浙江省温州市第二中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份浙江省温州市第二中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下面的交通标志中，轴对称图形是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）若a＞b，则下列不等式中成立的是（ ）
A．a﹣5＜b﹣5B．C．a+5＞b+5D．﹣a＞﹣b
3．（3分）对于命题“如果x2＞0，那么x＞0．”能够说明它是假命题的反例是（ ）
A．x＝﹣1B．x＝0C．x＝1D．x＝0.5
4．（3分）若三角形两边长分别是5和8，则第三边长可能是（ ）
A．1B．3C．8D．13
5．（3分）如图，线段AD与BC相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，连结AB，CD，不添加辅助线，判定△ABO≌△CDO的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
6．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则∠A的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC，若DE＝8，则线段CE的长度是（ ）
A．4B．8C．12D．16
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝26°，则∠BDC的度数是（ ）
A．50°B．51°C．52°D．53°
9．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，直线EF分别交AC与BC于点D和G，连结AG，若AD＝2，△ABG的周长为9，则△ABC的周长是（ ）
A．12B．13C．14D．15
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝8，AD是△ABC的角平分线，E，F分别在AC，AB边上．AF＝4，AE＝6，连结DF，DE．若DE＝DF，则△ABC的面积是（ ）
A．B．24C．30D．
二、填空题（本题有8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）“x的3倍与5的差不大于9”用不等式表示为 ．
12．（4分）命题“如果a＝1，那么|a|＝1．”的逆命题为 ．
13．（4分）若△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠F＝ °．
14．（4分）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是 ．
15．（4分）如图，已知△ABC≌△DAE，A与D，C与E分别是对应顶点，点E在线段AC上，BC＝4，DE＝10，则CE的长为 ．
16．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，分别以线段AB，BD，DC，CA为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为 ．
17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图得到射线BD，BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则EF的长为 ．
18．（4分）如图，等边三角形ABC的边长为6，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，则△BDE周长的最小值为 ．
三、填空题（本题有6小题，共58分）
19．（8分）解下列不等式，并把解表示在数轴上．
（1）9x﹣1＜4x+9；
（2）﹣3x﹣5≤2（2+3x）．
20．（8分）已知：如图，点E，F在线段BC上，BF＝CE，AB＝DC，AE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）若∠AEB＝40°，求∠AOF的度数．
21．（6分）
22．（10分）近期，国风矿物质颜料在网络上大火，引得各绘画爱好者争先购买．其中“岩灰”和“石绿”风靡一时，1瓶“岩灰”和1瓶“石绿”总价100元，“石绿”比“岩灰”单价高40元．
（1）分别求出“岩灰”和“石绿”的销售单价；
（2）某同学欲购买两种颜料共10瓶，预算资金不超过400元，则该同学最多可以购买多少瓶“石绿”？
23．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接BD，点E在线段BD上，连结CE，∠1＝∠2，AB＝EC．
（1）求证：△ABD≌△ECB．
（2）若∠1＝20°，∠ADB＝25°．
①求∠DEC的度数．
②当，DE＝2时，求△CDE的面积．
24．（14分）如图1，P是等边△ABC内一点，连结AP，BP．将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP′，连结CP'．
（1）求证：△APB≌△CP′B．
（2）如图2，连结CP，PP′．
①当∠APB＝130°，且△CP′P为等腰三角形时，求出∠CPB的度数．
②当PB＝2，AB＝6，且PB∥CP′时，请直接写出点A到点P′的距离．
2024-2025学年浙江省温州市第二中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下面的交通标志中，轴对称图形是（ ）
A．B．C．D．
【分析】平面内，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是这个图形的对称轴，据此解答即可．
【解答】解：C是轴对称图形，A、B、D不是轴对称图形；
故选：C．
【点评】此题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
2．（3分）若a＞b，则下列不等式中成立的是（ ）
A．a﹣5＜b﹣5B．C．a+5＞b+5D．﹣a＞﹣b
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可得到答案．
【解答】解：A、∵a＞b，∴a﹣5＞b﹣5，故此选项不符合题意；
B、∵a＞b，∴，故此选项不符合题意；
C、∵a＞b，∴a+5＞b+5，故此选项符合题意；
D、∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题关键．
3．（3分）对于命题“如果x2＞0，那么x＞0．”能够说明它是假命题的反例是（ ）
A．x＝﹣1B．x＝0C．x＝1D．x＝0.5
【分析】满足条件，但不能得出结论的即为说明命题是假命题的反例．
【解答】解：当x＝﹣1时，满足条件x2＞0，但不能得出x＞0的结论，
故能说明命题“如果x2＞0，那么x＞0”是假命题的反例是x＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
4．（3分）若三角形两边长分别是5和8，则第三边长可能是（ ）
A．1B．3C．8D．13
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案．
【解答】解：根据三角形的三边关系得：8﹣5＜x＜8+5，
解得：3＜x＜13，
故第三边长可能是8．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，只要掌握三角形的三边关系定理即可．
5．（3分）如图，线段AD与BC相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，连结AB，CD，不添加辅助线，判定△ABO≌△CDO的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
【分析】根据OA＝OC，∠AOB＝∠DOC，OB＝OD可依据“SAS”判定△ABO≌△CDO，由此可得出答案．
【解答】解：∵AD与BC相交于点O，
∴∠AOB＝∠DOC
在△AOB和△COD中，
，
∴△ABO≌△CDO（SAS），
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
6．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则∠A的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】根据三角形内角和定理及∠C＝90°可求出∠A+∠B＝90°，结合已知条件∠B＝2∠A，即可求出∠A的度数．
【解答】解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠B＝2∠A，
∴∠A+2∠A＝90°，
∴∠A＝30°，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形三个内角的和是180°是解题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC，若DE＝8，则线段CE的长度是（ ）
A．4B．8C．12D．16
【分析】先根据∠ACB的平分线CD交AB于点D得出∠ACD＝∠BCD，再由DE∥BC得出∠BCD＝∠EDC，故可得出∠EDC＝∠ACD，进而得出结论．
【解答】解：∵∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE＝8，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵DE∥BC，
∴∠BCD＝∠EDC，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴CE＝DE＝8．
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝26°，则∠BDC的度数是（ ）
A．50°B．51°C．52°D．53°
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得AD＝CD，从而可得∠A＝∠DCA＝26°，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴AD＝CD＝AB，
∴∠A＝∠DCA＝26°，
∵∠BDC是△ACD的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝52°，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，直线EF分别交AC与BC于点D和G，连结AG，若AD＝2，△ABG的周长为9，则△ABC的周长是（ ）
A．12B．13C．14D．15
【分析】由作图过程可知，直线EF为线段AC的垂直平分线，则AG＝CG，AC＝2AD＝4，进而可得AB+BC＝9，再根据△ABC的周长为AB+BC+AC可得答案．
【解答】解：由作图过程可知，直线EF为线段AC的垂直平分线，
∴AG＝CG，AC＝2AD＝4．
∵△ABG的周长为9，
∴AB+BG+AG＝AB+BG+CG＝AB+BC＝9，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝9+4＝13．
故选：B．
【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝8，AD是△ABC的角平分线，E，F分别在AC，AB边上．AF＝4，AE＝6，连结DF，DE．若DE＝DF，则△ABC的面积是（ ）
A．B．24C．30D．
【分析】过D作DH⊥AC于H，由角平分线的性质推出DH＝DB，判定Rt△DEH≌Rt△DFB（HL），得到EH＝BF，判定Rt△DHA≌Rt△DBA（HL），推出AH＝AB，
得到BF+4＝6﹣BF，求出BF＝1，得到AB＝AF+BF＝5，由勾股定理求出BC＝＝，即可求出△ABC的面积＝AB•BC＝．
【解答】解：过D作DH⊥AC于H，
∵∠B＝90°，
∴DB⊥AB，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DH＝DB，
∵DE＝DF，
∴Rt△DEH≌Rt△DFB（HL），
∴EH＝BF，
∵DH＝DB，DA＝DA，
∴Rt△DHA≌Rt△DBA（HL），
∴AH＝AB，
∵AF＝4，AE＝6，
∴BF+4＝6﹣EH＝6﹣BF，
∴BF＝1，
∴AB＝AF+BF＝5，
∴BC＝＝＝，
∴△ABC的面积＝AB•BC＝．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，三角形的面积，关键是判定Rt△DEH≌Rt△DFB（HL），推出EH＝BF，判定Rt△DHA≌Rt△DBA（HL），推出AH＝AB．
二、填空题（本题有8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）“x的3倍与5的差不大于9”用不等式表示为 3x﹣5≤9 ．
【分析】根据“x的3倍与5的差不大于9”，即可列出关于x的一元一次不等式，此题得解．
【解答】解：根据题意得：3x﹣5≤9．
故答案为：3x﹣5≤9．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
12．（4分）命题“如果a＝1，那么|a|＝1．”的逆命题为 如果|a|＝1，那么a＝1 ．
【分析】把原命题的条件和结论交换位置，即可得到原命题的逆命题，由此即可得到答案．
【解答】解：“如果a＝1，那么|a|＝1．”的逆命题为：如果|a|＝1，那么a＝1．
故答案为：如果|a|＝1，那么a＝1．
【点评】本题考查命题与定理，关键是掌握由原命题得到逆命题的方法．
13．（4分）若△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠F＝ 60 °．
【分析】根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠F＝∠ACB＝60°，
故答案为：60．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
14．（4分）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是 10或11 ．
【分析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【解答】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
∵此时能组成三角形，
∴周长＝3+3+4＝10；
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，
此时能组成三角形，
所以周长＝3+4+4＝11．
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．
故答案为：10或11．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．
15．（4分）如图，已知△ABC≌△DAE，A与D，C与E分别是对应顶点，点E在线段AC上，BC＝4，DE＝10，则CE的长为 6 ．
【分析】根据全等三角形的性质和线段的和差即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC≌△DAE，
∴AC＝DE＝10，AE＝BC＝4，
∴CE＝AC﹣AE＝10﹣4＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
16．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，分别以线段AB，BD，DC，CA为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为 2 ．
【分析】根据正方形的面积和勾股定理，得出AD2+BD2＝AB2＝15，AD2+CD2＝AC2＝12，由此得到BD2﹣CD2＝15﹣12＝3，再根据BD2＝5，得出CD2＝5﹣3＝2，得到第四个正方形的面积．
【解答】解：∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，
∴AD2+BD2＝AB2＝15，AD2+CD2＝AC2＝12，
∴BD2﹣CD2＝15﹣12＝3，
∵BD2＝5，
∴CD2＝5﹣3＝2，
∴第四个正方形的面积为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了勾股定理，利用正方形的面积是解题的关键．
17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图得到射线BD，BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则EF的长为 ．
【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BEC＝90°，CE＝AE＝1，然后在Rt△BEC中，利用勾股定理可得BC＝，再利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴∠BEC＝90°，CE＝AE＝AC＝1，
在Rt△BEC中，BE＝2，
∴BC＝＝＝，
∵点F为BC的中点，
∴EF＝BC＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
18．（4分）如图，等边三角形ABC的边长为6，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，则△BDE周长的最小值为 9 ．
【分析】连接OB，OC，作OE⊥DM交DE与M点，先根据等边三角形的性质判定△BOD≌△COE，得到OD＝OE，BD＝EC，得出△BDE周长为6+OE，将问题转化为求OE最小值，当OE⊥BC时，OE最小，利用勾股定理求出OE值即可．
【解答】解：连接OB，OC，作OE⊥DM交DE与M点，如图：
∵等边三角形ABC的边长为6，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，
∴∠B＝∠C，OC＝OB，
∴∠OBD＝∠OCE，
∴∠BOC＝∠DOE＝120°，
∴∠BOE+∠COE＝∠BOE+∠BOD，
∴∠BOD＝∠COE，
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴OD＝OE，BD＝EC，
∴∠ODE＝∠OED＝30°，
∴OM＝OE，EM＝OE，
∴△BDE周长BE+BD+DE＝BE+EC+DE＝6+2EM＝6+OE，
∴当OE取最小值时△BDE周长最小，
∴当OE⊥BC时，OE最小，△BDE周长最小，
当OE⊥BC时，∠OBE＝∠B＝30°，BE＝BC＝3，
∴OE＝，
∴6+OE＝9，
∴△BDE周长最小值为9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，图形的旋转，三角形全等的判定，勾股定理，动点问题，熟练掌握等边三角形的性质时解答此题的关键．
三、填空题（本题有6小题，共58分）
19．（8分）解下列不等式，并把解表示在数轴上．
（1）9x﹣1＜4x+9；
（2）﹣3x﹣5≤2（2+3x）．
【分析】（1）根据不等式的性质解一元一次不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集；
（2）根据不等式的性质解一元一次不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集．
【解答】解：（1）9x﹣1＜4x+9，
移项，得：9x﹣4x＜9+1，
合并同类项，得：5x＜10，
系数化为1，得：x＜2，
解在数轴上的表示如图：
；
（2）﹣3x﹣5≤2（2+3x）
去括号，得：﹣3x﹣5≤4+6x，
移项，得：﹣3x﹣6x≤4+5，
合并同类项，得：﹣9x≤9，
系数化为1，得：x≥﹣1，
解在数轴上的表示如图：
．
【点评】本题考查一元一次不等式的解法和解集在数轴上的表示，用到了数形结合思想，应注意点的表示用空心还是实心圆圈．
20．（8分）已知：如图，点E，F在线段BC上，BF＝CE，AB＝DC，AE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）若∠AEB＝40°，求∠AOF的度数．
【分析】（1）利用SSS即可证明△ABE≌△DCF；
（2）根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵BF＝CE，
∴BE＝CF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SSS）；
（2）解：∵△ABE≌△DCF，
∴∠AEB＝∠DFC＝40°，
∴∠AOF＝∠AEB+∠DFC＝80°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
21．（6分）
【分析】以A为圆心，AC为半径作弧就熬BC于点D，以A为圆心，AB为半径作弧交BC于点E，连接AD，AE即可．
【解答】解：图形如图所示：
理由：过点A作AH⊥CD于点H．
由作图可知AC＝AD，AB＝AE，
∴CH＝DH，BH＝EH，
∴DE＝BC，∠ACD＝∠ADC，∠ABE＝∠AEB，
∵∠ACD＝∠ABE+∠BAC，∠ADC＝∠AEB+∠DAE，
∴∠EAD＝∠BAC．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（10分）近期，国风矿物质颜料在网络上大火，引得各绘画爱好者争先购买．其中“岩灰”和“石绿”风靡一时，1瓶“岩灰”和1瓶“石绿”总价100元，“石绿”比“岩灰”单价高40元．
（1）分别求出“岩灰”和“石绿”的销售单价；
（2）某同学欲购买两种颜料共10瓶，预算资金不超过400元，则该同学最多可以购买多少瓶“石绿”？
【分析】（1）设“岩灰”的销售单价为x元，“石绿”的销售单价为y元，根据1瓶“岩灰”和1瓶“石绿”总价100元，“石绿”比“岩灰”单价高40元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设该同学可以购买m瓶“石绿”，则购买（10﹣m）瓶“岩灰”，根据预算资金不超过400元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设“岩灰”的销售单价为x元，“石绿”的销售单价为y元，
由题意等：，
解得：，
答：“岩灰”的销售单价为30元，“石绿”的销售单价为70元；
（2）设该同学可以购买m瓶“石绿”，则购买（10﹣m）瓶“岩灰”，
由题意得：70m+30（10﹣m）≤400，
解得：m≤2.5，
∵m为正整数，
∴m的最大值为2，
答：该同学最多可以购买2瓶“石绿”．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
23．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接BD，点E在线段BD上，连结CE，∠1＝∠2，AB＝EC．
（1）求证：△ABD≌△ECB．
（2）若∠1＝20°，∠ADB＝25°．
①求∠DEC的度数．
②当，DE＝2时，求△CDE的面积．
【分析】（1）由AD∥BC，得∠ADB＝∠EBC，而∠1＝∠2，AB＝EC，即可根据“AAS”证明△ABD≌△ECB；
（2）①由∠ADB＝∠EBC＝25°，∠1＝∠2＝20°，求得∠DEC＝∠EBC+∠2＝45°；
②作DF⊥EC于点F，则∠DFE＝90°，所以∠FDE＝∠DEC＝45°，则EF＝DF，由DE＝DF＝2，求得DF＝，而AB＝EC＝，所以S△CDE＝EC•DF＝．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠EBC，
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（AAS）．
（2）解：①∵∠ADB＝∠EBC＝25°，∠1＝∠2＝20°，
∴∠DEC＝∠EBC+∠2＝25°+20°＝45°，
∴∠DEC的度数是45°．
②作DF⊥EC于点F，则∠DFE＝90°，
∴∠FDE＝∠DEC＝45°，
∴EF＝DF，
∵DE＝＝DF＝2，
∴DF＝，
∵AB＝EC＝，
∴S△CDE＝EC•DF＝××＝，
∴△CDE的面积是．
【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、三角形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
24．（14分）如图1，P是等边△ABC内一点，连结AP，BP．将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP′，连结CP'．
（1）求证：△APB≌△CP′B．
（2）如图2，连结CP，PP′．
①当∠APB＝130°，且△CP′P为等腰三角形时，求出∠CPB的度数．
②当PB＝2，AB＝6，且PB∥CP′时，请直接写出点A到点P′的距离．
【分析】（1）根据SAS可证明△APB≌△CP′B；
（2）①先根据全等三角形的性质得∠CP'B＝130°，从而可得∠CP'P＝70°，最后根据△CP′P为等腰三角形分三种情况讨论即可解答；
②如图3，过点B作BD⊥PP'于D，则∠ADB＝∠BDP'＝90°，先证明A，P，P'三点共线，再根据30°的直角三角形的性质可得DP'＝1，利用勾股定理计算BD和AD的长即可解答．
【解答】（1）证明：由旋转得：PB＝P′B，∠PBP′＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴∠ABC＝∠PBP'，
∴∠ABP＝∠CBP'，
在△APB和△CP'B中，
，
∴△APB≌△CP′B（SAS），
（2）解：①∵PB＝P′B，∠PBP′＝60°，
∴△BPP'是等边三角形，
∴∠BPC＝∠BP'P＝60°，
由（1）知：△BAP≌△BCP′，
∴∠CP'B＝∠APB＝130°，
∴∠CP'P＝130°﹣60°＝70°，
∵△CP′P为等腰三角形，
∴PC＝PP'或PC＝P'C或PP'＝CP'，
当PC＝PP'时，∠PCP'＝∠CP'P＝70°，
∴∠CPP'＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠CPB＝40°+60°＝100°；
当PC＝P'C时，∠CPP'＝∠CP'P＝70°，
∴∠CPB＝60°+70°＝130°；
当PP'＝CP'时，∠CPP'＝∠PCP'＝＝55°，
∴∠CPB＝55°+60°＝115°；
综上，当△CP′P为等腰三角形时，∠CPB的度数为100°或130°或115°；
②如图3，过点B作BD⊥PP'于D，则∠ADB＝∠BDP'＝90°，
∵PB∥P'C，
∴∠CP'P＝∠BPP'＝60°，
∴∠BP'C＝∠CP'P+∠BP'P＝120°，
由（1）知：△APB≌△CP′B，
∴∠CP'B＝∠APB＝120°，
∵∠BPP'＝60°，
∴∠APB+∠BPP'＝120°+60°＝180°，
∴A，P，P'三点共线，
Rt△BDP'中，∠BP'P＝60°，
∴∠DBP'＝30°，
∴DP'＝P'B＝PB＝×2＝1，
由勾股定理得：BD＝＝，
AD＝＝＝，
∴AP'＝AD+DP'＝+1．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定和性质是解题的关键．尺规作图问题
问题呈现
如图，已知直线BC和直线外一点A，连结AB，AC．
（1）用无刻度的直尺和圆规在直线BC上取点D，点E（点D在点E的左侧），使得∠EAD＝∠BAC，且DE＝BC（不要求写作法，但要保留作图痕迹）；
（2）请根据自己的作法说明作图正确的理由．
我的画法

我的理由
尺规作图问题
问题呈现
如图，已知直线BC和直线外一点A，连结AB，AC．
（1）用无刻度的直尺和圆规在直线BC上取点D，点E（点D在点E的左侧），使得∠EAD＝∠BAC，且DE＝BC（不要求写作法，但要保留作图痕迹）；
（2）请根据自己的作法说明作图正确的理由．
我的画法

我的理由