江西省南昌市重点学校2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份江西省南昌市重点学校2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共22页。
2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分。
一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．点关于x轴的对称点是（ ）
A．B．C．D．
2．若将中的x与y都扩大为原来的2倍，则这个代数式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍B．不变C．扩大为原来的4倍D．缩小为原来的
3．如图，把一副常用三角板如图所示拼在一起，延长ED交AC于F，那么图中∠AFE的度数是（ ）度．
第3题图
A．60B．90C．100D．105
4．如图，在3×3的方格中，每个小正方形的边长都是1，则∠1与∠2的关系为（ ）
第4题图
A．B．C．D．
5．如图，这是嘉嘉的一次作业，若每道题25分，则该次作业嘉嘉的得分为（ ）
第5题图
A．25分B．50分C．75分D．100分
6．我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
①
②
③
④
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．若分式的值为零，则x的值是 ．
8．已知，，则 ．
9．用一条长为36cm的细绳围成一个等腰三角形，若它的一边长为8cm，则它的底边长为 cm．
10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则△APC周长的最小值为 ．
第10题图
11．已知，则 ．
12．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，在下列结论中：①；②若AB＝4，OD＝1，则；③当时，；④若，，则．其中正确的结论为 ．
第12题图
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．分解因式：
（1）；
（2）．
14．（1）计算：；
（2）解方程：．
15．小明利用一根3m长的竿子来测量路灯的高度．他的方法是这样的：在路灯前选一点P，使BP＝3m，并测得∠APB＝70°，然后把竖直的竿子CD（CD＝3m）在BP的延长线上移动，使∠DPC＝20°，此时量得BD＝11.2m．根据这些数据，小明计算出了路灯的高度．你能计算出路灯高度吗？请写出计算过程并说明理由。
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E．
（1）若∠CEF＝50°，求∠A的度数；
（2）∠CFE与∠CEF相等吗？请说明理由．
17．在4×4的正方形网格中建立如图所示的直角坐标系，其中格点A，B的坐标分别是，．请在x轴上找一个格点C，使得△ABC是直角三角形，且为轴对称图形，
（1）直接写出点C的坐标；
（2）求出此时△ABC的面积．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如：
求的最小值．
解：
，
∵，
∴，
即的最小值为．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ．
（2）求的最大值．
（3）已知，求的值．
19．酸辣粉是重庆的特色美食，三峡广场某小吃店推出两款酸辣粉，一款是“经典手工酸辣粉”，另一款是“肉沫哨子酸辣粉”．已知1份“经典手工酸辣粉”和2份“肉沫哨子酸辣粉”需34元；3份“经典手工酸辣粉”和1份“肉沫哨子酸辣粉”需42元．
（1）求“经典手工酸辣粉”和“肉沫哨子酸辣粉”的单价；
（2）红薯粉条是制作酸辣粉的原材料之一，该小吃店老板发现今年第三季度平均每千克红薯粉条的价格比第二季度上涨了20%，第三季度花600元买到的红薯粉条数量比第二季度花同样的钱买到的红薯粉条数量少了10千克，求第三季度红薯粉条的单价．
20．已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点（E点不与A重合），AE∥BC．
（1）求证△ABC是等腰三角形；
（2）连EB，EC，试判断与的大小关系，并说明理由．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，，并且规定一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题：
（1） ，的小数部分为 ；
（2）若a，b分别是的整数部分和小数部分，求a，b的值．
（3）求 （直接写出结果）
22．课本再现
（1）由三角形内角和定理可以推导出三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，我们可以进一步推导：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．如图1，∠ACD是△ABC的外角，则∠ACD
∠A＋∠B，所以∠ACD ∠B．（填“＞”、“＜”或“＝”）
图1
（2）实验与探究：
智慧小组把以上问题转化成如下证明题：“如图2，在△ABC中，AC＞AB，求证：∠B＞∠C．”并作出了辅助线：作∠BAC的平分线AD，在AC上截取AE＝AB，连接DE．请你根据．．智慧小组的探究思路补充完成该问题的证明过程．
图2
（3）创新小组总结了智慧小组的实验探究结论：在一个三角形中，大边对大角；反之，大角对大边．并且他们还提出了一个新问题：如图3，在△ABC中，∠B＝2∠C，那么AC、2AB之间有怎样的数量关系？你的猜想是AC （填“＞”、“＜”或“＝”）2AB．（不需证明）
图3
六、解答题（本大题共12分）
23．如图1，在四边形ABDC中，CD＝BD，∠A＝∠CDB＝90°，点E是AC上一点，点F是AB的延长线上一点，且CE＝BF．
图1
（1）试说明：DE＝DF．
（2）如图2，若点G在AB上，且∠EDG＝45°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系，并加以说明．
图2
（3）如图3，若题目中的∠A＝∠CDB＝90°改成∠A＝α，∠CDB＝180°－α，点G在AB上，则∠EDG满足什么条件时，（2）中的结论仍然成立？（直接写出条件）（提示：四边形的内角和等于360°）
图3
2023－2024学年第一学期期末质量检测八年级数学试卷参考答案：
一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．A
【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，掌握“点关于x轴的对称点P＇的坐标是”是解决问题的关键．
【详解】解：
∵点关于x轴的对称点的坐标是，
∴点关于x轴的对称点的坐标是，
故选：A．
2．A
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，求代数式的值，利用已知条件进行计算，通过比较计算结果即可得出结论．
【详解】解：将中的x与y都扩大为原来的2倍，
则这个代数式的值为：，现值扩大为原来的2倍，
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了三角形的外角，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．
根据三角形的外角的性质（三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和）解决此题．
【详解】解：由题意得，
∠E＝45°，∠C＝60°，
∴∠AFE＝∠E＋∠C＝45°＋60°＝105°．
故选：D．
4．D
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．根据SAS可证得△ABC≌△EDF，可得出∠BAC＝∠DEF，继而可得出答案．
【详解】解：如图，
由题意得：AB＝ED，BC＝DF，∠EDF＝∠ABC＝90°，
∴△ABC≌△EDF（SAS），
∴∠DEF＝∠1，
∵∠DEF＋∠2＝180°，
∴∠1＋∠2＝180°．
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了二次根式的减法、乘除运算．熟练掌握二次根式的减法、乘方、乘除运算是解题的关键．根据二次根式的减法、乘除运算，进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，错误，
，，，正确，
∴该次作业嘉嘉的得分为75分，
故选：C．
6．D
【分析】此题考查用图形面积解释代数恒等式，观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积．
【详解】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．
【分析】分式的值为零的前提是分式有意义，即分式的分母不能为零．根据分式的值为零，得到，且，得到．
本题主要考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零时，需满足分子为零而分母不为零两个条件，是解决问题的关键．
【详解】
∵分式的值为零，
∴，且，
解得，，且，
∴．
故答案为：．
8．
【分析】利用乘法公式计算之后整体代入即可．
【详解】解：
∵，，
∴
；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式的计算，能够熟练计算乘积是解题关键．
9．8
【分析】由用一条长为36cm的细绳围成一个等腰三角形，其中有一边为8cm，可以分别从①若8cm为底边长，②若8cm为腰长时，去分析，然后根据三角形的三边关系判定是否能组成三角形，继而可求得答案．
【详解】①当8cm为底边时，
设腰长为x cm，
则2x＋8＝36，
解得：x＝14，
14，14，8能构成三角形，此时底边为8cm；
②当8cm为腰长时，
设底边长为y cm，
则y＋8×2＝36，
解得：y＝20，
8，8，20不能构成三角形．
故答案是：8．
【点睛】考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题比较简单，解题的关键是注意分类讨论思想的应用．
10．14
【分析】由图形可得：△APC周长＝AC＋AP＋CP，因为AC＝3，所以求出AP＋CP的最小值即可求出△APC周长的最小值，根据题意知点A关于直线EF的对称点为点B，故当点P与点E重合时，AP＋CP的值最小，即可得到结论．
【详解】解：如图所示，连接AE，BP，
∵直线EF垂直平分AB，
∴A，B关于直线EF对称，
∴AE＝BE，AP＝BP，
在△PCB中，PC＋PB＞CB，
∴当P和E重合时，C、P、B三点共线，
此时，AP＋CP的值最小，最小值等于BC的长，
∴△APC周长的最小值＝AC＋AP＋CP＝6＋8＝14，
故答案为：14．
【点睛】本题考查了轴对称－最短路线问题的应用、垂直平分线的性质、三角形周长，解答本题的关键是准确找出动点的位置．
11．/0.25
【分析】根据二次根式有意义的条件求出x，进而得出y，根据积的乘方，幂的乘方逆用法则将变形为，代入x，y求解即可．
【详解】解：
∵，即，
解得：，
∴，
∴，
将，代入，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，积的乘方，幂的乘方逆用法则，熟记二次根式被开方数为非负数并熟练掌握积的乘方，幂的乘方逆用法则是解题的关键．
12．②③④
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；过O点作OP⊥AB于P，由角平分线的性质可求解OP＝1，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO（SAS），得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再证得△HAO≌△FAO（ASA），得到AF＝AH，进而判定③正确；作ON⊥AC于N，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得④正确．
【详解】解：
∵∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，
∴，，
∴
，故①错误；
过O点作OP⊥AB于P，
∵BF平分∠ABC，OD⊥BC，
∴OP＝OD＝1，
∵AB＝4，
∴，故②正确；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC＋∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与∠ABC的平分线，
∴，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，
，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠AOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°－60°－60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HAO和△FAO中，
，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH＋AH＝BE＋AF，故③正确；
作ON⊥AC于N，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴ON＝OM＝OD＝a，
∵AB＋AC＋BC＝2b，
∴，故④正确．
综上，②③④正确．
故答案为：②③④．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，角平分线的判定和性质定理等知识，正确作出辅助线证得△HBO≌△EBO（SAS），得到∠BOH＝∠BOE＝60°，是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．
（1）
（2）
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用．
（1）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可；
（2）先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可
【详解】
（1）解：
；
（2）
．
14．（1）；（2）．（3分，未检验扣1分）
【分析】
（1）由题意先计算算术平方根和零、负指数幂以及去绝对值，继而进行实数的加减运算即可；
（2）由题意先去分母，再移项合并，最后化系数为1即可得出方程的根，注意检验是否有增根．
【详解】解：
（1）
（2）
去分母：
移项合并：
化系数为1：
经检验是方程的根．
【点睛】本题考查实数的混合运算以及解分式方程，熟练掌握算术平方根和零、负指数幂以及去绝对值的方法和解分式方程的方法是解题的关键，注意解分式方程时检验是否有增根．
15．能，8.2m
【分析】本题主要考查一线三直角类型，全等三角形的判定和性质综合，直接依据BP＝CD，最后在两个直角三角形中去导角，即可证明△APB≌△PCD（ASA）．
【详解】能．
∵∠CPD＝20°，∠APB＝70°；∠CDP＝∠ABP＝90°；
∴∠DCP＝∠APB＝70°；
在△CPD和△PAB中，
∴△CPD≌△PAB（ASA）；
∴DP＝AB；
∵DB＝11.2m，PB＝3m；
∴AB＝DP＝11.2－3＝8.2（m）
答：路灯的高度是8.2m．
16．
（1）10°
（2）相等，理由见解析
【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形角平分线、中线和高的有关知识．
（1）根据直角三角形的性质得出∠CBE，进而利用角平分线的定义和三角形内角和定理解答即可，
（2）题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等量代换可得答案．
【详解】
（1）解：∵∠ACB＝90°，∠CEF＝50°，
∴∠CBE＝40°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝80°，
∴∠A＝180°－∠ACB－∠ABC＝180°－90°－80°＝10°．
（2）如下图：
∵∠ACB＝90°，
∴∠1＋∠3＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠2＋∠4＝90°
又∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∵∠4＝∠5，
∴∠3＝∠5，
即∠CFE＝∠CEF．
17．
（1）画图见解析，，
（2）△ABC的面积为
【分析】根据题意画出满足条件的点C，再利用三角形面积公式计算即可．
【详解】解：如图，点C即为所求，
点C的坐标为．
△ABC的面积．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，轴对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．
（1）4
（2）9
（3）
【分析】
（1）本题主要考查把一个多项式配成完全平方式结构，根据完全平方式结构直接添加常数项即可求解．
（2）本题主要考查利用配方法配方，然后再用平方差公式进行因式分解，注意整体法的应用就可以直接求解．
（3）本题主要考查利用题干中的信息进行配方，然后求出最大值，直接变形即可，注意此多项式前面是负号，加括号要变号．
【详解】
（1）解：根据题意，直接计算；
∴故答案为：4．
（2）解：
，
∵
∴，
∴，
即的最大值为9．
（3）解：原方程可化为
即
∵，
∴x＝1，
∴
19．
（1）10元，12元
（2）12元
【解答】本题考查二元一次方程组的应用、分式方程的应用，理解题意，正确列出对应方程是解答的关键．
（1）设“经典手工酸辣粉”的单价是x元，“肉沫哨子酸辣粉”的单价是y元，根据题意列出二元一次方程组并正确求解即可；
（2）设第二季度红薯粉条的单价为m元，根据题意列出分式方程并正确求解即可．
【详解】
（1）解：设“经典手工酸辣粉”的单价是x元，“肉沫哨子酸辣粉”的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：“经典手工酸辣粉”的单价是10元，“肉沫哨子酸辣粉”的单价是12元；
（2）解：设第二季度红薯粉条的单价为m元，则第三季度红薯粉条的单价为元，根据题意得：，
解得：m＝10，
经检验，m＝10是所列方程的解，且符合题意，
∴．
答：第三季度红薯粉条的单价为12元．
20．
（1）见解析
（2）EB＋EC＞AB＋AC，见解析
【分析】
（1）根据AE平分∠DAC，∠DAE＝∠EAC；根据AE∥BC，则∠DAE＝∠DBC，∠EAC＝∠ACB，根据等量代换，等角对等边，等腰三角形的判定，即可；
（2）在AD上，截取AF＝AC，连接EF；根据全等三角形的判定，得△AEF≌△AEC，得EF＝EC，根据三角形三边的性质，即可．
【详解】
（1）证明：∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠EAC，
∵AE∥BC，
∴∠DAE＝∠DBC，∠EAC＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠DBC，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
（2）解：BE＋EC＞AB＋AC，
理由如下：
在AD上，截取AF＝AC，连接EF，
∴在△AEF和△ACE中，
，
∴△AEF≌△AEC，
∴EF＝EC，
在△BEF中，BE＋EF＞BF，
∵BF＝AB＋AF，AB＝AC＝AF，
∴BF＝AB＋AC，
∴BE＋EF＞AB＋AC，
∴BE＋EC＞AB＋AC．
【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握等腰三角形的判定，全等三角形的判定，三角形三边的性质．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．
（1）3，
（2）a＝2，
（3）
【分析】
（1）估算出无理数的范围，从而得到无理数的整数部分和小数部分；
（2）根据二次根式的混合运算化简，估算出无理数的范围，得到无理数的整数部分和小数部分．
【详解】解：
（1）∵9＜14＜16，
∴，
∴，
∴的小数部分为，
故答案为：3，；
（2），
∵，
∴，
∴，．
（3）
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和无理数的估算，正确进行无理数的大小的估算是解题的关键．
22．
（1）＝；＞
（2）见解析
（3）＜
【分析】本题考查三角形内角和定理，外角的性质，
（1）根据三角形外角的定义即可判断；
（2）先证明△ABD≌△AED，再由外角定义即可证得；
（3）在线段BC上取点E，使得AB＝AE，再证AB＝AE＝EC，得到AE＋AC＞AC，从而得出结论．
【详解】
（1）解：由三角形外角的定义可知，
∠ACD＝∠A＋∠B，∠ACD＞∠B
故答案为：＝；＞
（2）证明：∵AD是∠BAC的平分线
∴∠BAD＝∠CAD
∵AE＝AB，
在△ABD和△AED中
△ABD≌△AED（SAS）
∴∠B＝∠AED，
∵∠AED＝∠C＋∠CDE，
∴∠AED＞∠C，
∴∠B＞∠C；
（3）解：＜
如图
在线段BC上取点E，使得AB＝AE，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠B＝2∠C，
∴∠AEB＝2∠C
故AE＝EC
∴AB＝AE＝EC
∴AE＋EC＞AC
即AC＜2AB
故答案为：＜
23．
（1）见解析
（2）EG＝CEB＋G．理由见解析
（3）
【分析】
（1）先证∠DBF＝∠C，再利用SAS证明△DBF≌△DCE即可；
（2）利用（1）的结论，先证∠FDG＝45°，再利用SAS证明△EDG≌△FDG，得到EG＝GF＝BF＋BG，通过等量代换即可得出EG＝CE＋BG；
（3）根据（2）的证明过程可知，EG＝CE＋BG成立时，需满足∠EDG＝∠FDG，△EDG≌△FDG，此时．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABDC的内角和等于360°，
∴∠A＋∠CDB＋∠C＋∠ABD＝360°，
又∵∠A＝∠CDB＝90°，
∴∠C＋∠ABD＝360°－∠A－∠CDB＝180°，
∵∠DBF＋∠ABD＝180°，
∴∠DBF＝∠C，
在△DBF和△DCE中，
，
∴△DBF≌△DCE（SAS），
∴DE＝DF；
（3）解：EG＝CE＋BG．
理由如下：
由（1）知△DBF≌△DCE，
∴∠BDF＝∠CDE，
∵∠CDB＝90°，∠EDG＝45°，
∴∠GDB＋∠CDE＝∠CDB－∠EDG＝90°－45°＝45°，
∴∠GDB＋∠BDF＝45°，
即∠FDG＝45°，
在△EDG和△FDG中，
，
∴△EDG≌△FDG（SAS），
∴EG＝GF，
∴EG＝BF＋BG，
∵CE＝BF，
∴EG＝CE＋BG；
（3）解：时，（2）中结论仍然成立．
理由如下：
∵∠A＝α，∠CDB＝90°－α，
∴∠C＋∠ABD＝360°－∠A－∠CDB＝180°，
同（1）可证△DBF≌△DCE（SAS），
∴DE＝DF，∠BDF＝∠CDE，
∵，∠CDB＝180°－α，
∴，
∴，
即，
同（2）可证，在△EDG和△FDG中，
，
∴△EDG≌△FDG（SAS），
∴EG＝GF，
∴EG＝BF＋BG，
∵CE＝BF，
∴EG＝CE＋BG．
【点睛】本题考查角的和差以及全等三角形的判定与性质，第3问有一定难度，能够类比第2问的证明过程，推出规律是解题的关键．
三角形中边与角之间的不等关系
学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？