广东省顺德区2024-2025学年高三上学期第一次教学质量检测数学试卷（Word版附解析）

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数学试题
2024.11
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.
4.请考生保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.
第I卷（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. “，”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知单位向量，满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 向量在向量上的投影向量为D.
5. 函数是（ ）
A. 偶函数，且最小值－2B. 偶函数，且最大值为2
C. 周期函数，且在上单调递增D. 非周期函数，且在上单调递减
6. 印度数学家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边写有3025的一块牌子被劈成了两半，一半上写着30，另一半上写着25.这时，他发现，，即将劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字.数学家将3025等符合上述规律的数字称之为雷劈数（或卡普列加数）.则在下列数组：92，81，52，40，21，14中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数的概率是（ ）
A. B. C. D. 0
7. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 记正项数列的前项积为，已知，若，则的最小值是（ ）
A. 999B. 1000C. 1001D. 1002
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 现有甲、乙两组数据，甲组数据为：；乙组数据为：，若甲组数据平均数为，标准差为，极差为，第百分位数为，则下列说法一定正确的是（ ）
A. 乙组数据的平均数为B. 乙组数据的极差为
C. 乙组数据的第百分位数为D. 乙组数据的标准差为
10. 在三棱台中，侧面是等腰梯形且与底面垂直，，，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 三棱台的体积为
11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A B.
C. D.
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则=_____________．
13. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且垂直于轴的直线交椭圆于、两点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为_________.
14. 现有甲、乙、丙等7位同学，各自写了一封信，然后都投到同一个邮箱里.若甲、乙、丙3位同学分别从邮箱里随机抽取一封信，则这3位同学抽到的都不是自己写的信的不同取法种数是__________（用数字作答）.
四、解答题：本大题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角，，所对边分别为，，，且，.
（1）求的面积；
（2）若，求.
16. 如图，四棱锥的底面是正方形，且，.四棱锥的体积为.

（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17. 已知函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若函数存在两个零点，，且，求实数的取值范围.
18. 密室逃脱是当下非常流行的解压放松游戏，现有含甲在内的7名成员参加密室逃脱游戏，其中3名资深玩家，4名新手玩家，甲为新手玩家.
（1）在某个游戏环节中，需随机选择两名玩家进行对抗，若是同级的玩家对抗，双方获胜的概率均为；若是资深玩家与新手玩家对抗，新手玩家获胜的概率为，求在该游戏环节中，获胜者为甲的概率；
（2）甲作为上一轮的获胜者参加新一轮游戏：如图，有两间相连的密室，设两间密室的编号分别为①和②.密室①有2个门，密室②有3个门（每个门都可以双向开），甲在每个密室随机选择1个门出去，若走出密室则挑战成功.若甲的初始位置为密室①，设其挑战成功所出的密室号为，求的分布列.
19. 已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，
（i）当，时，求证：；
（ii）求.