高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用获奖教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用获奖教案，共11页。教案主要包含了类题通法，巩固练习1，巩固练习2，巩固练习3，设计意图等内容，欢迎下载使用。


本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第六章《平面向量及其应用》的第四节《平面向量的应用》。以下是本节的课时安排：
本节课之前学生已学习过全等三角形，三角函数，平面几何，平面向量、解析几何、正弦定理等与本节课紧密联系的内容，使本课有了较多的处理思路，也使余弦定理的探讨有了更加简洁的工具。知识结构上，学生会解直角三角形，知道锐角三角函数和勾股定理，这为用几何法证明余弦定理奠定了基础；学生知道三角形回路可以转化为向量的加减法，向量的模与长度有关，向量的夹角与角度有关，这为向量法证明余弦定理奠定了基础；学生还知道在平面直角坐标系中两点之间的距离公式和三角函数的定义，这为解析法证明余弦定理奠定了基础。
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，培养数学抽象的核心素养；
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，培养数学运算的核心素养；
3.借助于向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，体会逻辑推理及数学运算素养.
1.重点：掌握余弦定理及其推论。
2.难点：掌握余弦定理的综合应用。
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的距离，其中AB＝eq \r(3) km，AC＝1 km，再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角∠BAC＝150°.
【问题1】 我们知道勾股定理，即在Rt△ABC中，已知两条直角边a，b和C＝90°，则c2＝a2＋b2.那么一般的三角形中，是否也有相似的结论？
【提示】 在△ABC中，c2＝a2＋b2－2abcs C.这个公式是余弦定理的形式之一.当C＝90°时，则cs C＝0，将cs C＝0代入上式即是勾股定理c2＝a2＋b2.
【问题2】你能通过上面的问题1的结论计算求出山脚的长度BC吗？
【提示】利用BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs A可求出BC的长.
2.探索交流，解决问题
【探究1】已知一个三角形的两条边及其它们的夹角，这个三角形的大小、形状能完全确定吗？
【提示】根据三角形全等的判断方法可知，这个三角形的大小、形状是完全确定的．
【探究2】在△ABC中，如果已知边a，b和角C，那么从向量的角度考虑，边c的长度可视为什么？向量eq \(AB,\s\up6(→))如何用已知边所对应的向量表示？如何求出|eq \(AB,\s\up6(→))|？
【提示】边c的长度可视为|eq \(AB,\s\up6(→))|；eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))；通过向量的数量积求|eq \(AB,\s\up6(→))|．
（二）余弦定理
1.余弦定理：
文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
符号语言：a2＝b2＋c2－2bccs A，b2＝a2＋c2－2accs__B，c2＝a2＋b2－2abcs__C.
【探究3】在△ABC中，已知三条边，如何求出其三个内角？
【提示】可将余弦定理中的三个公式变形为cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)。
推论：cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab).
2.解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
【做一做】1.在△ABC中，符合余弦定理的是( )
A.c2＝a2＋b2－2abcs C B.c2＝a2－b2－2bccs A
C.b2＝a2－c2－2bccs A D.cs C＝eq \f(a2＋b2＋c2,2ab)
解析：注意余弦定理形式，特别是正负号问题.
答案：A
2.在△ABC中，a＝1，b＝1，C＝120°，则c＝________.
解析：由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcs C
＝12＋12－2×1×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝3，
∴c＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝eq \r(7)，c＝eq \r(3)，则B＝________.
解析：由余弦定理，得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(1＋3－7,2×1×\r(3))＝－eq \f(\r(3),2).
又0°答案：150°
（三）典型例题
1.已知两边及一角解三角形
【例1】 在△ABC中，a＝3eq \r(3)，b＝3，B＝30°，解这个三角形.
解：由余弦定理得b2＝c2＋a2－2cacs B，即c2－9c＋18＝0，解得c＝3或c＝6.
当c＝3时，cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq \f(1,2)，∵0°故C＝180°－120°－30°＝30°；
当c＝6时，cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2)，
∵0°综上所述，A＝60°，C＝90°，c＝6或A＝120°，C＝30°，c＝3.
【类题通法】已知两边及一角解三角形的方法
利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长，然后利用余弦定理和三角形内角和定理求出另外两个角.
【巩固练习1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝5，b＝3，cs C是方程5x2＋7x－6＝0的根，求c.
解：5x2＋7x－6＝0可化为：(5x－3)(x＋2)＝0.解得x1＝eq \f(3,5)，x2＝－2.
又cs C∈(－1，1)，且cs C是方程5x2＋7x－6＝0的根，∴cs C＝eq \f(3,5).
据余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs C＝52＋33－2×5×3×eq \f(3,5)＝16 ，
∴c＝4.
2.已知三边解三角形
【例2】 在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，求其最大内角.
解：由于a∶b∶c＝3∶5∶7，不妨设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0).
因此c是最大边，其所对角C为最大内角.
由余弦定理推论得：cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(9k2＋25k2－49k2,2·3k·5k)＝－eq \f(1,2)，
∵0°【类题通法】已知三角形三边求角，可先用余弦定理求一个角，继续用余弦定理求另一个角，进而求出第三个角.
【巩固练习2】(1)在△ABC中，已知a＝3，b＝5，c＝eq \r(19)，则最大角与最小角的和为( )
A．90° B．120° C．135° D．150°
(2)在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A等于( )
A．90° B．60° C．120° D．150°
解析：(1)在△ABC中，因为a＝3，b＝5，c＝eq \r(19)，所以最大角为B，最小角为A，
所以cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(9＋25－19,2×3×5)＝eq \f(1,2)，所以C＝60°，所以A＋B＝120°，所以△ABC中的最大角与最小角的和为120°.故选B.
(2)因为(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2).因为A∈(0°，180°)，所以A＝60°.
答案：(1)B (2)B
3.判断三角形形状
【例3】已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
(1)求角A的大小；
(2)若b＋c＝2a＝2eq \r(3)，试判断△ABC的形状.
解：(1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc，
而a2＝b2＋c2－2bccs A，∴2cs A＝1，
∴cs A＝eq \f(1,2).∵A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,3).
(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccs A，且a＝eq \r(3)，
∴(eq \r(3))2＝b2＋c2－2bc·eq \f(1,2)＝b2＋c2－bc.①
又∵b＋c＝2eq \r(3)，与①联立，解得bc＝3，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＋c＝2\r(3)，,bc＝3，))∴b＝c＝eq \r(3)，
于是a＝b＝c＝eq \r(3)，即△ABC为等边三角形.
【类题通法】判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.
在余弦定理中注意整体思想的运用，如b2＋c2－a2＝2bccs A，b2＋c2＝(b＋c)2－2bc等。
【巩固练习3】 若△ABC的三条边a，b，c满足(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝7∶9∶10，则△ABC( )
A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.可能是锐角三角形也可能是钝角三角形
解析：∵(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝7∶9∶10，不妨设a＋b＝7k，则b＋c＝9k，c＋a＝10k(k是不为0的正常数)，解得a＝4k，b＝3k，c＝6k.
由余弦定理可得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq \f(11,24)<0，∵0答案：C
（四）操作演练 素养提升
1.(多选题)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2eq \r(3)，cs A＝eq \f(\r(3),2)，则b＝( )
A.2 B.3 C.4 D.2eq \r(2)
解析：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccs A，
∴4＝b2＋12－6b，即b2－6b＋8＝0，
∴b＝2或b＝4.
答案：AC
2.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－eq \f(3,5)，则三角形的另一边长是________.
解析：设另一边长为x，则x2＝52＋32－2×5×3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝52，∴x＝2eq \r(13).
答案：2eq \r(13)
3.在△ABC中，a＝7，b＝4eq \r(3)，c＝eq \r(13)，则△ABC的最小角的大小为________.
解析：∵a>b>c，∴C为最小角，由余弦定理得
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(72＋（4\r(3)）2－（\r(13)）2,2×7×4\r(3))＝eq \f(\r(3),2).
又C∈(0，π)，∴C＝eq \f(π,6).
答案：eq \f(π,6)
4.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________.
解析：设三角形的底边长为a，则周长为5a.
所以等腰三角形的腰长为2a，设顶角为α，
由余弦定理，得cs α＝eq \f(（2a）2＋（2a）2－a2,2×2a×2a)＝eq \f(7,8).
答案：eq \f(7,8)
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
完成教材：第44页 练习 第1，2，3题
第52 页 习题6.4 第6,15题









6.4 平面向量的应用
课时内容
平面几何中的向量方法
向量在物理中的应用举例
余弦定理、正弦定理
所在位置
教材第38页
教材第40页
教材第42页
新教材
内容
分析
本节的目的是让学生加深对向量的认识，更好地体会向量这个工具的优越性。对于向量方法，就思路而言，几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致，不同的只是用”向量和向量运算“来替代”数和数的运算“。
物理学家很早就在自己的研究中使用向量的概念，并早已发现这些量之间可以进行某种运算。数学家在物理家使用向量的基础上，对向量又进行了深入研究，使向量成为研究数学和其他科学的有力工具。本节将举例说明向量在解决物理问题中的应用。
余弦、正弦定理是研究任意三角形边角之间关系的重要开端；用余弦、正弦定理解三角形，是典型的用代数的方法来解决的几何问题的类型；在日常生活和工业生产中的应用又十分广泛
核心素养培养
通过对用向量法解决平面几何问题的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养.
通过实例，引导学生用向量方法解决物理中的速度、力学问题，培养学生的数学建模、数学运算的核心素养。
通过对余弦定理、正弦定理的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。
教学主线
平面向量的线性运算、坐标表示