2023-2024学年吉林省长春市朝阳区八年级下学期期末数学试题及答案

这是一份2023-2024学年吉林省长春市朝阳区八年级下学期期末数学试题及答案，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．0B．6C．﹣3D．﹣6
2．（3分）2024年5月中旬，长春牡丹园的牡丹花竞相开放，国色天香．某品种的牡丹花粉直径约为0.000354米（ ）
A．3.54×10﹣4B．35.4×10﹣4C．3.54×10﹣5D．3.54×10﹣6
3．（3分）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A．（3，﹣4）B．（﹣4，3）C．（﹣2，﹣6）D．（2，﹣6）
4．（3分）某鞋店试销一种新款女鞋，试销期间卖出的情况如表所示．
若这个鞋店的经理想知道哪种型号的鞋最畅销，则下列统计量对鞋店的经理来说最有意义的是（ ）
A．平均数B．方差C．中位数D．众数
5．（3分）在平面直角坐标系中，若将直线y＝x﹣1向上平移2个单位长度得到直线l，则直线l对应的函数关系为（ ）
A．y＝x﹣2B．y＝x+1C．y＝﹣x﹣2D．y＝x+2
6．（3分）如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，下列结论：
①四边形ABCD的周长不变；
②四边形ABCD的面积有变化；
③AD＝BC；
④AD＝AB；
其中一定正确的是（ ）
A．②④B．②③C．①②D．①③
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC、BD相交于点O．将△ABO沿着射线AD的方向平移线段AD的长度得到△DCE，点A、O的对应点分别为点D、E．则四边形OCED的周长为（ ）
A．20B．16C．10D．8
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点的图象上，过点A作y轴的垂线交函数，连结OA、OB．若△ABO的面积为6，则k的值为（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）计算：＝ ．
10．（3分）学校有甲、乙两支篮球队，每支球队队员身高的平均数都为1.95m，甲、乙两队方差分别为S甲2＝3.3m2和S乙2＝5.2m2，则身高较整齐的球队为 队（填“甲”或“乙”）．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系，O为坐标原点（4，0）、（3，3），则顶点C的坐标是 .
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点与直线y＝kx交于点（2，1）．则关于x的不等式 .
13．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为AB边上一动点（不与点A、B重合），EG⊥OB于点G，连接FG．若AB＝5，则FG的最小值为 ．
14．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠EOF＝90°，连结EF．给出下面四个结论：
①△BOE≌△COF；
②CF＝BE；
③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；
④BE2+CE2＝OE2．
上述结论中，所有正确的序号是 ．
三、解答题（本大题10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：，其中x＝122．
16．（6分）已知y与x成正比例，且当x＝1时，y＝﹣6．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）若点（a，12）在此函数图象上，求a的值．
17．（6分）某中学在“五•四”青年节来临之际，购进A、B两种运动衫共88件．已知购买A、B两种运动衫的费用都是2400元，A种运动衫的单价是B种运动衫单价的1.2倍．求B种运动衫的单价．
18．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．图①、图②、图③中线段AB的端点均在格点上．在图①、图②、图③中分别以AB为对角线画一个四边形ACBD，在给定的网格中，分别按下列要求画图
（1）在图①中画矩形ACBD，使其面积为3．
（2）在图②中画正方形ACBD．
（3）在图③中画▱ACBD，使其面积为10．
19．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，连接BD交AC于点O
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）若OA＝4，OB＝3，求CE的长．
20．（7分）小刚在今年的全校篮球联赛中表现优异，下表是他在这场联赛中，分别与甲队和乙队各四场比赛中的得分统计．
（1）小刚在对阵甲队时的平均每场得分a的值是 ；
（2）小刚在这8场比赛的篮板统计中，众数是 ，中位数是 ；
（3）如果规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.2+平均每场失误×（﹣1），且综合得分越高表现越好，利用这种计算方式比较小刚在对阵哪一个队时表现更好．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点（2，4）在反比例函数的图象上，过点D作DE⊥AB交该函数图象于点E，过点E作EF⊥x轴于点F
（1）k＝ ；
（2）求点E的坐标及四边形ADEF的面积；
（3）当正比例函数y＝ax的值大于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围．
22．（9分）【感知】如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，将△ABP沿直线AP翻折得到△AB′P，点B的对称点为点B'．若点B′在边AD上 ．
【探究】如图②，图①中的点B′在矩形ABCD的内部，点B′在直线PD上
（1）求证：△DCP≌△AB′D．
（2）BP的长为 ．
【应用】如图③，当图①中的点P在BC延长线上，且点B在直线PD上时
23．（10分）某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，在此模式下烤箱内温度匀速升至240℃时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度（℃）与加热时间x（min）之间的函数图象如图所示．
（1）直接写出该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该品牌烤箱的烤箱内温度匀速下降期间y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（3）若食物在130℃及以上的温度中烤制6分钟以上才可健康食用，该模式下烤制的食物能否健康食用？并说明理由．
24．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝10，点P、点Q分别在边AB、CD上，且AP＝CQ．连结AQ、DP相交于点N
（1）当AP＝2时，∠AQB大小为 度．
（2）求证：四边形PMQN是平行四边形．
（3）当AP＝8时，求证：四边形PMQN是矩形．
（4）在不添加辅助线与字母的前提下，若图中存在菱形，直接写出该菱形的边长，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．0B．6C．﹣3D．﹣6
【分析】根据分母不为零且分子为零的条件进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
x﹣6＝0且x+8≠0，
解得x＝6．
故选：B．
【点评】本题考查分式的值为零的条件，掌握分母不为零且分子为零的条件是解题的关键．
2．（3分）2024年5月中旬，长春牡丹园的牡丹花竞相开放，国色天香．某品种的牡丹花粉直径约为0.000354米（ ）
A．3.54×10﹣4B．35.4×10﹣4C．3.54×10﹣5D．3.54×10﹣6
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000354＝3.54×10﹣3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A．（3，﹣4）B．（﹣4，3）C．（﹣2，﹣6）D．（2，﹣6）
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可．
【解答】解：A、∵3×（﹣4）＝﹣12≠12的图象上；
B、∵（﹣7）×3＝﹣12≠12的图象上；
C、∵（﹣2）×（﹣2）＝12的图象上；
D、∵2×（﹣6）＝﹣12≠12的图象上，
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
4．（3分）某鞋店试销一种新款女鞋，试销期间卖出的情况如表所示．
若这个鞋店的经理想知道哪种型号的鞋最畅销，则下列统计量对鞋店的经理来说最有意义的是（ ）
A．平均数B．方差C．中位数D．众数
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对这个鞋店的经理来说，他最关注的是数据的众数．
【解答】解：若这个鞋店的经理想知道哪种型号的鞋最畅销，则下列统计量对鞋店的经理来说最有意义的是众数，
故选：D．
【点评】本题考查了众数、平均数、中位数和标准差意义，比较简单．
5．（3分）在平面直角坐标系中，若将直线y＝x﹣1向上平移2个单位长度得到直线l，则直线l对应的函数关系为（ ）
A．y＝x﹣2B．y＝x+1C．y＝﹣x﹣2D．y＝x+2
【分析】根据“上加下减”的法则解答即可．
【解答】解：将直线y＝x﹣1向上平移2个单位长度得到直线l，则直线l对应的函数关系为y＝x﹣5+2．
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．
6．（3分）如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，下列结论：
①四边形ABCD的周长不变；
②四边形ABCD的面积有变化；
③AD＝BC；
④AD＝AB；
其中一定正确的是（ ）
A．②④B．②③C．①②D．①③
【分析】由条件可知AB∥CD，AD∥BC，可证明四边形ABCD为平行四边形，可得到AD＝BC．
【解答】解：由题意可知：AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，DC到AB的距离不会变化，
∴AD＝BC，
随着纸条的转动，线段AB的长度发生变化，
∴四边形ABCD的面积有变化，四边形ABCD的周长有变化．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定和性质；证明四边形ABCD为平行四边形是解题的关键．
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC、BD相交于点O．将△ABO沿着射线AD的方向平移线段AD的长度得到△DCE，点A、O的对应点分别为点D、E．则四边形OCED的周长为（ ）
A．20B．16C．10D．8
【分析】根据矩形的性质和平移的性质，可以得到OD、OC、CE、ED的长，然后即可求得四边形OCED的周长．
【解答】解：四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝OB＝OC＝OD，
∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝5，
由题意可知：△AOB≌△DEC，
∴ED＝OA＝5，EC＝OB＝5，
∴OC＝CE＝ED＝DO，
∴四边形OCED的周长为：4+5+5+8＝20，
故选：A．
【点评】本题考查矩形的性质、平移的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点的图象上，过点A作y轴的垂线交函数，连结OA、OB．若△ABO的面积为6，则k的值为（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
【分析】设AB与y轴交于点C，根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△AOC＝×8＝4，S△OBC＝|k|，再根据△ABO的面积为6得4+|k|＝6，由此即可求出k的值．
【解答】解：设AB与y轴交于点C，如下图所示：
 
∵AB⊥y轴于点C，
∴根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△AOC＝×8＝4，S△OBC＝|k|，
∵△ABO的面积为6，
∴S△AOC+S△OBC＝6
∴4+|k|＝2，
∴|k|＝4，
∵反比例函数的图象在第二象限，
∴k＜5，
∴k＝﹣4．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象，以及反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）计算：＝ 3 ．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂，然后计算加法，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝6+2
＝3．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
10．（3分）学校有甲、乙两支篮球队，每支球队队员身高的平均数都为1.95m，甲、乙两队方差分别为S甲2＝3.3m2和S乙2＝5.2m2，则身高较整齐的球队为 甲 队（填“甲”或“乙”）．
【分析】根据方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【解答】解：∵甲、乙两支篮球队，甲、乙两队方差分别为S甲2＝3.6m2和S乙2＝2.2m2，
∴S2甲＜S2乙，
∴身高较整齐的球队为甲队．
故答案为：甲．
【点评】本题考查了方差的意义．关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系，O为坐标原点（4，0）、（3，3），则顶点C的坐标是 （﹣1，3） .
【分析】利用平行四边形的对边平行且相等确定答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OA∥BC且BC＝OA，
∵顶点A、顶点B的坐标分别为（4、（3，
∴BC＝OA＝8，
∴点C的坐标为：（﹣1，3），
故答案为：（﹣5，3）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质及坐标与图形的性质，解题的关键是了解平行四边形的对边平行且相等，难度不大．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点与直线y＝kx交于点（2，1）．则关于x的不等式 x＜2 .
【分析】直接根据函数图象即可得出结论．
【解答】解：由函数图象可知，当x＜2时在直线y＝kx的上方，
∴不等式的解集为x＜2．
故答案为：x＜8．
【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，两条直线相交或平行问题，根据题意利用数形结合求出x的取值范围是解题的关键．
13．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为AB边上一动点（不与点A、B重合），EG⊥OB于点G，连接FG．若AB＝5，则FG的最小值为 ．
【分析】根据菱形的性质，可证四边形OEPF是矩形，如图所示，连接OE，则FG＝OE，当OE⊥AB时，OE的值最小，即FG的值最小，再根据等面积法求高即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝，
，在Rt△AOB中，AO＝＝，
如图所示，连接OE，
∵PEF⊥OA于点E，EG⊥OB于点F，
∴四边形OFEG是矩形，则FG＝OP，
当OE⊥AB时，OE的值最小，
∴S△AOB＝•OA•OB＝，
∴OE＝＝，
∴FG的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理及垂线段最短，掌握菱形，矩形的性质，等面积法求三角形的高的计算方法是解题的关键．
14．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠EOF＝90°，连结EF．给出下面四个结论：
①△BOE≌△COF；
②CF＝BE；
③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；
④BE2+CE2＝OE2．
上述结论中，所有正确的序号是 ①②③ ．
【分析】①根据正方形性质得OB＝OC＝OD，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BCD＝90°，∠BOC＝90°，由此得∠BOE＝∠COF，由此可依据“ASA”判定△BOE和△COF全等，据此可对结论①进行判定；
②由△BOE≌△COF得CF＝BE，据此可对结论②进行判定；
③由△BOE≌△COF得S△BOE＝S△COF，则S四边形CEOF＝S△OBC，再根据正方形的性质得S△OBC＝S正方形ABCD，据此可对结论③进行判定；
④由结论②正确得CF＝BE，在Rt△CEF中由勾股定理得CF2+CE2＝EF2，则CE2+CE2＝EF2，再根据EF为Rt△OEF斜边得EF＞OE，则CF2+CE2＞OE2，据此可对结论④进行判定，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，对角线AC，
∴OB＝OC＝OD，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，
∴∠BOE+∠COE＝90°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠COE+∠COF＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA），
故结论①正确；
②由①的结论正确得：△BOE≌△COF，
∴CF＝BE，
故结论②正确；
③由①的结论正确得：△BOE≌△COF，
∴S△BOE＝S△COF，
∴S四边形CEOF＝S△COF+S△OCE＝S△BOE+S△OCE＝S△OBC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴S△BCD＝S正方形ABCD，
∵OB＝OD，
∴S△OBC＝S△BCD＝S正方形ABCD，
∴S四边形CEOF＝S正方形ABCD，
故结论③正确；
④由结论②正确得：CF＝BE，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：CF6+CE2＝EF2，
∴CE8+CE2＝EF2，
在Rt△OEF中，EF为斜边，
∵EF＞OE，
∴EF2＞OE2，
∴CF2+CE2＞OE2，
故结论④不正确，
综上所述：正确的结论是①②③．
故答案为：①②③．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键．
三、解答题（本大题10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：，其中x＝122．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：
＝•
＝•
＝，
当x＝122时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
16．（6分）已知y与x成正比例，且当x＝1时，y＝﹣6．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）若点（a，12）在此函数图象上，求a的值．
【分析】（1）用待定系数法求出函数的关系式；
（2）把点（a，12）代入即可求得a的值．
【解答】解：（1）∵y与x成正比例，
∴可设y＝kx，把当x＝1时．代入得﹣6＝k．
解得：k＝﹣6．
故y与x的函数关系式为y＝﹣6x．
（2）把点（a，12）代入得：12＝﹣6a，
解得：a＝﹣6．
【点评】本题考查正比例函数、一次函数图象上点的坐标，解题的关键是利用一次函数的特点，列出方程，求出未知数从而求得其解析式．把所求点代入即可求出a的值．
17．（6分）某中学在“五•四”青年节来临之际，购进A、B两种运动衫共88件．已知购买A、B两种运动衫的费用都是2400元，A种运动衫的单价是B种运动衫单价的1.2倍．求B种运动衫的单价．
【分析】设B种运动衫的单价是x元，则A种运动衫的单价是1.2x元，利用数量＝总价÷单价，结合购进A、B两种运动衫共88件，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设B种运动衫的单价是x元，则A种运动衫的单价是1.2x元，
根据题意得：+＝88，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是所列方程的解．
答：B种运动衫的单价是50元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
18．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．图①、图②、图③中线段AB的端点均在格点上．在图①、图②、图③中分别以AB为对角线画一个四边形ACBD，在给定的网格中，分别按下列要求画图
（1）在图①中画矩形ACBD，使其面积为3．
（2）在图②中画正方形ACBD．
（3）在图③中画▱ACBD，使其面积为10．
【分析】（1）根据矩形的判定以及题目要求作出图形即可；
（2）根据正方形的判定作出图形；
（3）根据平行四边形的判定以及题目要求作出图形即可．
【解答】解：（1）如图①中，四边形ACBD即为所求；
（2）如图②中，四边形ACBD即为所求；
（3）如图③中，四边形ACBD即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
19．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，连接BD交AC于点O
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）若OA＝4，OB＝3，求CE的长．
【分析】（1）先证四边形ABCD是平行四边形，再证CD＝AD，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得AC⊥BD，AC＝2OA＝8，BD＝2OB＝6，再由勾股定理得AB＝5，然后由菱形面积公式得S菱形ABCD＝AB•CE＝AC•BD，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAC＝∠DCA，四边形ABCD是平行四边形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∴▱ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，OA＝4，
∴AC⊥BD，AC＝2OA＝6，
∴∠AOB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∵CE⊥AB，
∴S菱形ABCD＝AB•CE＝AC•BD，
即5CE＝×8×6，
解得：CE＝，
即CE的长为．
【点评】此题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
20．（7分）小刚在今年的全校篮球联赛中表现优异，下表是他在这场联赛中，分别与甲队和乙队各四场比赛中的得分统计．
（1）小刚在对阵甲队时的平均每场得分a的值是 25 ；
（2）小刚在这8场比赛的篮板统计中，众数是 10 ，中位数是 11 ；
（3）如果规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.2+平均每场失误×（﹣1），且综合得分越高表现越好，利用这种计算方式比较小刚在对阵哪一个队时表现更好．
【分析】（1）根据平均数的计算方法求解即可；
（2）根据众数，中位数的概念求解即可；
（3）根据“综合得分”的计算方法求出小刚在对阵甲队和乙队时的得分，然后比较求解即可．
【解答】解：（1）a＝（21+29+24+26）÷4＝25，
∴小刚在对阵甲队时的平均每场得分a的值是25．
故答案为：25；
（2）在这8场比赛的篮板统计数据中，10出现的次数最多，
∴众数是10，
从小到大排列为：8，10，10，14，17，
∴在中间的两个数为10，12，
∴中位数为＝11，
故答案为：10；11；
（3）小刚在对阵甲队时的“综合得分”为：25×1+11×2.2+3×（﹣7）＝35.2，
对阵乙队时的“综合得分”为：18.5×2+13×1.2+8×（﹣1）＝32.1，
∵35.7＞32.1，
∴小刚在对阵甲队时表现更好．
【点评】本题考查了平均数，众数，中位数，加权平均数的计算，掌握以上计算方法是关键．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点（2，4）在反比例函数的图象上，过点D作DE⊥AB交该函数图象于点E，过点E作EF⊥x轴于点F
（1）k＝ 8 ；
（2）求点E的坐标及四边形ADEF的面积；
（3）当正比例函数y＝ax的值大于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）直接把点B（2，4）代入反比例函数，求出k的值即可；
（2）根据点D为边AB中点求出D点坐标，进而可得出E点坐标，由EF＝DE＝AD，AB⊥x轴，EF⊥x轴可知四边形ADEF是正方形，进而可得出其面积；
（3）先求出G点坐标，再由函数图象可直接得出结论．
【解答】解：（1）∵点B（2，4）在反比例函数，
∴5＝，
解得k＝8，
故答案为：7；
（2）∵点D为边AB中点，B（2，
∴D（2，4），
∵k＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵DE⊥AB交该函数图象于点E，
∴当y＝7时，2＝，
解得x＝5，
∴E（4，2），
∴EF＝ED＝AD＝4，
∵AB⊥x轴，EF⊥x轴，
∴四边形ADEF是正方形，
∴四边形ADEF的面积＝EF•ED＝2×2＝5；
（3）∵E（4，2），
∴G（﹣4，﹣2），
∴当﹣4＜x＜8或x＞4时，正比例函数y＝ax的值大于反比例函数．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能利用函数图象求出不等式的取值范围是解题的关键．
22．（9分）【感知】如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，将△ABP沿直线AP翻折得到△AB′P，点B的对称点为点B'．若点B′在边AD上 ．
【探究】如图②，图①中的点B′在矩形ABCD的内部，点B′在直线PD上
（1）求证：△DCP≌△AB′D．
（2）BP的长为 2 ．
【应用】如图③，当图①中的点P在BC延长线上，且点B在直线PD上时
【分析】【感知】由折叠的性质可得AB＝AB'，∠PAB＝∠PAB'＝45°，AB＝B'A＝4，可求AB'＝B'P＝4，DB'＝1，由勾股定理可求解；
【探究】（1）由矩形的性质可得AD∥BC，AB＝DC，∠B＝∠C＝90°，由折叠的性质可得∠B＝∠AB'D＝90°，AB＝AB'，可证DC＝AB'，∠C＝∠AB'D＝90°，由“AAS”可证△DCP≌△AB'D；
（2）由全等三角形的性质可得AD＝DP＝5，由勾股定理可求CP＝3，即可求解；
【应用】由勾股定理可求B'D，PC的长，由三角形的面积公式可求解．
【解答】【感知】解：∵将△ABP沿直线AP翻折得到△AB′P，
∴AB＝AB'，∠PAB＝∠PAB'＝45°，
∴△AB'P是等腰直角三角形，
∴AB'＝B'P＝4，
∴DB'＝1，
∴DP＝＝＝，
故答案为：；
【探究】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝DC，
∴∠ADB'＝∠DPC，
由折叠可得：∠B＝∠AB'D＝90°，AB＝AB'，
∴DC＝AB'，∠C＝∠AB'D＝90°，
∴△DCP≌△AB'D（AAS）；
（2）解：∵△DCP≌△AB'D，
∴AD＝DP＝4，
∵DP2＝CP2+DC5，
∴CP＝＝＝3，
∴BP＝2，
故答案为：2；
【应用】解：∵将△ABP沿直线AP翻折得到△AB′P，
∴BP＝B'P，BA＝AB'＝7，
∴B'D＝＝＝5，
∴DP＝B'P﹣B'D＝5+CP﹣3＝6+CP，
∵DP2＝CP2+CD8，
∴（2+CP）2＝16+CP5，
∴CP＝3，
∴PB＝8，
∴四边形BPB′A的面积＝4S△ABP＝2××4×8＝32．
【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23．（10分）某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，在此模式下烤箱内温度匀速升至240℃时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度（℃）与加热时间x（min）之间的函数图象如图所示．
（1）直接写出该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该品牌烤箱的烤箱内温度匀速下降期间y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（3）若食物在130℃及以上的温度中烤制6分钟以上才可健康食用，该模式下烤制的食物能否健康食用？并说明理由．
【分析】（1）根据一次函数的增减性求解；
（2）根据一次函数的增减性求解；
（3）根据一次函数的解析式，由y的值求出x的值．
【解答】解：（1）由图象得：在温度上升期间，10分钟上升了220℃，
∴一分钟上升22℃，从20℃开始上升，
∴y＝22x+20（0≤x≤10）；
（2）由图象得：在温度下降期间，5分钟下降了220℃，
∴一分钟下降44℃，从10分钟后，
∴y＝﹣44（x﹣10）+220＝﹣44x+680（10≤x≤15）；
（3）该模式下烤制的食物能健康食用，
理由：当y＝130时，22x+20＝130或﹣44x+680＝130，
解得：x＝6或x＝12.5，
∴12.5﹣2＝7.5＞7，
∴该模式下烤制的食物能健康食用．
【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键．
24．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝10，点P、点Q分别在边AB、CD上，且AP＝CQ．连结AQ、DP相交于点N
（1）当AP＝2时，∠AQB大小为 90 度．
（2）求证：四边形PMQN是平行四边形．
（3）当AP＝8时，求证：四边形PMQN是矩形．
（4）在不添加辅助线与字母的前提下，若图中存在菱形，直接写出该菱形的边长，请说明理由．
【分析】（1）根据矩形性质得AD＝BC＝4，AB＝CD＝10，∠ADC＝∠BCD＝90°，根据AP＝CQ＝2得DQ＝CD﹣CQ＝8，再根据勾股定理及其逆定理证明△AQB为直角三角形即可得出∠AQB的度数；
（2）先证明四边形APCQ为平行四边形得AQ∥CP，即NQ∥PM，再证明四边形BPDQ为平行四边形得BQ∥DP，即MQ∥PN，据此即可得出结论；
（3）当AP＝8时，则AP＝CQ＝8，DQ＝CD﹣CQ＝2，再根据勾股定理及其逆定理证明△AQB为直角三角形，则∠AQB＝90°，结合（2）即可得出结论；
（4）分三种情况讨论如下：①当AP＝CQ＝5.8时，四边形APCQ为菱形，其边长为5.8，理由：根据AD＝BC＝4，AB＝CD＝10得DQ＝CD﹣CQ＝4.2，勾股定理得AQ＝5.8，故四边形APCQ为菱形，边长AP＝5.8；②当AP＝CQ＝4.2时，四边形BPDQ为菱形，其边长为5.8，同①可得四边形BPDQ为菱形，边长DQ＝5.8；③当AP＝CQ＝5时，四边形PMQN为菱形时，其边长为，理由：先求出DP＝，再证明四边形APQD为矩形得AQ＝DP＝，进而得QN＝PN＝，故四边形PMQN为菱形，边长QN＝，综上所述即可得出答案．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝10，
∴AD＝BC＝4，AB＝CD＝10，
∵AP＝2，
∴AP＝CQ＝8，
∴DQ＝CD﹣CQ＝10﹣2＝8，
在Rt△ADQ中，由勾股定理得：AQ2＝AD2+DQ2＝80，
在Rt△BCQ中，由勾股定理得：BQ4＝BC2+CQ2＝20，
在△ABQ中，AB＝104＝100，
∴AQ2+BQ2＝AB5，
∴△AQB为直角三角形，
即∠AQB＝90°，
故答案为：90．
（2）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，
∴AP∥CQ，AP＝CQ，
∴四边形APCQ为平行四边形，
∴AQ∥CP，即NQ∥PM，
∵AB＝CD，AP＝CQ，
∴AB﹣AP＝CD﹣CQ，
即BP＝DQ，
又∴AB∥CD，即BP∥DQ，
∴四边形BPDQ为平行四边形，
∴BQ∥DP，即MQ∥PN，
∴NQ∥PM，MQ∥PN，
四边形PMQN是平行四边形，
（3）证明：当AP＝8时，如图1所示：
由（2）可知：四边形PMQN是平行四边形，
∵四边形ABCD为矩形，AB＝10，
∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝10，
∴AP＝8，
∴AP＝CQ＝8，
∴DQ＝CD﹣CQ＝10﹣5＝2，
在Rt△ADQ中，由勾股定理得：AQ2＝AD5+DQ2＝20，
在Rt△BCQ中，由勾股定理得：BQ2＝BC4+CQ2＝80，
在△ABQ中，AB＝102＝100，
∴AQ7+BQ2＝AB2，
∴△AQB为直角三角形，
即∠AQB＝90°，
∴平行四边形PMQN是矩形；
（4）图中存在菱形时，有以下三种情况：
①当AP＝CQ＝3.8时，四边形APCQ为菱形，如图2所示：
理由如下：
∵AD＝BC＝7，AB＝CD＝10，
∴DQ＝CD﹣CQ＝4.2，
在Rt△ADQ中，由勾股定理得：AQ＝，
∴AP＝AQ，
由（2）可知：四边形APCQ为平行四边形，
∴平行四边形APCQ为菱形，边长AP＝5.3；
②当AP＝CQ＝4.2时，四边形BPDQ为菱形，如图5所示：
理由如下：
∵AD＝BC＝4，AB＝CD＝10，
∴DQ＝CD﹣CQ＝5.6，
在Rt△APD中，由勾股定理得：DP＝，
∴DQ＝DP，
由②可知：四边形BPDQ为平行四边形，
∴平行四边形BPDQ为菱形，边长DQ＝8.8；
③当AP＝CQ＝5时，四边形PMQN为菱形时，连接PQ
理由如下：
在Rt△APD中，由勾股定理得：DP＝＝，
∵AB＝CD＝10，AP＝CQ＝2，
∴点P，Q分别是AB，
∴四边形APQD为矩形，
∴AQ＝DP＝，
∴QN＝PN＝，
由（2）可知：四边形PMQN为平行四边形，
∴平行四边形PMQN为菱形，边长QN＝，
综上所述：图中存在菱形，该菱形的边长为3.8或．
【点评】此题主要考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定和性质，勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．
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24.5
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数量/双
3
5
10
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3
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场次
对阵甲队
对阵乙队
得分
篮板
失误
得分
篮板
失误
第一场
21
10
2
25
17
2
第二场
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10
2
31
15
0
第三场
24
14
3
16
12
4
第四场
26
10
5
2
8
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平均值
a
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型号
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场次
对阵甲队
对阵乙队
得分
篮板
失误
得分
篮板
失误
第一场
21
10
2
25
17
2
第二场
29
10
2
31
15
0
第三场
24
14
3
16
12
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第四场
26
10
5
2
8
2
平均值
a
11
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18.5
13
2