精品解析：重庆市第十八中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

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考试说明：1.考试时间120分钟2.试题总分150分3.试卷页数2页
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称命题的否定为特称命题判断即可.
【详解】命题“，”的否定是“，”.
故选：B
2. 设全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用集合并补运算求集合.
【详解】由题设，故.
故选：C
3. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最小值为”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据单调性定义得到充分性，举反例得到不必要，得到答案.
【详解】若函数在上单调递增，则函数在上的最小值为，充分性；
函数在上的最小值为，则不一定有函数在上单调递增，如在上不单调，最小值为，不必要.
故选：A.
4. 下列函数中，值域为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数、分式型函数等单调性及基本不等式求各函数在给定区间上的值域.
【详解】A：在上递减，在上递增，值域为，错；
B：在上递增，值域为，错；
C：在取等号，结合对勾函数性质知，在上值域为，错；
D：在上递增，故值域为，对.
故选：D
5. 已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由不等式性质比较相关自变量大小，根据幂函数的单调性比较函数值大小
【详解】由，则，又在上单调递增，
所以.
故选：A
6. 给定函数.，，，用表示，中的较小者，记为，则的最大值为（ ）
A. -6B. 2C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】先利用条件可求得，进而可求的最大值.
【详解】由，得，解得或，
由，得，解得，
又，
所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
所以的最大值为.
故选：C.
7. 函数满足：，，，当时，，，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，作出示意图，结合图象利用符号法解不等式即可.
【详解】因为，所以在上为偶函数，
又，当时，，所以在上单调递增，
又因为，所以，示意图如图：
由图象可知：时，，，则；
时，，，则；
时，，，则；
时，，，则；
时，，，则.
综上，的解集为.
故选：B.
8. “定义在上的函数为奇函数”的充要条件为“的图像关于坐标原点对称”，该结论可以推广为“为奇函数”的充要条件为“的图像关于对称”，则函数的对称中心为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由奇函数的定义列出方程，代入计算即可得到结果.
【详解】，
由奇函数的定义可知，，所以，
所以有，
整理得：，所以有,
解得：，，所以的对称中心为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】AD
【解析】
【分析】根据“定义域和对应关系相同即为同一函数”逐项进行判断，就可以得到答案.
【详解】对于A，的定义域为，定义域为，
所以与定义域相同，对应关系相同，所以与同一个函数，故A正确；
对于B，的定义域为，的定义域为，
所以与定义域相同，对应关系不相同，所以与不是同一个函数，故B不正确；
对于C，的定义域为，的定义域为，
所以与定义域不相同，对应关系相同，所以与不是同一个函数，故C不正确；
对于的定义域为，的定义域为，
所以与定义域相同，对应关系相同，所以与同一个函数，故D正确.
故选：AD.
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】对A，举反例判断即可；对B，根据分式的性质判断即可；对C，举反例判断即可；对D，根据不等式性质判断即可.
【详解】对A，若，则，故A错误；
对B，若，则，故，故B正确；
对C，若，，则，故C错误；
对D，若，则，，即，故D正确.
故选：BD
11. 已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意得出，在上的单调性，结合函数的单调性，逐项判断，即可求解.
【详解】因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且两函数在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，因为是定义在上的奇函数，所以.
对于A，由在上单调递减，得g−1>g2，故，故A正确；
对于B，，因为在上单调递增，所以，又在上单调递减，故gf−1=gf1>gf2，故B正确；
对于C选项，因为在上单调递减，故0=g0>g1>g2，又在上单调递减，故，故C正确；
对于D选项，在上单调递增，故，但不确定的大小关系，无法比较，故D错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用函数为奇函数可得，利用解析式可求得即可.
【详解】因为是定义在上奇函数，所以.
故答案为：.
13. 已知函数，若，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】通过分析在与两个区间段内的单调性知，在上单调递增，将抽象不等式转化为具体不等式，即可求出实数的取值范围.
【详解】因为时，单调递增，且，
因为时，单调递增，且，
所以在上单调递增，
因为f5a>f6−a2，所以，
所以或，所以实数的取值范围是.
故答案为：.
14. 若正实数，满足，则的最小值是__________.
【答案】4
【解析】
【分析】设，得到，假设得到矛盾，即有，结合且，将目标式化为，最后应用基本不等式求最小值.
【详解】设，则，即，
若，则，而，仅当时等号成立，
所以，显然与矛盾，所以，
由上，由，即，则，
所以
，当且仅当时等号成立，
所以，，即，时，目标式最小值为4.
故答案为：4
【点睛】关键点点睛：应用换元法，结合基本不等式得到，再由将目标式整理只为含的表达式为关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，.
（1）若，求；
（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求解分式不等式可得，再代入求解交集即可；
（2）根据题意可得，再根据是否为空集与集合区间端点列不等式求解即可.
【小问1详解】
则且，解得，故.
若则，
【小问2详解】
若是的必要不充分条件则，
若，则，解得，
若，则1−2m>−32+m≤41−2m≤2+m且等号不同时成立，解得.
综上有的取值范围为
16. 已知是上的奇函数.
（1）求的值，并用定义证明：在上单调递减；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
【答案】（1），证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数性质，结合已知条件可解；根据单调性的证明步骤逐步证明即可；
（2）转化为在上恒成立，求在的最小值即可.
【小问1详解】
由题意可知：，得：，经验证得，当时，为奇函数；
所以，对，不妨设，
，
因为，所以，，
则，即，
因此在上单调递减.
【小问2详解】
在上恒成立，即在上恒成立，
所以，
因为在上单调递减，且为上奇函数，
所以为上单调递减，
所以，所以.
17. 校本选修课是中学课程创新中的重要一环，某校生物组计划向学校申请面积为的矩形空地建造试验田，试验田为三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔，三块矩形区域的前、后与空地边沿各保留宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右边沿保留宽的通道，如图.设矩形空地长为，三块种植植物的矩形区域（如下图中阴影部分所示）的总面积为.

（1）求关于的函数关系式：
（2）求的最大值，及此时长的值.
【答案】（1）
（2）最大值为，此时长为
【解析】
【分析】（1）根据题意表示出空地宽为，再表示出关于的函数式；
（2）根据基本不等式求解.
【小问1详解】
由题知空地宽为，则；
【小问2详解】
因为，所以，
当且仅当时等号成立，所以，
所以的最大值为，此时长为.
18. 不动点原理是数学上一个重要的原理，也叫压缩映像原理，用初等数学可以简单的理解为：对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知二次函数
（1）若时，讨论不动点的个数；
（2）若，，为两个相异的不动点，且，，求的最小值.
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题设可得，利用判别式讨论其根的个数，即可得答案；
（2）由题设有有两个不等的正根，应用韦达定理代入目标式得到关于的表达式，最后应用基本不等式求最小值，注意取值条件.
【小问1详解】
由题设，令，整理得，
所以，
当或时，，此时有两个不同的不动点；
当或时，，此时有一个不动点；
当时，，此时没有不动点；
【小问2详解】
由题设，令，整理得，
且，
所以，，又，，则，
则
，
当且仅当时等号成立，
所以目标式最小值为.
19. 已知函数对任意，，恒有，且当时，，.
（1）证明：函数为奇函数；
（2）求的值；
（3），时，成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）通过赋值法及奇偶性的定义即可证明.
（2）令得，再结合抽象函数法则化简求值即可.
（3）先根据单调性的定义得在R上单调递减，然后利用恒成立法则把问题转化为在上恒成立，分情况讨论二次函数的对称轴，利用函数的单调性求得最值即可求解.
【小问1详解】
因为，都有，
所以令，有，解得.
令，有，
所以，所以为奇函数.
【小问2详解】
令时，有，所以，
.
【小问3详解】
不妨设，因为时，，所以，
所以，所以在R上单调递减.
因为在R上单调递减，所以时，，
，时，，
即时，恒成立，
即在上恒成立，又对称轴为，
①当，即时，在上单调递增，
则，解得，此时无解；
②当，即时，，
解得，此时；
③当，即时，在上单调递减，
则，解得，此时无解；
综上实数的取值范围为