高中人教A版 (2019)第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用精品精练

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2．已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以ABCD为顶点的四边形是( )
A．梯形 B．邻边不相等的平行四边形 C．菱形 D．两组对边均不平行的四边形
3．已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、巩固提高
4．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|＝，则·＝________.
5．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7,4)，＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________.
6．△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.
7.在△ABC中，D为BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.则△ABC为( )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不对
8．△ABC中，若动点D满足－＋2·＝0，则点D的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
三、尖子突破
9．在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且＝＋，则＝( )
A. B. C. D.
10．求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.
自主测评
1.【答案】 (1)× (2)× 2．【答案】B
例3 已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E为AB的中点，点F在BC上，且BF∶FC＝2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积．
【解析】以A为坐标原点，AB为x轴AD为y轴建立直角坐标系，如图所示，
∴A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)，F(6,4)，E(3,0)，
设P(x，y)，＝(x，y)，＝(6,4)，＝(x－3，y)，＝(3,6)．
由点A，P，F和点C，P，E分别共线，得∴
∴S四边形APCD＝S正方形ABCD－S△AEP－S△CEB＝36－×3×3－×3×6＝.
【课后作业】
2．【解析】因为＝(8,0)，＝(8,0)，所以＝，因为＝(4，－3)，所以||＝5，而||＝8，故为邻边不相等的平行四边形．【答案】B
3．【解析】建立平面直角坐标系，如图所示．设AD＝t(t＞0)则A(0,0)，C(1，t)，B(2,0)，则＝(1，t)，＝(－1，t)．
由AC⊥BC知·＝－1＋t2＝0，解得t＝1，故AD＝1.【答案】A
4．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|＝，则·＝________.
【解析】由弦长|AB|＝，可知∠ACB＝60°，
·＝－·＝－||||cs∠ACB＝－. 【答案】－
5．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7,4)，＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________.
【解析】＝－＝(3,6)＝.又因为·＝(4，－2)·(3,6)＝0，所以四边形ABCD为矩形，
所以||＝＝2，||＝＝3，所以S＝||||＝2×3＝30.
【答案】30
6．△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.
【证明】以C为原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(略)．
设AC＝a，则A(a,0)，B(0，a)，D(0,)，C(0,0)，E (,).
因为＝(-a, )，＝(,)，所以·＝－a·a＋·＝0，
所以⊥，即AD⊥CE.
【选做】7.在△ABC中，D为BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.则△ABC为( )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不对
【解析】如图所示，作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)(b＜d＜c)．因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，
所以b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，所以－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)，
又因为d－b≠0，所以－b－d＝c－d，即－b＝c.所以|OB|＝|OC|.
又AO⊥BC，故△ABC为等腰三角形．【答案】A
8．△ABC中，若动点D满足－＋2·＝0，则点D的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【解析】取AB的中点E，则－＋2·＝(＋)·(-)＋2·＝2·＋2·＝2·(－)＝2·＝0，
∴AB⊥ED，即点D在AB的垂直平分线上，∴点D的轨迹一定通过△ABC的外心．【答案】A
9．在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且＝＋，则＝( )
A. B. C. D.
【解析】如图所示，由＝＋得点D在AB边的中位线上，所以＝.【答 案】D
10．求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.
【解析】如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系，
设A(2a,0)，B(0,2a)，则D(a,0)，C(0，a)，
从而可求＝(－2a，a)，＝(a，－2a)，不妨设，的夹角为θ，
则cs θ＝＝＝＝－，故所求钝角的余弦值为－.2024—2025学年下学期高一数学分层作业（12）
6.4.1平面几何中的向量方法