精品解析：江西省南昌市第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

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1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 存在量词命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.
【详解】“”的否定是.
故选：B.
2. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由得，然后可计算求值.
【详解】由题意得：，得：，
所以：.故A项正确.
故选：A.
3. 已知幂函数的图像过点，则（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】依题意代入得到，根据幂的运算性质计算可得.
【详解】因为幂函数的图像过点，
所以，即，所以.
故选：C
4. 我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
确定函数的定义域，奇偶性，单调性排除法确定正确结论．
【详解】的定义域是，关于原点对称，
，是偶函数，排除BC；
又时，，是增函数，排除A．
故选：D．
【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法．
确定函数的定义域、值域，函数的奇偶性、单调性等性质，确定特殊的函数值，函数值的正负，函数值变化趋势．排除3个选项，得出一个正确的选项．
5. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分与两种情况，当时，根据二次函数的性质建立不等式即可求解．
【详解】当时，不等式化为此时不等式无解，满足题意，
当时，要满足题意，只需，
解得，
综上，实数的范围为.
故选:C.
6. 若命题“对任意的，恒成立”为假命题，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知命题：存在，成立为真命题，再结合基本不等式得：，从而求解.
【详解】由题意得：存在，成立为真命题，
又因为：，当且仅当，即：取等号，
所以：，故B项正确.
故选：B.
7. 已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知当时，，由题意可知当时，则的值域包含，分和两种情况，结合指数函数性质分析求解.
【详解】当时，则，
且，所以，
若函数的值域为，可知当时，则的值域包含，
若，则在内单调递减，
可得，不合题意；
若，则在内单调递增，
可得，则，解得；
综上所述：实数a的取值范围是.
故选：B.
8. 已知是二次函数，且对于任意的实数、，函数满足函数方程，如果.下列选项错误的是（ ）
A. B. 在上单调递增
C. 为偶函数D. 为偶函数
【答案】B
【解析】
【分析】对于A，利用特殊值法，整理题目中等式，可得答案；对于B，利用待定系数法，根据等式求得函数解析式，结合二次函数的单调性，可得答案；对于C、D，整理对应函数解析式，根据二次函数的对称性，结合偶函数的性质，可得答案.
【详解】对于A，由，令，
则，解得，故A正确；
对于B，由，令，
则，化简可得，
设二次函数，则，
化简可得，可得，所以，
由，解得，所以，
由函数，则其对称轴为直线，
所以函数在0,2上单调递增，在上单调递减，故B错误；
对于C，由B可知，则其对称轴为，
所以函数是偶函数，故C正确；
对于D，由B可知，
则其对称轴为，所以函数为偶函数，故D正确.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分或4分，有选错的得0分．
9. 已知函数在上具有单调性，下列说法正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数单调性得到或，解得答案.
【详解】函数上具有单调性，则或，
解得或.
故选：BC
10. 已知 ，，则下列结论正确的是（ ）
A. ab的最大值为B. 的最大值为
C. 的最小值为1D. 的最小值为4
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A，B，直接利用基本不等式即可求解；对于C，由题设等式可得，代入消元后根据对勾函数的性质可判断；对于D，代入消元后根据基本不等式即可判断.
【详解】对于A，由，可得，
即得，因，解得，
故，当且仅当时等号成立，
由，可得，
故当且仅当，时，ab取得最大值，故A正确；
对于B，因
，当且仅当时等号成立，
令，代入上式，可得，即，解得，
故当且仅当，时，取得最小值为，故B错误；
对于C，由，可得，由，可得，
故.
令，则得，函数在上单调递增，
故，即C错误；
对于D，，
当且仅当，时等号成立，
故的最小值为4，故D正确.
故选：AD.
11. 已知定义在上函数的图象连续不间断，且满足以下条件：
①，都有；②，且时，都有；③，则下列成立的是（ ）
A.
B. 若，
C. 若，则
D. ，R，使得
【答案】BD
【解析】
【分析】根据已知三个条件，可以画出函数的简图，利用简图易于判断A项错误，B，C两项则可以
利用图像特征布列不等式（组）解决；D项中，根据图像可判断函数有最大值即可判断.
【详解】
由①知函数是偶函数；由②知函数在上是减函数；
由③知函数 经过点.综合①②③知，该函数图像关于轴对称，
且在轴右侧减函数，又经过点和，故可作出函数简图如图.
对于选项A，显然，故A项错误；
对于选项B，由可得：或，由（Ⅰ）可得：
由（Ⅱ）可得：综合得，，故B项正确；
对于选项C，因函数是偶函数，且在上是减函数，故由
可得，故有，，解得：或，
即：，故C项错误；
对于选项D，因函数在上是增函数，在上是减函数，函数又是定义在上的，
故而图像必与轴相交，即函数有最大值，故D项正确.
故选：BD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若函数是幂函数，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数定义求出，可求出，代入可求解.
【详解】因为是幂函数，所以，
解得，所以，所以.
故答案为：.
13. 若是奇函数，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用给定的分段函数，结合奇函数的定义求解作答.
【详解】依题意，，
所以
故答案为：
14. 已知函数定义域为，对任意的，都有，，则的解集为___________.
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得，令，即可得到在上单调递减，则问题转化为即，根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】解：因为函数定义域为，对任意的，都有，
即，
令，即，又因为，所以函数在上单调递减，
不等式可变为，
又因为，所以，
所以，即，
又因为函数在上单调递减，所以，解得，即不等式的解集为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．第15题13分，16，17题每题15分，18，19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 求值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用指数运算法则计算即得.
（2）利用对数运算及换底公式计算即得.
【小问1详解】
原式 .
【小问2详解】
原式 .
16. 已知函数
（1）求函数的解析式；
（2）求关于的不等式解集.（其中）
【答案】（1） （2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）令，则，即可得；
（2）将不等式转化为，比较和的大小解不等式即可.
【小问1详解】
由题意，函数，
令，
则，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，
即不等式转化为，
则，
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
综上所述，当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为.
17. 已知幂函数（）为偶函数，且在区间上单调递增，函数满足.
（1）求函数和的解析式；
（2）对任意实数，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的性质得到，求出的范围，再由确的值，再代入检验，即可求出的解析式，再利用换元法求出解析式；
（2）参变分离可得，恒成立，结合二次函数的性质求出的最小值，即可得解.
【小问1详解】
依题意幂函数为偶函数，且在区间上单调递增，
可得，解得，
由于，故，
当时，，此时为奇函数，不符合题意，
当或时，，此时为偶函数，符合题意，
故；
由，可得，令，
所以，
故.
【小问2详解】
由，恒成立，
可得，恒成立.
又，所以当时，取得最小值，
故，即的取值范围为.
18. 若关于的不等式的解集为.
（1）当时，求的值；
（2）若，，求的值，并求的最小值.
【答案】（1）
（2），的最小值为.
【解析】
【分析】（1）由方程有两个实数根即可得，再代入通分后的式子即可得解.
（2）由不等式的解集为和、可得，进而可求得和求解，从而结合基本不等式即可求解的最小值.
【小问1详解】
由题意，关于的方程有两个根，，
所以，故.
【小问2详解】
由题意，关于方程有两个正根，
且由韦达定理知，解得，
所以，
所以，
又，，故、，
所以，当且仅当即时等号成立，
结合得即，时取等号.
此时实数符合条件，
故，且当时，取得最小值.
19. 已知奇函数，且的图象过点.
（1）若，恒成立，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使函数在区间上的最大值为1.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）利用奇函数定义及图象所过点求出函数，再利用单调性脱去法则，分离参数求解即得.
（2）求出函数，并令，转化为二次函数在闭区间上的最大值问题求解即得.
【小问1详解】
函数是奇函数，由，得，
由函数的图象过点，得，而，解得，
经检验符合题意，即，函数在R上分别是增函数和减函数，
因此函数在R上是增函数，由，得，
于是对一切恒成立，即对一切恒成立，
则对一切恒成立，而在上单调递增，即，
所以，即.
【小问2详解】
，设，则，
由，，记，则函数在上有最大值，
当，即时，，解得，矛盾，
当，即时，，解得，符合题意，
所以存在实数，使函数在上的最大值为.