山西省大同市2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

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第Ⅱ卷 非选择题(共90分)
二、填空题 (本大题共5个小题，每小题3分，共15分)
11. 如图, ▱ABCD关于原点 O中心对称, 若点 A的坐标为 (1, - 2), 则点C的坐标
为 .
12、已知一个等腰三角形的两边长度分别是方程
x²-x=2x-1
的两个实数根，则该等腰
三角形的第三边长度是 .
13. 国庆期间，大同古城热闹非凡，各大景区游人如织，大学生小云在东南邑街区卖气球，
销售过程中发现每天的销量y(件) 和售价x(元/件) 之间满足一次函数y=-2x+70
的关系，已知一个气球的成本是5元，若不计其他成本，则小云每天获得的最大利润是
元.
14. 如图, 四边形 ABCD是⊙O的内接四边形, ∠D=120° , 直径 CE垂直于弦 AB于点 F,
若
AB=63,
, 则⊙O的半径长为 .
E
y
B
A₁
C.
B
A
F
E
x
F
D
A(1, - 2)
D
C
B'
D
C
(第11题图)
(第14题图)
(第15题图)
15. 如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=75°,AD平分∠BAC交 BC边于点 D. 将△ABD
绕点 A逆时针旋转一定角度使AB边落在 AC边上，得到△AFE，连接 CE. 若
AC=1+3,
则 CE的长为 .
三、解答题 (本大题共8个小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(本题共2个小题，每题5分，共10分)解方程：
12x²-7x+3=0;
2x-2²-36=0.
17.(本题7分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点(小正方形的顶
点) 上，每个小正方形的边长均为1个单位长度.
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y
5
4
(1) 将△ABC绕点O逆时针旋转90° ，画出旋转后得到的
△A₁B₁C₁;
B
3
1
2
(2) 画出△A₂B₂C₂,
使△A₂B₂C₂与△ABC关于y轴对称;
C
(3)△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂>
是否成中心对称? (答出“是”
0.
-3-2=
1、
2 34
9
x
19
或“否”即可)
2
3
“4
5
18.(本题9分)如图，抛物线
y=12x2-52x+2
与x轴交于 A, B两点 (点 A在点 B的左
侧 )，与y轴交于点 C，点D是抛物线上一个动点，过点 D作x轴的垂线，与直线 BC交
于点 E.
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线 BC的函数表达式.
(2) 当点 D在直线 BC下方的抛物线上运动时，求线段 DE长的
最大值及此时点 D的坐标.
C
E
O
A
B
x
D
19.(本题9分)如图, 在⊙O中, AB为直径, CD是弦, AD平分∠CAB, ∠COD=60° ,
求证：四边形 OACD是菱形.
B
A
O
20.(本题9分) 科学研究表明，农作物的产量与其接受的灌溉水量之间存在一定的关系.
某实验站通过对冬小麦的灌水量与产量进行实验分析，发现灌水量和产量之间呈现某种
函数关系. 即在一定范围内，随着灌水量的增加，小麦产量也随之上升，但当灌水量超
过某一适宜值时，再增加灌水量反而会导致产量下降，这说明多灌无益，反而有害. 为
了优化灌溉策略，提高作物产量，研究人员记录了不同灌溉水量下冬小麦的产量数据，
部分数据如下表：
灌溉水量x(厘米/平方米)
14
18
22
26
30
34
小麦产量y(千克/平方米)
0.68
0.8
0.84
0.8
0.68
0.48
(灌溉水量，通常指的是单位面积(如平方米)上的一次灌水量，这个量是用水的深度
来表示的，单位是厘米)
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I I II
(1) 请你根据表中数据判断灌水量和产量之间的关系近似于一次函数和二次函数
中的哪一种? 并求出这个函数的解析式(不要求写出自变量的取值范围).
(2) 请根据上面的函数解析式求出灌溉水量为16厘米/平方米时的小麦产量.
(3)如果要求每平方米的小麦产量必须大于0.2千克，那么灌溉水量应该在哪个范围
内选择? 请直接写出结果.
21.(本题8分)2024年9月 10 日是我国第40个教师节，今年教师节的主题是“大力弘扬
教育家精神，加快建设教育强国”. 我市某学校为教师定制了水杯，下图是定制的水
杯包装盒的表面展开图，设包装盒的高为 xcm.
15
40
(1)若此包装盒的容积为
1500cm³,
请列出关于x的方程，并求出x的值.
(2) 是否存在这样的x的值，使得此包装盒的容积为
1560cm³?
若存在，请求出相应
的x的值； 若不存在，请说明理由.
22.(本题11分)综合与实践
问题情境：某中学计划在校园内足球场一侧修建一个膜结构看台，该看台的设计形
状近似于一个开口向下的抛物线. 为了方便学生观看比赛和表演，看台被设计为多
层结构，每层的座位宽度相同，且层与层之间的高度差也都是固定的.
方案设计：设计图如图1所示，纵截面如图2所示. 已知膜结构的最高点(即抛物
线的顶点 C)距离地面4米，膜结构与地面的交点 AB的长度为40米.
y
C
A
O
B
x
图1
图2
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问题解决：
请根据上述数据，完成下列任务：
(1)以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，看台中心线 OC所在直线为y轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，求出该抛物线的解析式，并直接写出自变量的
取值范围.
(2)假设每层看台的高度差为0.6米，学生座位的平均宽度为0.5米，且每层看台都
紧密排列座位. 问从直线 AB(不包括 AB)往上第4层看台大约能坐多少名学生?
(忽略不可用做座位的通道的宽度，
10≈3.162)
23.
(本题12分)综合与探究
问题情境：我们使用两块大小相同的含30° 角的直角三角板来探究一些数学问题.
将两块三角板按图 1位置摆放，
∠ACB=∠A₁C₁B₁=90°,∠BAC=∠B₁A₁C₁=30°,
AC与
A₁C₁重合, BC与 B₁C₁在一条直线上.
旋转探究：(1)固定三角板 ABC，将三角板 A₁B₁C₁绕直角顶点 C逆时针方向旋转(
60°,
如图2, AB与A₁C₁交与点 D, AC与A₁B₁交于点 E, 连接 DE.
①求证：
A₁B₁‖BC.
②猜想：△CDE是什么三角形，并说明理由.
平移探究：(2)将图2中的△A₁B₁C₁沿射线 BC方向平移得到
△A₂B₂C₂,
, 此时 B, C,
C₂在一条直线上. 如图 3, A₂B₂交 AC于点 M, A₂C₂交 AC于点 N, 若 AB=4, 平移距离
为d(0