人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算优秀课时练习

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A.1+iB.2-I C.3-iD.-i
2.[2023·杭州高一期中] 设复数z=-1-i(i为虚数单位),则2-z的模为( )
A.B.5 C.D.10
3.已知复数z在复平面内对应的点为(-1,1),则( )
A.z-1是实数B.z-1是纯虚数 C.z-i是实数D.z+i是纯虚数
4.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O为坐标原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则△AOB一定是 ( )
A.等腰三角形B.直角三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形
5.[2023·鹤岗一中高一月考] 已知复数z满足|z+i|=|z-i|,则|z+1+2i|的最小值为( )
A.1 B.2 C.D.
6.(多选题)设复数z的共轭复数为,若z-=-14i,||=5,则z可能为( )
A.1-7iB.1+7i C.-1-7iD.-1+7i
二、巩固提高
7.(多选题)已知复数z1=2-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1,复数z2满足|z2-i|=1,则下列结论正确的是( )
A.点P1的坐标为(2,-2) B.=2+2i C.|z1-z2|的最大值为+1 D.|z1-z2|的最小值为-1
若复数z1=3+4i,z2=-2+3i(i为虚数单位),则z1+z2在复平面内对应的点位于第 象限.
设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,且z1+z2=-i,其中i为虚数单位,则|z1-z2|= .
10.(1)计算:+(2-i)-.
(2)已知z1=2+3i,z2=-1+2i,求z1+z2,z1-z2.
11.已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是复平面上的四个点,且向量,对应的复数分别为z1,z2.
(1)若z1+z2=1+i,求z1,z2;
(2)若|z1+z2|=2,z1-z2为实数,求a,b的值.
三、尖子突破
12.[2023·盐城阜宁中学高一月考] 在复平面内,已知复数z满足|z-1|=|z+i|(i为虚数单位),记z0=2+i对应的点为Z0,z对应的点为Z,则点Z0与点Z之间距离的最小值为 .
13.(15分)若z=x+yi(x,y∈R),i为虚数单位,z在复平面内所对应的点为Z,且|z+2-2i|=1.
(1)满足上述条件的点Z的集合是什么图形?
(2)求|z-2-2i|的最小值.
参考答案
1.C [解析] 由题意,z1+z2=(2+i)+(1-2i)=3-i.故选C.
2.C [解析] ∵z=-1-i,∴2-z=3+i,故|2-z|==.故选C.
3.C [解析] 由题意得z=-1+i,则z-1=-2+i,故A,B错误;z-i=-1,为实数,故C正确;z+i=-1+2i,不是纯虚数,故D错误.故选C.
4.B [解析] 由题可知,以OA,OB为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故△AOB一定是直角三角形.故选B.
5.B [解析] 设复数z在复平面内对应的点为Z,∵复数z满足|z+i|=|z-i|,∴由复数的几何意义可知,点Z到点(0,-1)和点(0,1)的距离相等,∴点Z的轨迹为x轴.∵|z+1+2i|表示点Z到点(-1,-2)的距离,∴|z+1+2i|的最小值为x轴上的动点Z到定点(-1,-2)距离的最小值,∴|z+1+2i|的最小值为2.故选B.
6.AC [解析] 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,由题意可得解得或
所以z=1-7i或-1-7i.故选AC.
7.ABC [解析] 复数z1=2-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1,则P1(2,-2),=2+2i,故A,B正确;由复数z2满足|z2-i|=1,可得z2在复平面内对应的点的集合是以C(0,1)为圆心,1为半径的圆,连接CP1,则|z1-z2|的最大值为|CP1|+1=+1=+1,最小值为|CP1|-1=-1,故C正确,D不正确.故选ABC.
8.一 [解析] ∵z1=3+4i,z2=-2+3i,∴z1+z2=(3+4i)+(-2+3i)=1+7i,∴z1+z2在复平面内对应的点的坐标为(1,7),该点位于第一象限.
9. 2 QUOTE [解析] 方法一:设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.∵|z1|=|z2|=2,∴a2+b2=4,c2+d2=4.∵z1+z2=(a+c)+(b+d)i=-i,∴a+c=,b+d=-,∴a2+c2+2ac+b2+d2+2bd=4,∴ac+bd=-2,∴|z1-z2|=|(a-c)+(b-d)i|===
=2.
方法二:设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.∵z1+z2=(a+c)+(b+d)i=-i,∴|z1+z2|=2,即|z1|=|z2|=|z1+z2|=2,设O为坐标原点,z1,z2,z1+z2在复平面内对应的点分别为A,B,C,连接OA,OB,OC,AC,BC,AB.∵|z1|=|z2|=|z1+z2|=2,∴△OAC是边长为2的正三角形,∴四边形OACB是一个内角为60°,边长为2的菱形,且|z1-z2|是菱形的较长的对角线AB的长,∴|z1-z2|=|AB|==2.
10.解:(1)+(2-i)-=+i=1+i.
(2)∵z1=2+3i,z2=-1+2i,∴z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i,z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.
11.解:(1)∵=(a,1)-(1,2)=(a-1,-1),=(-1,b)-(2,3)=(-3,b-3),∴z1=(a-1)-i,z2=-3+(b-3)i,∴z1+z2=(a-4)+(b-4)i,又z1+z2=1+i,∴解得∴z1=4-i,z2=-3+2i.
(2)由(1)得z1+z2=(a-4)+(b-4)i,z1-z2=(a+2)+(2-b)i,∵|z1+z2|=2,z1-z2为实数,
∴解得
12. [解析] 设复数z=a+bi(a,b∈R),则z-1=a-1+bi,z+i=a+(b+1)i,∵|z-1|=|z+i|,∴=,整理得a+b=0,∴z在复平面内对应的点Z的轨迹方程为x+y=0,又z0=2+i在复平面内对应的点为Z0(2,1),∴点Z0与点Z之间距离的最小值为=.
13.解:(1)由|z+2-2i|=1得|z-(-2+2i)|=1,设复数z0=-2+2i在复平面内对应的点为Z0,则Z0(-2,2),因此点Z在以Z0(-2,2)为圆心,1为半径的圆上.
(2)设复数2+2i在复平面内对应的点为A,则A(2,2).|z-2-2i|表示点Z到点A的距离,连接AZ0,则|AZ0|=4,故|z-2-2i|的最小值为|AZ0|-1=3.
2024—2025学年下学期高一数学分层作业（21）
7.2.1 复数的加减运算及其几何意义