精品解析：重庆市渝高中学校2024-2025学年高二上学期期中联合检测数学试题

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（满分150分.考试用时120分钟.）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的学校姓名、考试室号、座位号填写在答题卷上.考生要认真核对答题卷条形码上的信息与本人所填写信息是否一致.
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需要改动用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号.第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效.
3.考试结束.监考人员将试卷、答题卷一并收回.
一、单选题（每题5分）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可求解.
【详解】将直线变形为，即斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
因为，
所以.
故选：A.
2. 已知，若直线与直线垂直，则的最小值为（ ）
A. 1B. 3C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】根据两直线方程表达式及其位置关系可得，在利用基本不等式即可求得的最小值.
【详解】由题可知，两条直线斜率一定存在，
又因为两直线垂直，所以斜率乘积为，即，即，
整理可得，
所以，当且仅当时，等号成立；
因此的最小值为.
故选：D
3. 椭圆的焦距是2，则m的值是（ ）
A. 3B. 5C. 3或5D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】分焦点在轴和轴上两种情况求解即可.
【详解】∵，∴．
当椭圆的焦点在x轴上时，，，．
∴，．
当圆的焦点在y轴上时，，，
∴，∴．
综上，m的值是3或5．
故选：C
4. 已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用待定系数法求得圆C的一般方程，进而得到圆C的标准方程.
【详解】设圆C的方程为，则圆心，
则有，解之得,
则有圆C的方程为，即
故选：C
5. 已知点是曲线上任意一点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
在平面直角坐标系中作出曲线，这是一个半圆，的几何意义是半圆上的点与定点连线的斜率，由几何意义易得结论．
【详解】曲线是以原点为圆心，2为半径的上半圆，如图，表示半圆上的点与定点连线的斜率，
由图，，当时，直线与半圆相切，
∴，即的取值范围是．
故选：B．
【点睛】方法点睛：本题考查分式的取值范围，解题方法是数形结合思想，利用分式的几何意义：可以表示动点与定点连线的斜率，从而作出动点所在曲线，由几何意义易得解．
6. 已知直线与椭圆相交于A、B，且AB的中点为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用点差法求得关系，再利用椭圆的离心率公式可得答案.
【详解】设两点坐标分别为，因为且AB的中点为，
所以，因为在椭圆上，
所以①，
两式相减，得，
根据，上式可化简为，
整理得，又，所以，即，
所以
故选：B.
7. 已知双曲线左焦点为，渐近线方程为，焦距为8，点的坐标为，点为的右支上的一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用双曲线的定义及渐近线方程，将转化为的形式，通过点共线判断并计算的最小值即可.
【详解】如图所示
由题意知，解得
记的右焦点为，即，
由双曲线的定义，得，即
所以，
当且仅当点在线段上时等号成立,
所以的最小值为.
故选：C.
8. 如图，已知抛物线，圆，过C点的直线l与抛物线和圆依次交于P，M，N，Q，则等于（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】设，，由抛物线的焦半径公式求得，，按直线斜率存在和不存在分类讨论，斜率不存在时直接求出，斜率存在时，设出直线方程，代入抛物线方程后应用韦达定理得结论．
【详解】圆，点C与抛物线的焦点重合，设，，所以，，
∴．
①当直线l的斜率不存在时，，∴；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为(),
与抛物线方程联立消y，得，
∴．
综上，.
故选：A．
二、多选题（每题6分）
9. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线l必过点
B. 直线l与圆E必相交
C. 圆与圆E有3条公切线
D. 当时，直线l被圆E截得的弦长为
【答案】BC
【解析】
【分析】由直线方程确定过定点，判断定点与圆位置关系判断A、B；根据两圆圆心距离与半径间的关系判断C；应用点线距离及弦长的几何求法求弦长.
【详解】A：由，则必过定点，错；
B：将定点代入圆，有，
故点在圆内，即直线l与圆E必相交，对；
C：由题设且半径为，而且半径为，
所以，即两圆外切，故两圆有3条公切线，对；
D：由题设，则到直线的距离，
故直线l被圆E截得的弦长为，错.
故选：BC
10. 已知抛物线过点，则（ ）
A. 拋物线的标准方程可能为
B. 挞物线的标准方程可能为
C. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条
D. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意设出抛物线的方程，利用点在抛物线上及直线与抛物线的位置关系即可求解.
【详解】对于选项A，当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为，将代入抛物线中得，则拋物线的方程为，故A正确；
对于选项B，当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为，将代入拋物线中得，则抛物线为，故B正确；
对于C、D选项，过点与对称轴平行的直线，以及抛物线在点处的切线都与抛物线只有一个公共点，故C错误，D正确.
故选：ABD.
11. “嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器，是中国探月工程的收官之战，实现了月球区域着陆及采样返回.如图所示，月球探测器飞到月球附近时，首先在以月球球心为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在点处变轨进入以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在点处变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为，圆形轨道Ⅲ的半径为，则以下说法正确的是（ ）

A. 椭圆轨道Ⅱ的焦距为
B. 椭圆轨道Ⅱ的短轴长为
C. 若不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随的增大而增大
D. 若不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随的增大而增大
【答案】AC
【解析】
【分析】根据图中几何关系列方程组求出a，c，然后可得b，可判断AB；分离常数，利用反比例函数的性质可判断CD.
【详解】在椭圆中，由图可知，解得，
所以，所以，A正确，B错误；
，当不变时，由反比例函数的性质可知，函数在上单调递增，C正确；
，当不变时，由反比例函数的性质可知，函数在上单调递减，D错误.
故选：AC
三、填空题（每题5分）
12. 过点作圆的切线，则切线方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】求出切点与圆心连线的斜率后可得切线方程.
【详解】由题意可知：圆的圆心为，
因为点在圆上，故切线必垂直于切点与圆心连线，
而切点与圆心连线的斜率为，故切线的斜率为，
故切线方程为：即.
故答案为：.
13. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，若点，则的最小值为___________；
【答案】5
【解析】
【分析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得．
【详解】抛物线C：y2=4x的准线为x=﹣1．
设点P在准线上的射影为D，
则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|，
要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小．
当D，P，A三点共线时，|PA|+|PD|最小，为4﹣（﹣1）=5．
故答案为5．
【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，是解题的关键．
14. 若双曲线与直线没有交点，则双曲线离心率的取值范围为_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用双曲线渐近线方程为，对于与双曲线无交点只需或，可得，进而求得双曲线离心率的取值范围.
【详解】依题意可得双曲线渐近线方程为，直线与双曲线没有交点，
则，即，
易知，又已知双曲线离心率,
所以双曲线离心率的取值范围为.
故答案为：
四、解答题
15. 已知直线．
（1）经过点且与直线平行的直线；
（2）经过点且与直线垂直的直线；
（3）经过直线与的交点，且在两坐标上的截距相等的直线．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据平行直线的直线系方程假设出直线，再根据题意求解即可；
（2）根据垂直直线直线系方程假设出直线，在根据题意求解即可；
（3）先求出直线与的交点，再分截距为0和截距不为0两种情况讨论即可.
【小问1详解】
设所求直线的方程为，
依题意有，解得，
所以所求直线方程为；
【小问2详解】
设所求直线方程，
依题意有，解得，
所以所求直线方程为；
【小问3详解】
联立，解得，即直线与的交点为，
当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为，代入得，此时；
当直线的截距都不为时，假设直线方程为，
依题意，解得，此时直线方程为，即
综上所述或.
16 已知圆C过三点．
（1）求圆C的方程；
（2）斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若为等腰直角三角形，求直线l的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据圆过点，得到圆心在上，设圆心坐标，再由圆心到圆上的点的距离相等求解；
（2）设直线l的方程为：，根据为等腰直角三角形，由圆心到直线的距离求解.
【小问1详解】
解：因为圆过点，故圆心在上，
设圆心坐标，
则，解得．
故其半径．
故圆的方程为：；
【小问2详解】
设直线l的方程为：，
因为为等腰直角三角形，
∴圆心到直线的距离，即，
解得或－8，所以l：或．
17. 已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.
（1）求的方程；
（2）经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据双曲线方程得到渐近线方程，即可得到，再由点到线的距离公式求出，最后根据计算可得；
（2）设，，直线的斜率为，利用点差法计算可得；
【小问1详解】
解：双曲线的渐近线为，即，
所以，
又焦点到直线的距离，所以，
又，所以，，所以双曲线方程为
【小问2详解】
解：设，，直线的斜率为，则，，
所以，，
两式相减得，即
即，所以，解得，
所以直线的方程为，即，
经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，
所以直线的方程为.
18. 已知抛物线，其焦点为，点在抛物线C上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）为坐标原点，为抛物线上不同的两点，且，
（i）求证直线过定点；
（ii）求与面积之和的最小值．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）利用焦半径公式建立方程，解出参数，得到抛物线方程即可.
（2）（i）设出，利用给定条件建立方程求出，最后得到定点即可.
（ii）利用三角形面积公式写出面积和的解析式，再利用基本不等式求最小值即可.
【小问1详解】
抛物线，
其焦点为，准线方程为，
可得，且，
解得（另一个根舍去），，
则抛物线的方程为；
【小问2详解】
（i）
如图，设的方程为，，
联立，可得，
则，又，，
由，可得，解得（另一个根舍去），
所以直线恒过定点；
（ii）由上小问可得，不妨设，
则与面积之和为，
，
当且仅当，时，上式取得等号，
则与面积之和的最小值为．
19. 若一个椭圆的焦距为质数，且离心率的倒数也为质数，则称这样的椭圆为“质朴椭圆”.
（1）证明：椭圆为“质朴椭圆”.
（2）是否存在实数，使得椭圆为“质朴椭圆”？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
（3）设斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与交于，两点，，试问是否为“质朴椭圆”，说明你的理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）不存在实数，理由见解析
（3）为“质朴椭圆”，理由见解析
【解析】
【分析】（1）（2）根据椭圆的方程可得焦距与离心率，再根据“质朴椭圆”的定义判断即可；
（3）联立直线与椭圆，根据韦达定理及弦长公式可得，进而可判断.
【小问1详解】
由已知椭圆，
即，，
则，
所以焦距，离心率，即，
所以该椭圆的焦距为质数，离心率的倒数也为质数，
即椭圆为“质朴椭圆”；
【小问2详解】
椭圆的焦距为，离心率，
若存在实数，使得椭圆为“质朴椭圆”，
则，均为质数，
又，所以，，，，，
即，，，，，
则，，，，，这些数都不是质数，
所以不存在实数，使得椭圆为“质朴椭圆”；
【小问3详解】
设的右焦点为，
则直线方程为，
设直线与椭圆的交点为Ax1,y1，Bx2,y2，
联立，
得，，
则，，
，
解得，
则的焦距为为质数，
离心率，其倒数为质数，
所以为“质朴椭圆”.