黑龙江省大庆市实验中学实验一部2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

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一、单选题
1.C 2.D 3.D 4.A 5.C 6.B 7.C 8.B
二、多选题
9.BD 10.ACD 11.ABD
三、填空题
12． 13． 14．
四、解答题
15．【答案】(1)(2)或
【详解】（1）因为，所以，且，由，
得，解得或（舍去）所以.
（2）因为点在直线上，所以，得，所以点的坐标为，
所以设直线的方程为（），
令，则，令，则，因为直线在两坐标轴上的截距之和为0，
所以，解得或，所以直线的方程为或.
16．【答案】(1)(2)
【解析】（1）由题意可知：，则，∵，∴，∴，∴椭圆
（2），∴直线：，联立方程组得,设，则，
点到直线的距离∴

【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）因为是正三角形，M为AB中点，所以CM⊥AB，因为平面平面ABC，所以，又平面
所以平面又因为平面，所以，
连接，易得，所以，所以，又因为，所以，
因为，平面，所以平面.
（2）取AC中点O，连接，易知三条直线两两垂直，
以O为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，由（1）知平面的一个法向量为，又，所以，因为直线与平面所成的角为直线与所成角的余角，所以直线与平面所成的角的正弦值为．
18．【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析；(3)证明见解析
【解析】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上，
可得，解得，所以双曲线的方程为．
（2）双曲线的左焦点为，当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意，当直线的斜率不为0时，设，由，消去得，
显然，，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则，得，于是，
，
即，因此与不垂直，所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上．
（3）由直线，得，则，又，
于是，
而，即有，且，
所以，即为定值．
【答案】（1）；（2）①②
【解答】（1）方法（1）特珠值法，令，，且，解得.
，，椭圆的方程为.
方法（2）：设，由题意（常数），
整理得：，
故，又，解得：，.
，椭圆的方程为.
方法（3）：设，则.
由题意.
为常数，，又，解得：，，故.
椭圆的方程为.
（2）①由，又
（或由角平分线定理得）.令，则，
设，则有，又直线的钭率，则，
代入得：
，即，
，
②由①知，，由阿波罗尼斯圆定义知，，，在以，为定点的阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为，半径为，与直线的另一个交点为，则有，即，
解得：.又，故，.
又，
，
解得：，，，
直线的方程为.