石家庄市第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份石家庄市第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2．已知两条直线,,若与平行,则实数( )
A.B.3C.或3D.1或
3．已知点，，若直线l：与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为( )
A.B.
C.D.
4．若曲线和直线有个公共点,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
5．鞋匠刀形是一种特殊的图形,古希腊数学家阿基米德发现该图形有许多优美的性质,如图是一个鞋匠刀形.若,,点D在以为直径的半圆弧上,以的中点O为原点,所在直线为x轴建立平面直角坐标系（在第一象限）,则直线的斜率为( )
A.B.C.D.
6．过直线上一点A作圆的两条切线,若两条切线的夹角为,则点A的横坐标为( )
A.1B.2C.3D.4
7．已知F为椭圆的右焦点,P为C上一点,Q为圆上一点,则的最小值为( )
A.B.C.D.
8．已知A,B是圆上两点,且.若存在,使得直线与的交点P恰为的中点,则实数m的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．如图,在正方体中,M是线段上的一点,则下列说法正确的是( )
A.
B.平面
C.异面直线与所成的角的取值范围是
D.二面角的正弦值为
10．已知椭圆,、分别为它的左右焦点,A,B分别为它的左、右顶点,点P是椭圆上的一个动点,下列结论中正确的有( )
A.点P到右焦点的距离的最大值为3,最小值为1
B.的最小值为
C.若为直角三角形,则的面积为
D.的范围为
11．点A,B为圆上的两点,点为直线上的一个动点,则下列说法正确的是( )
A.当,且AB为圆的直径时,面积的最大值为3
B.从点P向圆M引两条切线,切点分别为A,B,的最小值为
C.A,B为圆M上的任意两点,在直线l上存在一点P,使得
D.当时,的最大值为
三、填空题
12．圆关于直线的对称圆的方程为________.
13．若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则b取值范围为________
14．已知O为坐标原点A,B,C为椭圆上三点,且,,直线与x轴交于点D,若,则E的离心率为________.
四、解答题
15．已知直线和的交点为P.
（1）若直线l经过点P且与直线平行,求直线l的方程:
（2）若直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5,求直线m的一般式方程.
16．如图,在三棱柱中,平面,,,E,F,G分别是棱AB,BC,上的动点,且.
(1)求证：;
(2)若平面与平面的夹角的余弦值为,求.
17．在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的两个焦点分别是,,点M在上,且.
(1)求C的标准方程;
(2)若直线与C交于A,B两点,且的面积为求k的值.
18．某公园有一圆柱形建筑物,底面半径为1米,在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示）,建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示）,观景直道与辅道距离米.在建筑物底面中心O的北偏东方向米的点A处,有一台全景摄像头,其安装高度低于建筑物高度.请建立恰当的平面直角坐标系,并解决问题:
（1）在西辅道上与建筑物底面中心O距离2米处的游客,是否在摄像头监控范围内?
（2）求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度.
19．已知圆和圆.
（1）若圆与圆相交,求r的取值范围;
（2）若直线与圆交于P,Q两点,且,求实数k的值;
（3）若,设P为平面上的点,且满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.
参考答案
1．答案：B
解析：是交点在y轴上的椭圆，
，
解得，
在的范围内，
是方程表示焦点在y轴上的椭圆的必要不充分条件.
故本题选B.
2．答案：A
解析：直线,平行,则,
所以.
故选:A
3．答案：D
解析：由，得，
所以直线l的方程恒过定点.
因为，，
所以，.
由题意可知，作出图形如图所示
由图象可知，或，解得或，
所以实数m的取值范围为.
故选：D.
4．答案：B
解析：曲线表示的曲线为单位圆的下半部分
直线恒过点
画出图象:如图
故当直线经过点时,直线斜率最大,最大斜率为
又直线与半圆相切
故选:B.
5．答案：A
解析：设,则、、,
则中点为,且,
则以为直径的半圆弧的方程为,
令,有,又,故,
即,则.
故选:A.
6．答案：B
解析：圆C化为标准方程为,其圆心坐标为,半径为,
设两切点分别为B,D,则,
又,所以四边形ABCD为边长为2的正方形,
所以,
设,则,解得,
故选:B.
7．答案：D
解析：如图,由题可知,圆M的圆心坐标为,半径为1,
设椭圆C的左焦点为E,即,
则,
故要求的最小值,即求的最小值,
所以的最小值等于,
即的最小值为,
故选:D.
8．答案：A
解析：圆,半径为,
设中点为M,且直线与圆的相交弦长为,
即,
所以点M的轨迹方程为,
又直线过定点,
直线过定点,
且,
则点P是两垂线的交点,所以P在以为直径的圆上,
则圆心,半径,
所以点P的轨迹方程为,
由于直线的斜率存在,所以点P的轨迹要除去点,
若点恰为中点可知圆P与圆M有公共点,
即,,
即,
解得,
即,
故选:A.
9．答案：ABD
解析：如图,以D为原点,为x轴,为y轴,为z轴,建立空间直角坐标系,且设正方体边长为2,
故,,,,,
所以,,
对于A,,,故,
,因为,共线,
所以,故,
故,而,
所以,故A正确,
对于B,而,化简得,
故,,
而,,
设面的法向量为,可得,
所以,令,解得,
故,则,
可得平面,故B正确,
对于C,,,
设异面直线与所成的角为,,
所以,
当时,,
而时,令,
因为,可得,
故,得到,故C错误,
对于D,已知面的法向量为,
设面的法向量,所以,
故,令,解得,,
故,设二面角为,
,故,而,
而,解得,故D正确.
故选:ABD
10．答案：ACD
解析：对A,易知,,,则,,故A正确;
对B,P位于椭圆上顶点时最大,
此时最小,且,
故此时为等边三角形,,故B错误;
对C,若为直角三角形,由B知,,
所以或,不妨设,
则此时P点横坐标,代入,得,
故的面积为:,故C正确;
对D,,,设
则,
由得:,
故,
,故,故D正确.
故选:ACD
11．答案：ABD
解析：对于A,当,且AB为圆的直径时,
此时,当AB垂直于x轴时,面积最大,
不妨取,,则,A正确;
对于B,设,,设,交于N,
由圆的切线性质知,则,
故,当最大时,最小,
当位于时,最大,此时,
则,即的最小值为,B正确;
对于C,由B的解题思路可知当位于时,最大,此时,
即,则,故在直线l上不存在一点P,使得,C错误;
对于D,设D为AB的中点,则,
连接MD,则,则,
故点D在以M为圆心,为半径的圆上,结合,
可得的最大值为,
故的最大值为,D正确,
故选:ABD
12．答案：
解析：圆心为,半径为2,
设关于对称点为,则,解得:,
故对称点为,故圆C关于直线对称的圆的方程为.
故答案为:
13．答案：
解析：圆整理为,
圆心坐标为,半径为,
要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,
则圆心到直线的距离,
,
b的取值范围是,
故答案为.
14．答案：/
解析：取的中点M,设,,,,则.
A,C在椭圆E上,,两式相减得,
即,
.
,,连接,则,
,,.
,,又,,
,得.
,,即,
E的离心率.
故答案为:.
15．答案：（1）
（2）或
解析：（1）联立,解得,即,
直线l经过点P且与直线平行,
故设直线l方程为,将代入得,
故直线l方程为;
（2）由题意知直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5,
则其在坐标轴的截距不为0,设其方程为,
与两坐标轴的交点分别为,,则,
解得或,
故直线m的方程为或,
即或.
16．答案：(1)证明过程见解析
(2)
解析：(1)因为平面,,平面,
所以,,
又,故,,两两垂直,
以B为坐标原点,,,,所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
因为,,设,,
所以,,,,
则,,
则,
故;
(2),则,
则,
则,
又,,平面,
所以平面,
故为平面的一个法向量,
又平面的法向量为,
则平面与平面的夹角的余弦值为
,
又平面与平面的夹角的余弦值为,
所以,解得,故.
17．答案：(1)
(2)或
解析：(1)由题意,设C的标准方程为,
则,,即,所以,
所以C的标准方程为;
(2)设,,
由联立得,
由题意,即,
,,显然直线过定点,
所以,
所以,即,
所以,解得或,均满足,
所以或.
18．答案：（1）游客在该摄像头的监控范围内
（2）4.375米
解析：（1）设O为原点,正东方向为x轴,建立平面直角坐标系,,
因为,,则,
依题意得,游客所在位置为,即,
则直线的方程为,即,
所以圆心到直线的距离,
所以直线与圆O相离,所以游客在该摄像头的监控范围内.
（2）由图知,过A的直线与圆O相切或相离时,摄像头监控不会被建筑物挡住,
所以设直线l过点A且和圆相切,
①若直线l垂直于x轴,则直线l不会和圆相切;
②若直线l不垂直于x轴,设,整理得,
所以圆心O到直线l的距离为,解得或,
所以或,
即或,
观景直道所在直线方程为,
设两条直线与的交点为D,E,
由,解得,
由,解得,
所以,
即观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为4.375米.
19．答案：（1）
（2）
（3）或
解析：（1）圆的标准方程为,则圆心,,
圆的标准方程为,则圆心,
,
圆与圆相交,,即,解得,
的取值范围.
（2）已知直线与圆交于P,Q两点,设,,
联立,得,
所以,得
,
解得,因为,所以.
（3）设点P坐标为,直线、的方程分别为:,,
即:,,
因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等且两圆半径相等,
由垂径定理得,圆心到直线与直线的距离相等.
故有:,
化简得:或,
因为存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和,
所以关于k的方程有无穷多解,从而有或,
解得或,
所以点P坐标为或.