江西省南昌市第一中学等校联考2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份江西省南昌市第一中学等校联考2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形是轴对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下面各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．5，11，6B．8，8，16C．10，5，4D．6，9，14
3．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
4．（3分）等腰三角形的一个角是30°，则它的底角是（ ）
A．30°B．30°或75°C．75°D．65°
5．（3分）如图，由∠1＝∠2，BC＝DC，AC＝EC，得△ABC≌△EDC的根据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
6．（3分）如图，△ABC中，点E、F分别是BA、BC延长线上一点，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，连接PC，过点P作PM⊥BE，PN⊥BC垂足分别是点M、N，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；
②PC＝AP；
③AM+CN＝AC；
④∠ABC+2∠APC＝180°．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣5）关于x轴对称点的点的坐标是 ．
8．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝37°，则∠B的度数为 ．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是 ．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为15cm，则AC+BC＝ ．
11．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，则∠ADE＝ ．
12．（3分）如图，已知∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点画射线交线段OB于点C（点C不与点O、点B重合）．若△AOC中，有一个内角度数是另一个内角度数的2倍，则∠ACB的度数是 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）一个三角形的两边b＝2，c＝7．
（1）当各边均为整数时，可以组成 个不同的三角形．
（2）若此三角形是等腰三角形，则其周长是多少？
14．（6分）如图，已知AB∥CD，AC平分∠BAD．
（1）求证：AD＝DC；
（2）若∠D＝120°，AC⊥CB，求∠B的度数．
15．（6分）放风筝是中国民间的传统游戏之一，风筝又称风琴，纸鹞，鹞子，纸鸢．如图1，小华制作了一个风筝，示意图如图2所示，AB＝AC，DB＝DC，他发现AD不仅平分∠BAC，且平分∠BDC，你觉得他的发现正确吗？请说明理由．
16．（6分）（1）如图1，已知BE，CD是△ABC的角平分线，请你仅用无刻度的直尺作出∠BAC的平分线；
（2）如图2，已知∠ABC＝∠DCB，且BD，CA分别平分∠ABC与∠DCB，AC与BD相交于O，请你仅用无刻度的直尺作出∠BOC的平分线．
17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）请直接写出点C关于y轴的对称点C'的坐标： ；
（3）在y轴上找一点P，使得△PAC周长最小．（保留作图痕迹）
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B＝30°，CD＝1，求BD的长．
19．（8分）如图，点B、C、D在同一条直线上，AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD．
（1）求证：△ABC≌△CDE．
（2）若∠ACB＝37°，求∠AED的度数．
20．（8分）如图，△ABC为等边三角形，D为BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作等边三角形CDE，连接AE．
（1）求证：BD＝AE；
（2）判断AE与BC的位置关系，并说明理由．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）如图1，在△ABC中，AD是它的角平分线．求证：S△ABD：S△ACD＝AB：AC．
（1）请你完成这道题的证明；
（2）若添加一个条件∠C＝2∠B，如图2，请同学们去探究线段AB、AC、CD三者的数量关系，请猜想它们的数量关系，并完成证明过程．
22．（9分）在△ABC中，∠B＝60°，D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE折叠，点A的对应点为点F．
（1）如图1，若点F恰好落在边BC上，判断△BDF的形状，并证明；
（2）如图2，若点F落在△ABC内，且DF的延长线恰好经过点C，CF＝EF，求∠A的度数；
（3）若AB＝9，当△BDF是直角三角形时，直接写出AD的长．
六、解答题（本大题共12分）
23．（12分）CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面三个问题：
①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则∠BCE ∠CAF，BE CF；（填“＞”，“＜”或“＝”）；并证明这两个结论．
②如图2，若∠BCA＝80°，要使∠BCE与∠CAF有①中的结论，则∠α＝ ．
③如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
2024-2025学年江西省南昌一中等校联考八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形是轴对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．
2．（3分）下面各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．5，11，6B．8，8，16C．10，5，4D．6，9，14
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、∵5+6＝11，∴不能组成三角形，故A选项错误；
B、∵8+8＝16，∴不能组成三角形，故B选项错误；
C、∵5+4＜10，∴不能组成三角形，故C选项错误；
D、∵6+9＞14，∴能组成三角形，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，是基础题，熟记三边关系是解题的关键．
3．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360＝720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n﹣2）×180°＝2×360°，
解得：n＝6．
即这个多边形为六边形．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
4．（3分）等腰三角形的一个角是30°，则它的底角是（ ）
A．30°B．30°或75°C．75°D．65°
【分析】分两种情况：当等腰三角形的顶角为30°时；当等腰三角形的一个底角为30°；然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的顶角为30°时，
∴它的两个底角的度数都＝＝75°；
当等腰三角形的一个底角为30°，
∴它的顶角度数＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
综上所述：它的底角度数为75°或30°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键．
5．（3分）如图，由∠1＝∠2，BC＝DC，AC＝EC，得△ABC≌△EDC的根据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
【分析】根据∠1＝∠2，求出∠BCA＝∠DCE，根据SAS证△ABC≌△ECD即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DCA＝∠2+∠DCA，
即∠BCA＝∠DCE，
在△ABC和△ECD中
，
∴△ABC≌△ECD（SAS），
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，关键是找到证明△ABC和△ECD全等的三个条件，题目比较好，培养了学生运用定理进行推理的能力．
6．（3分）如图，△ABC中，点E、F分别是BA、BC延长线上一点，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，连接PC，过点P作PM⊥BE，PN⊥BC垂足分别是点M、N，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；
②PC＝AP；
③AM+CN＝AC；
④∠ABC+2∠APC＝180°．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD和Rt△PCD≌Rt△PCN，根据全等三角形的性质得出可判断③和④．
【解答】解：过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°．
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，AM＝AD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，CN＝CD，
∴AM+CN＝AD+CD＝AC，故③正确；
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，故④正确；
PA与PC不一定相等，故②错误，
故选：C．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣5）关于x轴对称点的点的坐标是 （1，5） ．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：点P（1，﹣5）关于x轴对称点的点的坐标是：（1，5）．
故答案为：（1，5）．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确得出掌握对称点的性质是解题关键．
8．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝37°，则∠B的度数为 53° ．
【分析】根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝37°，
∴∠B的度数为180°﹣90°﹣37°＝53°，
故答案为：53°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中两锐角互余是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是 80° ．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再由BD平分∠ABC得出∠DBC的度数，进而得出结论．
【解答】解：∵∠A＝50°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，
∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠DBC＝180°﹣70°﹣30°＝80°．
故答案为：80°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解题的关键．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为15cm，则AC+BC＝ 15cm ．
【分析】根据线段垂直平分线得出AD＝DB，进而利用三角形的周长解答即可．
【解答】解：∵DE垂直平分AB交BC于点D，
∴AD＝DB，
∵△ACD的周长为15cm，
即AC+AD+CD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝15cm，
故答案为：15cm．
【点评】此题考查线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线得出AD＝DB解答．
11．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，则∠ADE＝ 20° ．
【分析】先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：∠B＝∠C＝40°，从而可得∠BDE＝∠BED＝70°，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得∠ADB＝90°，从而利用角的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝＝40°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝＝70°，
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝20°，
故答案为：20°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
12．（3分）如图，已知∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点画射线交线段OB于点C（点C不与点O、点B重合）．若△AOC中，有一个内角度数是另一个内角度数的2倍，则∠ACB的度数是 90°或100°或140° ．
【分析】根据题意，对“有一个内角度数是另一个内角度数的2倍”这个条件进行分类讨论，结合三角形的内角和进行求解即可．
【解答】解：∵∠MON＝60°，AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
①当∠AOC是∠OAC的2倍时，则∠OAC＝30°，
∴∠ACO＝180°﹣∠AOC﹣∠OAC＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACO＝90°；
②当∠AOC是∠ACO的2倍时，则点C与点B重合，不符合题意；
③当∠OAC是∠ACO的2倍时，则∠OAC+∠ACO＝180°﹣∠AOB＝120°，
∴∠OAC＝80°，∠ACO＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACO＝140°；
④当∠ACO是∠OAC的2倍时，则∠OAC+∠ACO＝180°﹣∠AOB＝120°，
∴∠OAC＝40°，∠ACO＝80°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACO＝100°；
综上所述，∠ACB的度数为：90°或100°或140°．
故答案为：90°或100°或140°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角的关系．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）一个三角形的两边b＝2，c＝7．
（1）当各边均为整数时，可以组成 3 个不同的三角形．
（2）若此三角形是等腰三角形，则其周长是多少？
【分析】（1）根据三角形三边关系得出第三边长的范围，进而解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）设第三边长为a，则5＜a＜9，
由于三角形的各边均为整数，则a＝6或7或8，因此有三个三角形，
故答案为：3；
（2）①当b为腰时，a＝2＝b．2+2＜7不能构成三角形，所以不成立；
②当c为腰时，a＝7＝c．7+2＞7能构成三角形，此时三角形的周长为7+7+2＝16；
所以当此三角形是等腰三角形时，其周长是16．
【点评】此题考查三角形，关键是根据三角形的三边关系和等腰三角形的性质解答．
14．（6分）如图，已知AB∥CD，AC平分∠BAD．
（1）求证：AD＝DC；
（2）若∠D＝120°，AC⊥CB，求∠B的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠2＝∠3，根据角平分线的性质得出∠1＝∠3，等量代换得出∠1＝∠2，进而证得AD＝DC；
（2）由（1）知∠1＝∠2＝∠3，根据∠D＝120°求出∠3，根据AC⊥CB得出∠ACB＝90°，进而求出∠B．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3，
∵AC平分∠BAD，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
AD＝DC；
（2）由（1）知∠1＝∠2＝∠3，
∵∠D＝120°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，
∵AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠3＝180°﹣90°﹣30°＝60°．
【点评】本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质并灵活运用．
15．（6分）放风筝是中国民间的传统游戏之一，风筝又称风琴，纸鹞，鹞子，纸鸢．如图1，小华制作了一个风筝，示意图如图2所示，AB＝AC，DB＝DC，他发现AD不仅平分∠BAC，且平分∠BDC，你觉得他的发现正确吗？请说明理由．
【分析】利用SSS证明△ABD≌△ACD即可解决问题．
【解答】解：结论正确．
证明如下：
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，∠BDA＝∠CDA，
即AD不仅平分∠BAC，且平分∠BDC，
∴结论正确．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，比较简单．
16．（6分）（1）如图1，已知BE，CD是△ABC的角平分线，请你仅用无刻度的直尺作出∠BAC的平分线；
（2）如图2，已知∠ABC＝∠DCB，且BD，CA分别平分∠ABC与∠DCB，AC与BD相交于O，请你仅用无刻度的直尺作出∠BOC的平分线．
【分析】（1）连接A点和BE与CD的交点，并延长交BC于F，则AF满足条件；
（2）BA、CD的延长线相交于P点，可证明△PAB和△OBC都为等腰三角形，同时可判断O点为△PBC的角平分线的交点，则延长PO交BC于Q，所以OQ满足条件．
【解答】解：（1）如图1，AF为所作；
（2）如图2，OQ为所作．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图．也考查了三角形三条角平分线相交于点．
17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）请直接写出点C关于y轴的对称点C'的坐标： （1，2） ；
（3）在y轴上找一点P，使得△PAC周长最小．（保留作图痕迹）
【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）根据轴对称的性质即可写出点C关于y轴的对称点C'的坐标
（3）连接AC′交y轴于点P，根据两点之间线段最短即可使得△PAC周长最小．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）点C关于y轴的对称点C'的坐标为（1，2）；
故答案为：（1，2）；
（3）如图，点P即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B＝30°，CD＝1，求BD的长．
【分析】（1）根据角平分线性质求出CD＝DE，根据HL定理求出另三角形全等即可；
（2）求出∠DEB＝90°，DE＝1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝ED，∠DEA＝∠C＝90°，
∵在Rt△ACD和Rt△AED中
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；
（2）∵DC＝DE＝1，DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∵∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2
【点评】本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含30度角的直角三角形性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
19．（8分）如图，点B、C、D在同一条直线上，AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD．
（1）求证：△ABC≌△CDE．
（2）若∠ACB＝37°，求∠AED的度数．
【分析】（1）由“ASA”可证△ABC≌△CDE；
（2）由全等三角形的性质可得AC＝CE，∠ACB＝∠CED＝37°，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，
∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°．
∴∠BAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠DCE＝90°．
∴∠BAC＝∠DCE．
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA）．
（2）解：∵△ABC≌△CDE，
∴AC＝CE，∠ACB＝∠CED＝37°，
∴∠CAE＝∠AEC＝45°，
∴∠AED＝37°+45°＝82°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
20．（8分）如图，△ABC为等边三角形，D为BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作等边三角形CDE，连接AE．
（1）求证：BD＝AE；
（2）判断AE与BC的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，然后证明出△BCD≌△ACE（SAS），进而求解即可；
（2）首先根据全等三角形的性质得到∠B＝∠CAE＝60°，然后利用等边三角形的性质得到∠BAC＝60°，然后利用三角形内角和定理得到∠EAD＝60°，进而得到∠B＝∠EAD＝60°，进而求解即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC，△CDE为等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BAC+∠ACD＝∠DCE＝+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE；
（2）解：∵△BCD≌△ACE，
∴∠B＝∠CAE＝60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠EAD＝180°﹣∠BAC﹣∠CAE＝60°，
∴∠B＝∠EAD＝60°，
∴BC∥AE．
【点评】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的判定等知识，解题的关键是证明出△BCD≌△ACE（SAS）．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）如图1，在△ABC中，AD是它的角平分线．求证：S△ABD：S△ACD＝AB：AC．
（1）请你完成这道题的证明；
（2）若添加一个条件∠C＝2∠B，如图2，请同学们去探究线段AB、AC、CD三者的数量关系，请猜想它们的数量关系，并完成证明过程．
【分析】（1）根据AD平分∠BAC，作DE⊥AB，DF⊥AC，由角平分线性质可知DE＝DF，△ABD与△ACD等高，面积比即为底边的比．
（2）在AB上截取AE＝AC，证明△ADE≌△ADC，得出AE＝AC，DE＝DC，∠C＝∠AED，由外角性质可得∠B＝∠BDE，得出BE＝DE＝DC，可得结论．
【解答】（1）证明：作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F，如图1，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
∴S△ABD：S△ACD＝
＝AB：AC．
（2）解：AB＝AC+CD．
证明：在AB上截取AE＝AC，连接DE，如图2，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAC，
又AD＝AD，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴AE＝AC，DE＝DC，∠C＝∠AED，
又∠AED＝∠B+∠BDE＝∠C，且∠C＝2∠B，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴BE＝DC，
∴AB＝AE+EB＝AC+CD，即AB＝AC+CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，三角形计算面积的方法等知识点，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．
22．（9分）在△ABC中，∠B＝60°，D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE折叠，点A的对应点为点F．
（1）如图1，若点F恰好落在边BC上，判断△BDF的形状，并证明；
（2）如图2，若点F落在△ABC内，且DF的延长线恰好经过点C，CF＝EF，求∠A的度数；
（3）若AB＝9，当△BDF是直角三角形时，直接写出AD的长．
【分析】（1）根据平行线的性质即可求出相等的角，再根据等边三角形的判定即可得到结论；
（2）根据折叠的性质可知角相等，再根据三角形的内角和定理即可得到结果；
（3）根据题意分两种情况，再根据图形以及折叠的性质得到AD的长度．
【解答】解：（1）△BDF是等边三角形，理由如下：
∵∠B＝60°，DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝60°，
由折叠可得∠FDE＝∠ADE＝60°，
∴∠BDF＝60°，
∴∠DFB＝∠B＝∠BDF＝60°，
∴△BDF是等边三角形；
（2）由折叠可得∠A＝∠DFE，
∵∠FDE＝∠ADE＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵CF＝EF，
∴∠FEC＝∠FCE，
设∠FEC＝∠FCE＝x，则∠A＝∠DFE＝∠FEC+∠FCE＝2x，
在△ADC中，∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即2x+x+120°＝180°，
解得x＝20°，
∴∠A＝2x＝40°；
（3）AD的长是3或6，理由如下：
当∠BFD＝90°时，点F在△ABC内（如图所示），
∵∠BDF＝60°，
∴∠DBF＝30°，
∴BD＝2DF，
由折叠得DF＝AD，
∴BD＝2AD，
∴3AD＝9，
∴AD＝3；
当∠DBF＝90°时，点F在△ABC外，
同理可得AD＝DF＝2BD，
∴AD＝6．
【点评】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，30°直角三角形的性质，平行线的性质，根据题意画出图形是解题的关键．
六、解答题（本大题共12分）
23．（12分）CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面三个问题：
①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则∠BCE ＝ ∠CAF，BE ＝ CF；（填“＞”，“＜”或“＝”）；并证明这两个结论．
②如图2，若∠BCA＝80°，要使∠BCE与∠CAF有①中的结论，则∠α＝ 100° ．
③如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ∠α+∠BCA＝180° 使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
【分析】（1）①证明△BCE≌△CAF（AAS），得出BE＝CF，∠BCE＝∠CAF，
②由三角形外角的性质可得出结论；
③证明△BCE≌△CAF（AAS），得出BE＝CF，CE＝AF，∠BCE＝∠CAF，则可得出结论；
（2）证明△BEC≌△CFA（AAS），推出BE＝CF，CE＝AF即可．
【解答】解：（1）①∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB＝90°，
∴∠BEC＝∠AFC＝90°，
∴∠BCE+∠ACF＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠CBE＝∠ACF，
在△BCE和△CAF中，
，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE＝CF，∠BCE＝∠CAF，
故答案为：＝，＝．
②∠α＝100°时，①中的结论仍然成立；
证明：∵∠BEC＝∠CFA＝a＝100°，
∴∠BCE+∠CBE＝80°，
∵∠ACB＝∠BCE+∠ACF＝80°，
∴∠CBE＝∠ACF，
∴∠BCE＝∠CAF；
③∠α+∠BCA＝180°，①中的两个结论仍然成立．
证明：∵∠BCE+∠BED＝180°，
∴∠BCA＝∠BED，
∵∠BED＝∠CBE+∠BCE，∠BCA＝∠BCE+∠ACF，
∴∠CBE＝∠ACF，
在△BCE和△CAF中，
，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE＝CF，CE＝AF，∠BCE＝∠CAF，
∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF；
故答案为：∠α+∠BCA＝180°；
（2）EF＝BE+AF．
理由：∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠a＝∠BCA，
又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC＝180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB＝180°，
∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACF，
∴∠EBC＝∠ACF，
在△BEC和△CFA中，
，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴AF＝CE，BE＝CF，
∵EF＝CE+CF，
∴EF＝BE+AF．
【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．