江西省新余市第四中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

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试卷总分：150分；考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．设，，则下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，那么不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
6．已知幂函数的图象过点，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C．为偶函数 D．定义域为
7．下列说法正确的有（ ）个
（1）若函数的定义域为，则实数取值范围是
（2）若的定义域为，则的定义域为
（3）关于的不等式的解集为，则
A．0B．1C．2D．3
记的内角的对边分别为，已知，，则的最大值为（ ）
A. 9 B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的。若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分。
9．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．是的一条对称轴 D．在区间上单调递增
10．在中，记为的重心，过的直线分别交边于两点，设，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．记函数在区间的极值点分别为，函数的极值点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量，．若，则 ．
13．设函数，将函数的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则= ．
14．已知方程有四个不同的实数根，满足，且在区间和上各存在唯一整数，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积.
(1)求；
(2)已知，若，，求的取值范围.
（本小题满分15分）
已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形．
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与只有一个公共点，求直线的方程．
（本小题满分15分）
如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，,，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)求平面与平面夹角的余弦值.
（本小题满分17分）
已知函数.
(1)当时，求函数的极小值；
(2)当时，过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求实数的值；
(3)设定义在上的函数在点处的切线方程为：，当时，
若在内恒成立，则称为函数的“转点”，当时，试问函数是否存在“转点”；若存在，请求出“转点”的横坐标，若不存在，请说明理由.
19．（本小题满分17分）
如图，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.
(1)在仿射坐标系中,若，求；
(2)在仿射坐标系中,若，且与的夹角为，求；
(3)如上图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在轴，轴正半轴上，
分别为BD，BC中点，求的最大值.