陕西省渭南市富平县迤山中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题

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一．单选题：1.C 2.A 3.B 4.C 5.D 6.C 7.C 8.A 9.C
二．多选题： 10.AB 11.AD 12.AC
三．填空题：13.1 14. 9 15. 16. 或
四．解答题：
17.解：（1）∵＝（﹣2，3，5），＝（4，1，a），＝（6，b，﹣2），
四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，
∴（4，1，a）＝（﹣2，3，5）+（6，b，﹣2）＝（4，b+3，3），
∴，解得a＝3，b＝﹣2．
（2）∵＝（﹣2，3，5），＝（4，1，a），＝（6，b，﹣2），
∴＝＝（8，b﹣3，﹣7），
∵四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴＝（4，1，a）•（8，b﹣3，﹣7）＝32+b﹣3﹣7a＝0，
∴b﹣7a+29＝0．
18.解：（1）建立如图所示：
A﹣xyz空间直角坐标系，
则A1（0，0，2），B1（1，0，2），E（0，1，1），
所以，
所以点A1到直线B1E的距离；
（2），
设平面AB1E的法向量为：，
则，
取x＝2，则，
所以点A1到平面AB1E的距离为．
19.（1）证明：取PA的中点N，连结MN，BN，
∵M，N分别是PD，PA的中点，
∴MN∥AD，MN＝AD，
又BC∥AD，BC＝AD，
∴MN∥BC，MN＝BC，
∴四边形BCMN是平行四边形，
∴CM∥BN，又CM⊄平面PAB，BN⊂平面PAB，
∴CM∥平面PAB．
（2）取AD的中点O，连结PO，OB，
∵△PAD是等边三角形，
∴PO⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD，
∵BC＝AD＝OD，BC∥AD，BC⊥CD，
∴四边形BCDO是正方形，
以O为原点，以OD，OB，OP为坐标轴建立空间坐标系，
则A（﹣1，0，0），B（0，1，0），P（0，0，），C（1，1，0），D（1，0，0），
∴＝（1，1，0），＝（1，0，），＝（0，﹣1，0），
设平面PAB的法向量为＝（x，y，z），则，
∴，令z＝1得＝（﹣，，1），
∴cs＜＞＝＝＝﹣．
∴直线CD与平面PAB所成角的正弦值为|cs＜＞|＝．
∴直线CD与平面PAB所成角的余弦值为
20.证明：（1）由已知得AD∥BE，CG∥BE，∴AD∥CG，
∴AD，CG确定一个平面，
∴A，C，G，D四点共面，
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，∴AB⊥面BCGE，
∵AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCGE．
解：（2）作EH⊥BC，垂足为H，
∵EH⊂平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，
∴EH⊥平面ABC，
由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC＝60°，
∴BH＝1，EH＝，
以H为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系H﹣xyz，
则A（﹣1，1，0），C（1，0，0），G（2，0， ），
＝（1，0，），＝（2，﹣1，0），
设平面ACGD的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝3，得＝（3，6，﹣），
又平面BCGE的法向量为＝（0，1，0），
∴cs＜＞＝＝，
∴二面角B﹣CG﹣A的大小为30°．
21.解：（Ⅰ）∵直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2，
∴点（，1）在椭圆E上，
又∵离心率是，
∴，解得a＝2，b＝，
∴椭圆E的方程为：+＝1；
（Ⅱ）结论：存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立．
理由如下：
当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，
如果存在定点Q满足条件，则有＝＝1，即|QC|＝|QD|．
∴Q点在直线y轴上，可设Q（0，y0）．
当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M、N两点，
则M、N的坐标分别为（0，）、（0，﹣），
又∵＝，∴＝，解得y0＝1或y0＝2．
∴若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）．
法一：
下面证明：对任意直线l，均有．
当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立．
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx+1，
A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），
联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2＝0，
∵Δ＝（4k）2+8（1+2k2）＞0，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，
∴+＝＝2k，
已知点B关于y轴对称的点B′的坐标为（﹣x2，y2），
又kAQ＝＝＝k﹣，kQB′＝＝＝﹣k+＝k﹣，
∴kAQ＝kQB′，即Q、A、B′三点共线，
∴＝＝＝．
法二：
当斜率存在时，过点A作AA'⊥y轴，垂足为A'，过点B作BB'⊥y轴，垂足为B'，易知AA'∥BB'，
则△AA'P相似于△BB'P，则＝，
若证上命题，则需证直线QA与直线QB交于点Q（0，2）时关于y轴对称，则要证kQA+kQB＝0，
联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2＝0，
∵Δ＝（4k）2+8（1+2k2）＞0，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，∴+＝＝2k，
kAQ＝＝＝k﹣，kQB＝＝＝k﹣＝﹣k+，可证得kQA+kQB＝0，
所以△QAA'相似于△QBB'
进而得证：＝＝，
当斜率不存在时，由上可知，结论也成立．
故存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立．