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上海市第三女子初级中学2024-2025学年九年级上学期数学期中 试卷(无答案)
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这是一份上海市第三女子初级中学2024-2025学年九年级上学期数学期中 试卷(无答案)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题4分，共24分）
1．在中，，如果，那么等于（ ）
A．B．C．D．
2．手工制作课上，小丽利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心的直角三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）
A．B．C．D．
3．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割数，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人满足上述黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为100厘米则其身高约是（ ）
A．B．C．D．
4．如图是某位同学用带刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的实线互相平行，则点P表示的数是（ ）
A．1B．C．D．5
5．已知和都是单位向量，那么下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列两个命题中：
①在四边形中，若，则．
②在四边形中，若且，则．则下列说法正确的是（ ）
A．①正确②错误B．①错误②正确C．①正确②正确D．①错误②错误
二、填空题（每题4分，共48分）
7．若，则_______．
8．已知是锐角，若，则______．
9．已知两个相似三角形的面积比为，则这两个三角形对应中线之比为_______．
10．在中，是边上的高，如果，那么与的相似比为_______．
11．已知，在中，分别是上的中线，与相交于点O，联结，若，则_______．
12．如图，已知一个梯形被一条对角线分成两个相似的三角形，且两腰之比为，则上底和下底之比为_______．
13．如图，正方形内接于，已知，高．则正方形的边长为_______．
14．如果二次函数的图像在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是_______．
15．为了美观，在加工太阳眼镜时将下半部分轮廓作成抛物线的形状（如图，1个单位长度表示），对应的两条抛物线关于y轴对称，轴，，最低点C在x轴上，，且，，则右轮廓所在抛物线的解析式为_______．
16．当_______时（只要填一个符合条件的m值即可），抛物线（m是常数）经过一、二、三象限．
17．如图，在中，是上一点，，点E是上一动点，联结，并作，射线交线段于点F，联结．如果与相似，那么_______．
18．已知抛物线（为常数）的顶点为A，与y轴交于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为点C．若是等腰直角三角形，则________．
三、解答题（共78分，19-22每题10分，23-24每题12分，25题14分）
19．（本题10分）计算：．
20．（本题10分）如图，已知抛物线与y轴交于点A，且对称轴是直线．
（1）求该抛物线顶点P的坐标并说明抛物线的变化情况；
（2）已知点B的坐标为，设，用向量表示（请直接写出答案）．
21．（本题10分）将大小两把含的直角三角尺按如图1摆放，大小直角尺的直角顶点C重合，小三角尺的顶点分别在大三角尺的直角边上，此时小三角尺的斜边恰好经过大三角尺的重心G．已知．
（1）求小三角尺的直角边的长．
（2）将小三角尺绕点C逆时针旋转，当点D第一次落在大三角尺的边上，求之间的距离．
22．（本题10分）如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）．
（2）若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动_______米射门，才能让足球经过点O正上方处．
23．（本题12分）在中，是边上的高，且满足
（1）证明：是直角三角形．
（2）在线段的延长线有一动点E，联结，过点A作的垂线，垂足为点F，联结．证明：
24．（本题12分）已知抛物线经过点，与y轴交于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）平移抛物线得到新抛物线．新抛物线与x轴、y轴都只有一个交点，分别为点．
①求两点坐标．
②在抛物线上有一动点R，使得平行于的一边，求出点R的坐标．
25．如图1，已知四边形是菱形，G是线段上任意一点时，联结交于点F，过点F作交于点H，可以证明结论成立（不必证明）．
图1 图2
（1）探究：如图2，上述条件，若点G在的延长线上，其他条件不变时，结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．
（2）计算：若菱形中，，点G在直线上，且，联结交所在的直线于点F，过点F作交所在直线于点H，求与的长．
（3）发现：通过上述过程，你发现G在直线上，结论是否仍然成立？为什么？
一、选择题（每题4分，共24分）
1．在中，，如果，那么等于（ ）
A．B．C．D．
2．手工制作课上，小丽利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心的直角三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）
A．B．C．D．
3．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割数，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人满足上述黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为100厘米则其身高约是（ ）
A．B．C．D．
4．如图是某位同学用带刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的实线互相平行，则点P表示的数是（ ）
A．1B．C．D．5
5．已知和都是单位向量，那么下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列两个命题中：
①在四边形中，若，则．
②在四边形中，若且，则．则下列说法正确的是（ ）
A．①正确②错误B．①错误②正确C．①正确②正确D．①错误②错误
二、填空题（每题4分，共48分）
7．若，则_______．
8．已知是锐角，若，则______．
9．已知两个相似三角形的面积比为，则这两个三角形对应中线之比为_______．
10．在中，是边上的高，如果，那么与的相似比为_______．
11．已知，在中，分别是上的中线，与相交于点O，联结，若，则_______．
12．如图，已知一个梯形被一条对角线分成两个相似的三角形，且两腰之比为，则上底和下底之比为_______．
13．如图，正方形内接于，已知，高．则正方形的边长为_______．
14．如果二次函数的图像在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是_______．
15．为了美观，在加工太阳眼镜时将下半部分轮廓作成抛物线的形状（如图，1个单位长度表示），对应的两条抛物线关于y轴对称，轴，，最低点C在x轴上，，且，，则右轮廓所在抛物线的解析式为_______．
16．当_______时（只要填一个符合条件的m值即可），抛物线（m是常数）经过一、二、三象限．
17．如图，在中，是上一点，，点E是上一动点，联结，并作，射线交线段于点F，联结．如果与相似，那么_______．
18．已知抛物线（为常数）的顶点为A，与y轴交于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为点C．若是等腰直角三角形，则________．
三、解答题（共78分，19-22每题10分，23-24每题12分，25题14分）
19．（本题10分）计算：．
20．（本题10分）如图，已知抛物线与y轴交于点A，且对称轴是直线．
（1）求该抛物线顶点P的坐标并说明抛物线的变化情况；
（2）已知点B的坐标为，设，用向量表示（请直接写出答案）．
21．（本题10分）将大小两把含的直角三角尺按如图1摆放，大小直角尺的直角顶点C重合，小三角尺的顶点分别在大三角尺的直角边上，此时小三角尺的斜边恰好经过大三角尺的重心G．已知．
（1）求小三角尺的直角边的长．
（2）将小三角尺绕点C逆时针旋转，当点D第一次落在大三角尺的边上，求之间的距离．
22．（本题10分）如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）．
（2）若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动_______米射门，才能让足球经过点O正上方处．
23．（本题12分）在中，是边上的高，且满足
（1）证明：是直角三角形．
（2）在线段的延长线有一动点E，联结，过点A作的垂线，垂足为点F，联结．证明：
24．（本题12分）已知抛物线经过点，与y轴交于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）平移抛物线得到新抛物线．新抛物线与x轴、y轴都只有一个交点，分别为点．
①求两点坐标．
②在抛物线上有一动点R，使得平行于的一边，求出点R的坐标．
25．如图1，已知四边形是菱形，G是线段上任意一点时，联结交于点F，过点F作交于点H，可以证明结论成立（不必证明）．
图1 图2
（1）探究：如图2，上述条件，若点G在的延长线上，其他条件不变时，结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．
（2）计算：若菱形中，，点G在直线上，且，联结交所在的直线于点F，过点F作交所在直线于点H，求与的长．
（3）发现：通过上述过程，你发现G在直线上，结论是否仍然成立？为什么？
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