研究右侧最值求参数范围.
【小问1详解】
设与平行且与相切的直线，与的切点为，
由题设，令，知，则M到直线的距离最短，
所以.
小问2详解】
设点是公切线在上的切点，则，
则切线方程为，即，
设点是公切线在上的切点，则，
则切线方程为，即，
综上，，，消去得，
设函数，则，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
所以最大值为，则，即，
所以，实数a的最小值为.
【小问3详解】
由，从而恒成立，
设，则，
设，则，则在上递减且，
当时，，即单调递增；
当时，，即，单调递减；
所以得最大值为，则的取值范围是.
19. 对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合，记集合的元素个数为.定义变换T，变换T将集合A变换为集合
（1）若，求；
（2）若集合A 有n个元素，证明：的充要条件是集合A 中的所有元素能组成公差不为0的等差数列；
（3）若且{1,2,3,...,25,26}，求元素个数最少的集合A.
【答案】（1），；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）根据题设集合的定义写出即可；
（2）利用充分、必要性定义，结合等差数列定义判断推出关系，即可证结论；
（3）反证法确定，设元素个数为，得到的元素至多个，的元素至多个，结合已知得，、，最后分类讨论并结合定义确定元素个数最少的集合A.
【小问1详解】
若集合，则，；
【小问2详解】
令，不妨设.
充分性：设是公差为的等差数列，
则，，且.
所以共有个不同的值，即，
必要性：若，
因为，，
所以中有个不同的元素，，…，，，，…，，
任意的值都与上述某一项相等，
又，且，.
所以，所以是等差数列，且公差不为0.
【小问3详解】
首先证明：.
假设，中的元素均大于1，从而，
因此，，故，
与矛盾，因此，
设的元素个数为，的元素个数至多为，从而的元素个数至多为.
若，则元素个数至多为5，从而的元素个数至多为，而中元素至少为26，因此，
假设A有三个元素，设，且，
则1，2，，，，，，，，从而.
若，中比4大的最小数为，则与题意矛盾，故.
集合中最大数为，由于，故，从而，
（ⅰ）若，且，此时1，2，，，8，9，，，，有，，
在22与28之间可能的数为，，此时23，24，25，26不能全在中，不满足题意
（ⅱ）若，且，此时1，2，，，8，9，，，，有，
若，则或，解得或，
当时，，不满足题意.
当时，，且满足题意.
故元素个数最少的集合A为.
【点睛】关键点点睛：第三问，设的元素个数为，运用反证法、数列新定义判断并确定，，、为关键.