2023-2024学年河北省石家庄市藁城区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省石家庄市藁城区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列计算，正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. a2+a2=2a4
C. (−a2)3=−a6D. (a−1)2=a2−1
2.下列不能用平方差公式运算的是( )
A. (−x+2)(−x−2)B. (−2m−n)(−2m−n)
C. (−2a+b)(2a+b)D. (y−x)(−x−y)
3.下列式子从左到右变形正确的是( )
A. ab=a+2b+2B. ab=a2b2C. a2−b2a−b=a−bD. ab=abb2
4.下列条件能判定△ABC是直角三角形的有( )
①∠A=90°−∠B；
②∠A：∠B：∠C=1：4：5；
③∠B−∠C=∠A．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
5.小芳有两根长度为6cm和11cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择的木条长度为( )
A. 5cmB. 3cmC. 17cmD. 12cm
6.如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD=∠DAB的依据是( )
A. SAS
B. ASA
C. AAS
D. SSS
7.在△ABC与△DFE中，∠B=∠F，AB=DF，添加下列条件后，仍不能得到△ABC≌△DFE的是( )
A. BC=EFB. BE=CFC. AC=DED. ∠A=∠D
8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，若AD、AE三等分∠BAC，则图中等腰三角形有( )
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
9.如图，从边长为a+1的正方形纸片中剪去一个边长为a−1的正方形(a>1)，剩余部分沿虚线剪开，再拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则该矩形的面积是( )
A. 4aB. 2aC. a2−1D. 2
10.“某学校改造过程中整修门口3000m的道路，但是在实际施工时，…，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路x m，可得方程3000x−10−3000x=20，则题目中用“…”表示的条件应是( )
A. 每天比原计划多修10m，结果延期20天完成
B. 每天比原计划多修10m，结果提前20天完成
C. 每天比原计划少修10m，结果延期20天完成
D. 每天比原计划少修10m，结果提前20天完成
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.分解因式：mn2−4m=______．
12.比较大小：(23)4______(34)2．
13.已知0.000049=4.9×10n，则n= ______ ．
14.如果分式2x+1x+2的值为0，则x的值为______．
15.如图，在△ABC中，延长AB至D，延长BC至E，如果∠A=55°，则∠1+∠2= ______ °.
16.将一副三角板按图中方式叠放，则角α的度数为______．
17.如图，在R△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD=3，P为AB上一动点，则PD的最小值为______．
18.如图，△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE/​/AB，则∠ADE的度数为______．
19.已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2，则阴影部分的面积为_____cm2．
20.如图，∠MAN是一个钢架，∠MAN=5°，为使钢架更牢固，需在其内部焊接一些钢管，如CD、DE、EF⋯⋯若焊接的钢管的长度都与AC的长度相等，则最多能焊接______ 根.
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
21.解方程：
(1)2x−3=3x；
(2)1−xx−2=12−x−2．
四、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.(本小题8分)
计算
(1)(3a2)2⋅(−a)3÷a−(−2a3)2．
(2)−12023×|−5|+(−8)0+(−13)−2．
23.(本小题8分)
因式分解：
(1)2a3−2a．
(2)(x2+4)2−16x2．
24.(本小题6分)
先化简：(1−1a)÷a2−2a+1a，再从1、2、0中选择一个合适的数代入求值．
25.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE/​/AB，∠DCE=∠A.若DE=10，AB=8，求BD的长．
26.(本小题10分)
甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米.甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校.已知甲步行速度是乙骑自行车速度的12，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍.甲、乙两同学同时从家里出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．
(1)求乙骑自行车的速度；
(2)当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
27.(本小题12分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且BE=CF，BD=CE．
(1)判断△DEF的形状，并说明理由；
(2)当∠DEF=70°时，求∠A的度数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，故本选项错误，不符合题意；
B、a2+a2=2a2，故本选项错误，不符合题意；
C、(−a2)3=−a6，故本选项正确，符合题意；
D、(a−1)2=a2−2a+1，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
根据同底数幂相乘，合并同类项，幂的乘方，完全平方公式，逐项判断即可求解．
本题主要考查了同底数幂相乘，合并同类项，幂的乘方，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、(−x+2)(−x−2)=(−x)2−4=x2−4，故A不符合题意；
B、(−2m−n)(−2m−n)=(−2m−n)2=(2m+n)2=4m2+4mn+n2，故B符合题意；
C、(−2a+b)(2a+b)=b2−(2a)2=b2−4a2，故C不符合题意；
D、(y−x)(−x−y)=(−x)2−y2=x2−y2，故D不符合题意；
故选：B．
根据平方差公式与完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、分式分子分母同时加2，该式左到右的变形不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意；
B、分式分子分母分别乘以a，b，该式左到右的变形不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意；
C、因式分解以后分子分母同时除以(a−b)，答案应该是a+b，原变形错误，故本选项不符合题意；
D、分子分母都乘以b(b≠0)，分式的值不变，原变形正确，故此选项符合题意．
故选：D．
根据分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．
4.【答案】D
【解析】解：①∵∠A=90°−∠B，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形，故①符合题意；
②∵∠A：∠B：∠C=1：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°×55+4+1=90°，
∴△ABC是直角三角形，故②符合题意；
③∵∠B−∠C=∠A，
∴∠B=∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B+∠B=180°，
∴∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形，故③符合题意；
故选：D．
根据三角形内角和定理是180度求出△ABC中某个角为90度即可判断△ABC是直角三角形．
本题主要考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：设木条的长度为x cm，
则11−6符合的数值为12cm．
故选：D．
根据三角形三边关系，已知两边长求出第三边的范围即可求解．
本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
6.【答案】D
【解析】【分析】
考查了全等三角形的判定，关键是根据三边对应相等的两个三角形全等(SSS)这一判定定理．利用三角形全等的判定证明．
【解答】
解：从角平分线的作法得出，
△AFD与△AED的三边全部相等，
则△AFD≌△AED(SSS)．
故选D．
7.【答案】C
【解析】解：A.AB=DF，∠B=∠F，BC=EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意；
B.∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
即BC=EF，
AB=DF，∠B=∠F，BC=EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意；
C.AB=DF，AC=DE，∠B=∠F，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DFE，故本选项符合题意；
D.∠A=∠D，∠B=∠F，BC=EF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
8.【答案】D
【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=108°，
∴∠B=∠C=36°，△ABC是等腰三角形，
∵∠BAC=108°，AD、AE三等分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°，
∴∠DAC=∠BAE=72°，
∴∠AEB=∠ADC=72°，
∴BD=AD=AE=CE，AB=BE=AC=CD，
∴△ABE、△ADC、△ABD、△ADE、△AEC是等腰三角形，
∴一共有6个等腰三角形．
故选D．
根据AB=AC，∠BAC=108°，易求∠B=∠C=36°，且知道△ABC是等腰三角形，再结合AD、AE三等分∠BAC，又易求∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°，进而可求∠DAC=∠BAE=72°，再结合三角形内角和定理可求∠AEB=∠ADC=72°，从而可判断△ABE、△ADC、△ABD、△ADE、△AEC是等腰三角形．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是求出每个角的度数，根据等角对等边即可判断．
9.【答案】A
【解析】解：根据拼图可知，拼成的长方形的长为(a+1)+(a−1)=2a，宽为(a+1)−(a−1)=2，因此面积为2a×2=4a，
故选：A．
根据拼图用代数式表示拼成的长方形的长与宽，进而利用长方形的面积公式进行计算即可．
本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示拼成后长方形的长与宽是正确解答的关键．
10.【答案】B
【解析】解：设实际每天整修道路x m，则(x−10)m表示：实际施工时，每天比原计划多修10m，
∵方程3000x−10−3000x=20，其中3000x−10表示原计划施工所需时间，3000x表示实际施工所需时间，
∴原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前20天完成．
故选：B．
由x代表的含义找出(x−10)代表的含义，再分析所列方程选用的等量关系，即可找出结论．
本题考查了分式方程的应用，根据所列分式方程，找出选用的等量关系是解题的关键．
11.【答案】m(n+2)(n−2)
【解析】解：mn2−4m，
=m(n2−4)，
=m(n+2)(n−2)．
故答案为：m(n+2)(n−2)．
先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12.【答案】<
【解析】解：∵(23)4=642，(34)2=812，而642<812
∴(23)4<(34)2．
根据幂的乘方把两个数写成指数相同的数，再比较．
此题主要考查学生对幂的乘方与积的乘方的理解及计算能力．
13.【答案】−5
【解析】解：0.000049=4.9×10n，则n=−5．
故答案为：−5．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14.【答案】−12
【解析】解：由题意得：
2x+1=0且x+2≠0，
∴x=−12且x≠−2，
∴x的值为：−12，
故答案为：−12．
根据分式值为0的条件，分子为0，分母不为0，进行计算即可解答．
本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式值为0的条件是解题的关键．
15.【答案】235
【解析】解：∵∠1=∠A+∠ACB，∠2=∠A+∠ABC，
∴∠1+∠2=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=55°，
∴∠1+∠2=180°+55°=235°，
故答案为：235．
根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，以及三角形内角和为180°即可计算．
本题考查了三角形外角的性质与内角和定理，掌握相关知识并正确计算是解题关键．
16.【答案】75°
【解析】解：∵图中是一副三角板，
∴∠2=45°，∠1=90°−45°=45°，
∴∠α=∠1+30°=45°+30°=75°．
故答案为：75°．
先根据直角三角板的性质求出∠1及∠2的度数，再根据三角形内角与外角的关系即可解答．
本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和．
17.【答案】3
【解析】解：作DP⊥AB于P，
则此时PD最小，
由尺规作图可知，AD平分∠CAB，又∠C=90°，DP⊥AB，
∴DP=CD=3，
故答案为：3．
作DP⊥AB于P，根据垂线段最短得到此时PD最小，根据角平分线的性质解答．
本题考查的是角平分线的性质，垂线段最短，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
18.【答案】110°
【解析】解：∵∠B=40°，∠C=30°，
∴∠BAC=110°，
由折叠的性质得，∠E=∠C=30°，∠EAD=∠CAD，∠ADE=∠ADC，
∵DE//AB，
∴∠BAE=∠E=30°，
∴∠CAD=40°，
∴∠ADE=∠ADC=180°−∠CAD−∠C=110°，
故答案为：110°．
根据三角形的内角和得到∠BAC=110°，由折叠的性质得到∠E=∠C=30°，∠EAD=∠CAD，∠ADC=∠ADE，根据平行线的性质得到∠BAE=∠E=30°，根据三角形的内角和即可得到结论．
本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
19.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等．
易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，可得△BEC的面积，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半．
【解答】
解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
∴S△ABD=S△ACD=12S△ABC=12×4=2，
∵E是AD中点，
同理S△BDE=12S△ABD=S△CDE=12S△ACD=12×2=1，
∴S△BCE=S△BDE+S△CDE=2，
∵F为EC中点，
∴S△BEF=12S△BCE=12×2=1．
故答案为1．
20.【答案】17
【解析】解：∵添加的钢管长度都与CD相等，∠MAN=5°，
∴∠DCE=∠DEC=10°，
…，
从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是5°，第二个是10°，第三个是15°，第四个是20°，第五个是25°，第六个是30°，第七个是35°，第八个是40°，…，第十八个是90°就不存在了．
所以一共有17个．
故答案为：17．
根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解．
此题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)去分母得：2x=3x−9，
解得：x=9，
经检验x=9是分式方程的解；
(2)去分母得：1−x=−1−2x+4，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
22.【答案】解：(1)原式=9a4⋅(−a3)÷a−4a6
=−9a6−4a6
=−13a6；
(2)原式=−1×5+1+9
=−5+1+9
=5．
【解析】(1)根据积的乘方法则、单项式乘单项式、单项式除以单项式、合并同类项计算；
(2)根据有理数的乘方、绝对值的性质、零指数幂和负整数指数幂计算．
本题考查的是单项式乘单项式、单项式除以单项式、积的乘方、合并同类项、零指数幂和负整数幂以及绝对值，掌握相关的运算法则是解题的关键．
23.【答案】解：(1)2a3−2a
=2a(a2−1)
=2a(a+1)(a−1)；
(2)(x2+4)2−16x2
=(x2+4+4x)(x2+4−4x)
=(x+2)2(x−2)2
【解析】(1)先提公因式，再利用平方差公式分解；
(2)先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解．
本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法的综合运用．
24.【答案】解：(1−1a)÷a2−2a+1a
=a−1a⋅a(a−1)2
=1a−1，
∵a≠0，a−1≠0，
∴a≠0，a≠1，
∴当a=2时，原式=12−1=1．
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
25.【答案】解：证明：∵DE//AB，
∴∠EDC=∠B，
在△CDE和△ABC中，
∠EDC=∠BCD=AB∠DCE=∠A，
∴△CDE≌△ABC(ASA)，
∴DE=BC，
∴BD=BC−DC=DE−AB=10−8=2．
【解析】利用平行线的性质得∠EDC=∠B，再利用ASA证明△CDE≌△ABC，可得DE=BC，从而计算可得．
本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
26.【答案】解：(1)设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是12x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，
根据题意得60012x+3000−6002x=3000x−2，
解得：x=300米/分钟，
经检验x=300是方程的根，
答：乙骑自行车的速度为300米/分钟；
(2)∵300×2=600米，
答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米．
【解析】(1)设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是12x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，根据题意列方程即可得到结论；
(2)300×2=600米即可得到结果．
此题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，根据题意得到乙的运动速度是解题关键．
27.【答案】解：(1)∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BDE和△CEF中，
BE=CF∠B=∠CBD=CE，
∴△BDE≌△CEF(SAS)，
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
(2)∵∠DEC=∠B+∠BDE，
即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，
∵△BDE≌△CEF，
∴∠CEF=∠BDE，
∴∠DEF=∠B，
在△ABC中，AB=AC，∠DEF=70°，
∴∠A=40°．
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
(1)根据AB=AC可得∠B=∠C，即可求证△BDE≌△CEF，即可解题；
(2)根据全等三角形的性质得到∠CEF=∠BDE，于是得到∠DEF=∠B，根据等腰三角形的性质即可得到结论．