安徽省滁州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份安徽省滁州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)，共31页。
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题在“试题卷”上答题是无效的．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．二次函数的图象是一条抛物线，若抛物线开口向上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，，直线m，n与这三条平行线分别相交于点A，B，C和D，E，F．若，，则的值为（ ）
A．B．4C．D．7
3．若M（-2，a），N（2，b），P（4，c）三点都在函数y=的图象上， 则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．b＞c＞aC． c＞a＞bD．c＞b＞a
4．在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在点（1，0），半径为2，则下面各点在⊙O上的是（ ）
A．（2，0）B．（0，2）C．（0，）D．（，0）
5．如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，米，，则横梁的长为（ ）
A．米B．8米C．米D．12米
6．高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径（ ）
A．5米B．米C．6米D．米
7．如图，小明先在凉亭处测得湖心岛在其北偏西的方向上，又从处向正东方向行驶200米到达凉亭处，测得湖心岛在其北偏西的方向上，则凉亭与湖心岛之间的距离为（ ）
A．400米B．米C．米D．米
8．如图，在四边形中，，对角线，过点作于点，若，，则的长为（ ）
A．B．3C．D．5
9．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（ ）
A．y=﹣B．y=﹣C．y=﹣D．y=
10．如图，菱形的边长为，，动点从点出发以的速度沿着边运动，到达点后停止运动；同时动点从点出发，以的速度沿着边向点运动，到达点后停止运动．设点的运动时间为，的面积为，则关于的函数图象为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．已知锐角满足，则 ．
12．如图，的直径为，，的半径为4，则弦的长度为 ．
13．如图，A，B是双曲线y＝（x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为 ．
14．已知二次函数．
（1）若抛物线经过点，则 ．
（2）若当时，其对应的函数值的最小值为4，则 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知一个二次函数的图象过点，它的顶点坐标是，求这个二次函数的关系式．
16．如图，三个顶点的坐标分别为，，，请你分别完成下面的作图．（不要求写出作法）
(1)以点为位似中心，在第三象限内作出，使与的位似比为；
(2)以点为旋转中心，将沿顺时针方向旋转得到．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在中，，．
(1)求的值；
(2)延长至点，使得，求的长．
18．如图，已知△ABC中AD⊥BC于D，BE⊥AC于E．
（1）求证：△CDE△CAB．
（2）若∠C=60°，求S△CDE：S△CAB的值．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，以BC为底的等腰ABC的三个顶点都在⊙O上，过点A作AD∥BC交BO的反向延长线于点D．
(1)求证：AD是⊙O的切线．
(2)若四边形ADBC是平行四边形，且BC＝12，求⊙O的半径．
20．年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为．

(1)求点离地面的高度；
(2)求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：)
六、（本题满分12分）
21．如图，一次函数的图象与反比例函数(k为常数，)的图象交于A、B两点，过点A作轴，垂足为C，连接，已知，，
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)结合图象直接写出：当时，x的取值范围．
七、（本题满分12分）
22．如图，抛物线与轴负半轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若是直线上方抛物线上一点，过点作交直线于点．设点的横坐标为．
①若点与点重合，求的坐标；
②请用含的代数式表示出线段的长，并求出线段的最大值．
八、（本题满分14分）
23．如图，矩形中，点E在上，，与相交于点O．与相交于点F．
(1)若平分，求证：；
(2)找出图中与相似的三角形，并说明理由;
(3)若，，求的长度．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查二次函数图像及性质．根据题意利用二次函数性质即可得到本题答案．
【详解】解：∵二次函数开口向上，
∴，即，
故选：B．
2．C
【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据题意可得，即可求出的值，继而求出本题答案．
【详解】解：∵，直线m，n与这三条平行线分别相交于点A，B，C和D，E，F，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∵，
故选：C．
3．B
【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限以及函数图象的增减性，再根据各点横坐标的符号及大小进行解答即可．
【详解】解：函数中，
此反比例函数图象的两个分支分别在一、三象限，且在各个象限内，y随着x的增大而减小，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及反比例函数的性质，根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限是解答此题的关键．
4．C
【分析】根据点的坐标性质结合勾股定理得出斜边长，进而得出点与⊙O关系．
【详解】A、点（2，0）到⊙O的圆心（1，0）的距离为：2-1=1＜2，所以点（2，0）在⊙O内，错误；
B、点（0，2）到⊙O的圆心（1，0）的距离为：＞2，所以点（2，0）在⊙O外，错误；
C、点（0，）到⊙O的圆心（1，0）的距离为：=2，所以点（2，0）在⊙O上，正确；
D、点（，0）到⊙O的圆心（1，0）的距离为：-1＜2，所以点（2，0）在⊙O内，错误；
故选C．
【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r，②点P在圆上⇔d=r，③点P在圆内⇔d＜r．
5．A
【分析】本题考查含的直角三角形三边关系．根据题意利用在直角三角形中含角所对的边是斜边的一半即可得到本题答案．
【详解】解：∵立柱垂直于横梁，
∴，
∵米，，
∴米，
故选：A．
6．A
【分析】先设此圆的半径为r，用r表示出，的长，再由垂径定理求出的长，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：设此圆的半径为r，则，
∵米，，
∴米，
在中，
∵米，
∴，即，
解得米．
故选A．
【点睛】本题考查的是圆的综合运用，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
7．B
【分析】本题考查解直角三角形方向角的应用，锐角三角函数．过点作于点，根据，再分别利用正弦余弦三角函数求出和的值即可得到本题答案．
【详解】解：点作于点，
，
由题意可得：，，
∴，，
在中，米，
∴米，
米，
∴米，
∵，
∴（米），
故选：B．
8．C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，先求出,证得，，得到，根据相似三角形的判定即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴
∵，
∴
在中，,，
∴，
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故选：C．
9．C
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出S△AOD=3，即可得出答案．
【详解】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵∠BOA=90°，
∴∠BOC+∠AOD=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BOC=∠OAD，
又∵∠BCO=∠ADO=90°，
∴△BCO∽△ODA，
∵=tan30°=，
∴，
∵×AD×DO=xy=3，
∴S△BCO=×BC×CO=S△AOD=1，
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：y=﹣．
故选C．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出S△AOD=2是解题关键．
10．D
【分析】根据题意可知分情况讨论，分别列出当点在上时，点在上时，点在上时表达式，再画图得到函数解析式，即可得到本题答案．
【详解】解：设点的运动时间为，的面积为，
①当时，点在上时，
过点作，
，
∵根据题知：，，
∴，，
∴；
②当时，点在上时，
过点作，
，
∵根据题知：，，
∴，
∴；
③当时，点在上时，
过点作交延长线于，
，
∵根据题知：，即，
∵，，
∴，
∴，
∴；
∴结合三种情况，图像如下所示：
，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形面积公式，用含的式子表示，一次函数，二次函数的图象，含直角三角形三边关系，根据题意求出函数解析式是关键．
11．35
【分析】本题考查正弦余弦关系．根据题意利用正弦余弦等值则角度互余，即可得到本题答案．
【详解】解：∵，
∴，即：，
故答案为：35．
12．
【分析】连接，根据圆周角定理得到，再根据勾股定理求出弦的长度即可．此题考查了圆周角定理、勾股定理等知识，根据圆周角定理得到是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵的半径为4，
∴，
∴．
故答案为：．
13．6
【分析】应用k的几何意义及中线的性质求解．
【详解】解：D为AC的中点，的面积为3，
的面积为6，
所以，
解得：m＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，关键是利用的面积转化为三角形AOC的面积．
14． 3 0或4##4或0
【分析】本题考查二次函数图象及性质．
（1）根据题意先将点代入中即可求出的值；
（2）根据给定的，分情况讨论最小值情况即可求出本题答案．
【详解】解：（1）∵抛物线经过点，
∴将点代入中得：，
∴；
（2）∵当时，其对应的函数值的最小值为4，
①当处取得最小值，则，解得：或，
∵抛物线对称轴是，当时，即对称轴为与讨论情况矛盾，故舍去，
∴；
②当处取得最小值，则，解得：或，
∵抛物线对称轴是，当时，即对称轴为与讨论情况矛盾，故舍去，
∴；
③当对称轴取得最小值，
∵，
∴对称轴为：，此时，
∴此种情况舍去，
故答案为：0或4．
15．
【分析】由于已知顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出的值即可．
【详解】解：设抛物线的顶点式为，
将点代入得，
解得，
所以抛物线的解析式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
16．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查画出位似图形，画旋转图形．
（1）利用位似定义，先分别求出位似比为的点坐标，依次连接即可画出；
（2）利用旋转定义，先分别求出旋转后的点坐标，依次连接即可得到．
【详解】（1）解：∵，，，与的位似比为
∵在第三象限内作出，
∴，
如图，即为所求；
；
（2）解：∵，，，将沿顺时针方向旋转得到，
∴，
如图所示：
；
17．(1)
(2)
【分析】本题考查三角函数求值，等腰三角形性质．
（1）根据题意过点作，利用等腰三角形性质即可求得本题答案；
（2）根据题意利用即可求出本题答案．
【详解】（1）解：作，垂足为，
，
∵，，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
18．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）先证明△ADC△BEC，然后根据相似三角形的性质得出=，最后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似进行证明；
（2）先求出，然后根据相似三角形的面积比为相似比的平方进行求解．
【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△ADC△BEC，
∴=,
∵∠C=∠C，
∴△CDE△CAB．
（2）解：∵△CDE△CAB，
∴=，
∵∠C=60°，∠ADC =90°，
∴∠DAC=30°，
∴=，
∴S△CDE：S△CAB=．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似与相似三角形的性质是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OA，交BC于点E，根据等腰三角形的性质以及垂径定理可得，OA平分BC， 再由AD∥BC，即可求解；
（2）先求出BE=6，再由四边形ADBC是平行四边形，可得，从而得到，进而证得△ABO是等边三角形，可得 ，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接OA，交BC于点E，
∵等腰ABC是以BC为底，
∴AB=AC，
∴，
，OA平分BC，
，
∵AD∥BC，
，
，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵OA平分BC，BC=12，

∵四边形ADBC是平行四边形，
，
，
，
∵∠OAD=90°，
∴，
，
，
，
，
，
∴△ABO是等边三角形，
，
∵，
，
∴⊙O的半径为．
【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，垂径定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
20．(1)
(2)飞船从处到处的平均速度约为
【分析】（1）根据含度角的直角三角形的性质即可得到结论；
（2）在中，根据直角三角形的性质得到，在中，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论．
【详解】（1）解：在中，，，，
，
（2）在中，，，，
，
在中，，，
，
，
，
飞船从处到处的平均速度．
【点睛】本题考查了解直角三角形-俯角仰角问题，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键．
21．(1)，
(2)或．
【分析】(1)求得，把代入可得反比例函数的解析式为，求得，把，代入一次函数，可得一次函数的解析式为．
(2) 当时，x的取值范围或．
【详解】（1）解：详解：(1)∵，，
∴，
∴，
把代入可得，，
∴反比例函数的解析式为，
把代入反比例函数，可得，
∴，
把，代入一次函数，可得
，
解得，，
∴一次函数的解析式为．
（2）解：由图可知，当时，x的取值范围或．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是学会利用待定系数法确定函数解析式，知道两个函数图象的交点坐标可以利用方程组解决，学会利用图象确定自变量的取值范围．
22．(1)
(2)①；②当时，最大，最大值为
【分析】（1）根据题意待定系数法即可求得本题答案；
（2）①根据题意过点作轴于点，利用即可得到本题答案；②过点作轴交于点，先求得一次函数解析式，利用平行表示出即可得到本题答案．
【详解】（1）解：把，代入，
解得
∴抛物线的表达式为；
（2）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
过点作轴于点，
，
∴，
∵点坐标为，
∴，，（舍去），
∴时，，
∴点坐标为；
②过点作轴交于点，
，
设直线为，把，代入，
，解得，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，最大，最大值为．
【点睛】本题考查二次函数图像及性质，二次函数最值，待定系数法求二次函数解析式，一次函数等．
23．(1)证明见解析
(2)，与相似，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论；
（2）根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出；
（3）根据得出，根据得出，联立方程组求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示：
四边形为矩形，
，
，
，
，
又平分，
，
，
又与互余，
与互余，
；
（2）解：，与相似．
理由如下：
，，
，
又，
，
，，
；
（3）解：，
，
，
，
在矩形中对角线相互平分，图中，
①，
，
，
，
在矩形中，
②，
由①②，得（负值舍去），
．
【点睛】本题考查矩形综合问题，涉及到矩形的性质、角平分线的性质、角度的互余关系、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．