人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用优质课教学设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用优质课教学设计，共11页。教案主要包含了类题通法，巩固练习1，巩固练习2，巩固练习3，设计意图等内容，欢迎下载使用。


本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第六章《平面向量及其应用》的第四节《平面向量的应用》。以下是本节的课时安排：
前面学生学习了平面向量的运算，初中就已经有了平面几何的知识，本节课是探讨平面几何中的向量方法，让学生学会用向量的方法去解决几何问题。
1.会用向量方法解决简单的几何问题,培养数学抽象的核心素养；
2.体会向量在解决几何问题中的作用，提升数学建模的核心素养。
1.重点：用向量方法解决几何问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”。
2.难点：能够将几何问题转化为平面向量问题。
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
向量理论的发展有着深刻的几何背景.这一源泉最早可追溯到莱布尼兹的位置几何的概念.莱布尼兹认为代数仅仅能表达未定的数或量值，不能直接表达位置、角度和运动，利用代数运算来分析一个图形的特点、寻找方便的几何证明和构造有时是很困难的.鉴于此，他提出了一个“新代数”，其中几何实体可以用符号来表示，并且这些符号可以直接进行运算，它不需要大量的乘法，不需要添加令人困惑的太多点和线.这就是向量.
2.探索交流，解决问题
【问题1】要判断AB⊥CD,从向量的角度如何证明?
[提示]证明 ,即=0即可.
【问题2】怎样用向量的方法证明AB∥CD?
[提示]要证明AB∥CD,证明 即可,同时注意AB,CD是否共线.
【问题3】如何利用向量方法求直线AB与CD所成角?
[提示]根据数量积公式先求出 与所成角,若是锐角或直角即为直线AB,CD所成角,若是钝角,其补角即为直线AB,CD所成角.
【问题4】如何利用向量的方法求线段的长度?
【提示】根据向量的有关运算,求出对应向量的模,即为线段的长度.
（二）平面向量在几何中的应用
1.用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”：
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
③把运算结果“翻译”成几何关系．
2.用向量方法解决平面几何问题的两个基本方法：
①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．
②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行、夹角等问题转化为代数运算．
【做一做】1．已知A(－1，－eq \f(7,3))，B(1，eq \f(1,3))，C(－eq \f(1,2)，2)，D(－eq \f(7,2)，－2)，则直线AB与直线CD( )
A．垂直 B．平行 C．相交D．重合
2.已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则四边形ABCD为( )
A．梯形 B．菱形 C．矩形D．正方形
答案：（1）B （2）A
（三）典型例题
1.利用平面向量证明垂直问题
【例1】 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，
求证：AF⊥DE.
证明：法一：设eq \(AD,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0.
又eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(b,2)，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＝b＋eq \f(a,2)，
所以eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(a,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a＋\f(b,2)))＝－eq \f(1,2)a2－eq \f(3,4)a·b＋eq \f(b2,2)＝－eq \f(1,2)|a|2＋eq \f(1,2)|b|2＝0.
故eq \(AF,\s\up6(→))⊥eq \(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE.
法二：如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，
则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，
则eq \(AF,\s\up6(→))＝(2，1)，eq \(DE,\s\up6(→))＝(1，－2).
因为eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0.
所以eq \(AF,\s\up6(→))⊥eq \(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE.
【类题通法】利用向量解决垂直问题的方法和途径
方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.
途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式.
【巩固练习1】在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝eq \f(1,2)AB，
求证：AC⊥BC.
证明：∵∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD，CD＝DA＝eq \f(1,2)AB，
故可设eq \(AD,\s\up6(→))＝e1，eq \(DC,\s\up6(→))＝e2，|e1|＝|e2|，则eq \(AB,\s\up6(→))＝2e2，∴eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝e1＋e2，
eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2，而eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝(e1＋e2)·(e1－e2)＝eeq \\al(2,1)－eeq \\al(2,2)＝|e1|2－|e2|2＝0，∴eq \(AC,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，即AC⊥BC.
2.利用平面向量求几何中的长度、角度问题
【例2】（1） 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长.
(2)已知矩形ABCD，AB＝eq \r(3)，AD＝1，E为DC上靠近D的三等分点，求∠EAC的大小．
解：（1） 设eq \(AD,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，则eq \(BD,\s\up6(→))＝a－b，eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b，
而|eq \(BD,\s\up6(→))|＝|a－b|＝eq \r(a2－2a·b＋b2)＝eq \r(1＋4－2a·b)＝eq \r(5－2a·b)＝2，
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝eq \f(1,2)，
又|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，即AC＝eq \r(6).
（2）如图，建立平面直角坐标系．则A(0,0)，C(eq \r(3)，1)，E(eq \f(\r(3),3)，1)，
eq \(AC,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1)，eq \(AE,\s\up6(→))＝(eq \f(\r(3),3)，1)，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝2.
cs∠EAC＝eq \f(\(AC,\s\up6(→))·\(AE,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))||\(AE,\s\up6(→))|)＝eq \f(2,2×\f(2\r(3),3))＝eq \f(\r(3),2).
∵0<∠EAC【类题通法】用向量法求长度、角度的策略
(1)利用图形特点选择基底，用公式|a|＝eq \r(a2)求解.
(2)建立坐标系，确定相应向量的坐标a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2).
（3）用夹角公式先求向量的夹角，在根据实际情况得到角的大小。
【巩固练习2】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC中点，则cs ∠BDC＝( )
A．－eq \f(7,25) B.eq \f(7,25) C．0D.eq \f(1,2)
解析：如图建立平面直角坐标系，则B(0,0)，A(0,8)，C(6,0)，D(3,4)，
∴eq \(DB,\s\up6(→))＝(－3，－4)，eq \(DC,\s\up6(→))＝(3，－4)．
又∠BDC为eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))的夹角，∴cs ∠BDC＝eq \f(\(DB,\s\up6(→))·\(DC,\s\up6(→)),|\(DB,\s\up6(→))||\(DC,\s\up6(→))|)＝eq \f(－9＋16,5×5)＝eq \f(7,25).
答案：B
3.平面几何中的平行(或共线)问题
【例3】 如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且eq \f(CE,ED)＝eq \f(AF,FB)＝eq \f(1,2).
求证：点E，O，F在同一直线上.
证明：设eq \(AB,\s\up6(→))＝m，eq \(AD,\s\up6(→))＝n，
由eq \f(CE,ED)＝eq \f(AF,FB)＝eq \f(1,2)，知E，F分别是CD，AB的三等分点，
∴eq \(FO,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)m＋eq \f(1,2)(m＋n)＝eq \f(1,6)m＋eq \f(1,2)n，
eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(m＋n)－eq \f(1,3)m＝eq \f(1,6)m＋eq \f(1,2)n.
∴eq \(FO,\s\up6(→))＝eq \(OE,\s\up6(→)).又O为eq \(FO,\s\up6(→))和eq \(OE,\s\up6(→))的公共点，故点E，O，F在同一直线上.
【类题通法】用向量解决平面几何中的平行问题，首先想到的应该是平面向量共线定理。
【巩固练习3】在△ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，AM＝2MB，AN＝2NC.
求证：MN∥BC.
证明：设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝b－a.
又AM＝2MB，AN＝2NC.所以eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)a，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)b.
在△AMN中，eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(AN,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(b－a)，
所以eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))，即eq \(MN,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))共线，故MN∥BC.
（四）操作演练 素养提升
1.在四边形ABCD中，若eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝0，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0，则四边形为( )
A.平行四边形 B.矩形
C.等腰梯形 D.菱形
解析：由eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝0，得eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，∴四边形ABCD为平行四边形.又eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0知，对角线互相垂直，故四边形为菱形，故选D.
答案：D
2.在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，则|eq \(AP,\s\up6(→))|等于( )
A.2 B.1 C.eq \f(1,2) D.4
解析：∵eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
∴eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线.∴|eq \(AP,\s\up6(→))|＝1.
答案：B
3.在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长为________.
解析：BC中点为Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，6))，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，5))，
∴|eq \(AD,\s\up6(→))|＝eq \f(5,2) eq \r(5).
答案：eq \f(5,2) eq \r(5)
4.正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB，BC的中点，试求cs∠DOE的值.
解：以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：
eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))，eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，
故cs∠DOE＝eq \f(\(OD,\s\up6(→))·\(OE,\s\up6(→)),|\(OD,\s\up6(→))|·|\(OE,\s\up6(→))|)＝eq \f(1×\f(1,2)＋\f(1,2)×1,\f(\r(5),2)×\f(\r(5),2))＝eq \f(4,5).即cs∠DOE的值为eq \f(4,5).
答案：1.D 2.B 3.eq \f(5,2)eq \r(5) 4.eq \f(4,5)
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
完成教材：第39页 练习 第1，2，3题
第52 页 习题6.4 第1,2,3,12题









6.4 平面向量的应用
课时内容
平面几何中的向量方法
向量在物理中的应用举例
余弦定理、正弦定理
所在位置
教材第38页
教材第40页
教材第42页
新教材
内容
分析
本节的目的是让学生加深对向量的认识，更好地体会向量这个工具的优越性。对于向量方法，就思路而言，几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致，不同的只是用”向量和向量运算“来替代”数和数的运算“。
物理学家很早就在自己的研究中使用向量的概念，并早已发现这些量之间可以进行某种运算。数学家在物理家使用向量的基础上，对向量又进行了深入研究，使向量成为研究数学和其他科学的有力工具。本节将举例说明向量在解决物理问题中的应用。
余弦、正弦定理是研究任意三角形边角之间关系的重要开端；用余弦、正弦定理解三角形，是典型的用代数的方法来解决的几何问题的类型；在日常生活和工业生产中的应用又十分广泛
核心素养培养
通过对用向量法解决平面几何问题的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养.
通过实例，引导学生用向量方法解决物理中的速度、力学问题，培养学生的数学建模、数学运算的核心素养。
通过对余弦定理、正弦定理的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。
教学主线
平面向量的线性运算、坐标表示