浙江省宁波市宁海县柔石中学等多校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷(含答案)

这是一份浙江省宁波市宁海县柔石中学等多校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知直线l过点,,则直线l的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．直线与直线的距离是( )
A.B.C.D.1
3．“”是“曲线表示椭圆”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．如图.空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则( )
A.B.C.D.
5．在直三棱柱中,,,,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
6．已知点,,,圆,一条光线从A点发出,经直线反射到圆M上的最短路程为( )
A.3B.4C.5D.6
7．已知直线与圆,过直线l上的任意一点P作圆O的切线,,切点分别为A,,则的最大值为( )
A.B.C.D.
8．设椭圆C的两个焦点是,,过点的直线与椭圆C交于点P,Q若,且,则椭圆C的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知,分别是椭圆的左,右焦点,P为椭圆C上异于长轴端点的动点,则下列结论正确的是( )
A.的周长为10B.面积的最大值为
C.椭圆C的焦距为6D.椭圆C的离心率为
10．已知圆与圆交于A,B两点,则( )
A.两圆的公切线有2条
B.直线方程为
C.
D.动点在圆上,则的最大值为
11．如图,已知正方体的棱长为2,点E,F在四边形所在的平面内,若,,则下述结论正确的是( )
A.二面角的平面角的正切值为2
B.
C.点E的轨迹是一个圆
D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题
12．,,,则____________．
13．已知正四面体的棱长为1,空间中一点M满足,其中x,y,,且.则的最小值___________．
14．已知点P是椭圆上一动点,Q是圆上一动点,点,则的最大值为___________.
四、解答题
15．已知直线经过点．
(1)若与直线垂直,求的方程;
(2)若在两坐标轴上的截距相等,求的方程．
16．已知直线,l与圆交于A,B两点,点Q在圆C上运动．
(1)当时,求k;
(2)已知点,求的中点M的轨迹方程．
17．在直三棱柱中,D、E分别是、的中点,,,.
(1)求证：平面;
(2)求点E到平面的距离.
18．如图,已知等腰梯形中,,,E是的中点,,将沿着翻折成,使平面平面.
(1)求证：平面;
(2)求与平面所成的角;
(3)在线段上是否存在点P,使得平面,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
19．已知、分别为椭圆的左、右焦点,点在椭圆C上,离心率为．
(1)求椭圆C的方程;
(2)设A为椭圆C的左顶点,过点的直线l交椭圆C于D、E两点,,求直线l的方程．
(3)若过椭圆上一点切线方程为,利用上述结论,设d是从椭圆中心到椭圆在点Q处切线的距离,当Q在椭圆上运动时,判断是否为定值．若是求出定值,若不是说明理由．
参考答案
1．答案：C
解析：由题可得：,所以直线l的倾斜角为：;
故选：C.
2．答案：A
解析：直线化为,
又直线,所以,
所以直线与直线的距离是.
故选：A.
3．答案：B
解析：因为曲线为椭圆,
所以,解得且,
所以“”是“且”的必要而不充分条件.
故选：B.
4．答案：D
解析：因为，所以，
又因为点N为BC的中点，所以，
所以.
故选：D.
5．答案：C
解析：由题意可知,,,三线两两垂直,所以可建立空间直角坐标系,如图所示：
则,,,．
,．
．
异面直线与所成角的余弦值为．
故选：C．
6．答案：B
解析：直线方程为,即,
设点关于直线的对称点为,则,解得,,
故,
圆心为,半径为,故,
因此过A经过反射在P处,由于,
故光线从A点发出,经直线反射到圆M上的最短路程为4,
故选：B
7．答案：C
解析：由题意可知：圆的圆心为,半径为1,
则圆心O到直线l的距离为,可知直线l与圆O相离,
因为,且,
当最小时,则最大,可得最大,即最大,
又因为的最小值即为圆心O到直线l的距离为,
此时,,所以取得最大值．
故选：C．
8．答案：B
解析：连接,如下图所示：
由椭圆定义,以及已知条件,可得：
,,,,
在和中,由余弦定理可得：
,
代值整理可得：,,
则离心率.
故选：B.
9．答案：AB
解析：对A,因为椭圆,
,,,
的周长为,故A正确;
对B,因为,面积最大时高最大,为b,
所以面积的最大值为,故B正确;
对C,椭圆C的焦距为,故C错误;
对D,椭圆C的离心率为,故D错误;
故选：AB.
10．答案：ABD
解析：由题意可知,,,,
故,故两圆相交,公切线有2条,A正确,
与圆相减可得,
故直线方程为,B正确,
到直线的距离为,故,故C错误,
可看作是圆上的一个点到点的距离的平方,
故最大值为,D正确,
故选：ABD.
11．答案：BCD
解析：对于A,连接,相交于O,连接,
由于,且,故
因此为二面角的平面角,故,故A错误,
对于C：在正方体中,平面,平面,所以,
故,则有,
所以点E的轨迹是以为圆心,1为半径的圆,故选项C正确;
对于B：在正方体中,平面平面,且两平面交线为,,平面,故平面,
因为,则平面,故F在上,
建立如图所示的空间直角坐标系,
因为点F的轨迹是线段,设,则,
则,,,,,,
则,,故,
进而可得,故,B正确,
又,,,
设平面的一个法向量为,
则有,即,
令,则,,
故平面的一个法向量为,
设与平面所成的角为,
则,
当时,有最大值,
故与平面所成角的正弦值的最大值,故D正确．
故选：BCD．
12．答案：
解析：,解得,故,
故答案为：.
13．答案：
解析：由,且,
可知M与A,B,C共面,则的最小值为三棱锥的高,
设O为P在平面上的射影,连接并延长交于点H,
则,所以,所以,
所以三棱锥的高为．
故答案为：.
14．答案：6
解析：如图所示：
由,得,,
则,所以椭圆的左,右焦点坐标分别为,,
则圆的圆心为椭圆的左焦点,
由椭圆的定义得,
所以,
又,
所以,
,
故答案为：6.
15．答案：(1)
(2)或
解析：(1)由题可知,的斜率为,
设的斜率为k,因为,所以,则,
又经过点,所以的方程为,即;
(2)若在两坐标轴上的截距为0,即经过原点,设的方程为,
将代入解析式得,解得,
故的方程为,
若在两坐标轴上的截距不为0,则设的方程为,
由,得,
故的方程为,
综上,的方程为或.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意可知：圆的圆心,半径,
则圆心到直线l的距离,
可得,解得.
(2)设,
因为点,且M为的中点,则,
又因为点Q在圆C上,则,整理得,
所以点M的轨迹方程为.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)因为为直三棱柱,
则平面,且,
以C的原点,,,分别为x轴,y轴,z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
因为,,且D,E分别是,的中点,
则,,,,,,
所以,,,
设平面的法向量为,
则,则,取,则,,
则平面的一个法向量为,
因为平面,且,
则平面.
(2)由(1)可知,平面的一个法向量为,且,
则点E到平面的距离.
18．答案：(1)证明见解析;
(2);
(3)存在,.
解析：(1)因为,E是的中点,所以,
故四边形是菱形,从而,
所以沿着翻折成后,,,
又因为,
所以平面,
由题意,易知,,
所以四边形是平行四边形,故,
所以平面;
(2)因为平面,
所以与平面所成的角为,
由已知条件,可知,,
所以是正三角形,所以,
所以与平面所成的角为;
(3)假设线段上是存在点P,使得平面,
过点P作交于Q,连结,,如下图：
所以,所以A,M,P,Q四点共面,
又因为平面,所以,
所以四边形为平行四边形,故,
所以P为中点,
故在线段上存在点P,使得平面,且.
19．答案：(1)
(2)
(3)为定值,且定值为12,
解析：(1)设,,
,故,
点在椭圆C上,则,
,故得,即
解得,,
故椭圆C的方程为．
(2)由(1)知,,,若直线l的斜率不存在,
则,代入椭圆方程可得,故,
此时,故直线有斜率,
直线l的斜率为k,则l的方程为,
由消去y得,,①
显然,设,,,,则,,
于是,
,
化简可得,即,
解得,
所以直线方程为
(3)由于椭圆上一点的切线方程为．
依题意,设椭圆上的点,,则过点,的切线方程为,
即,原点到切线的距离为．
由两点间距离公式可得,,
同理,
则,
故为定值．