高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直优秀学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直优秀学案设计，共2页。
1.直线与平面垂直的判定定理是什么?
2.如何运用线面垂直的判定定理证明线与面的空间位置关系？
自主测评
1.判断
(1)如果一条直线与平面内无数条直线都垂直,那么它与该平面垂直.( )
(2)如果一条直线与一个平面不垂直,那么它与平面内任何一条直线都不垂直.( )
(3)如果一条直线与一个平面垂直,那么它与平面内所有的直线都垂直.( )
(4)若一条直线与一个三角形的两条边垂直,则此直线与该三角形所在平面垂直.( )
2.已知直线a,b和平面α,且b在α内,a不在α内,则下列说法错误的是( )
A.若a∥α,则存在无数条直线b,使得a∥b B.若a⊥α,则存在无数条直线b,使得a⊥b
C.若存在无数条直线b,使得a∥b,则a∥α D.若存在无数条直线b,使得a⊥b,则a⊥α
（二）共同探索
【探究】 如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆以及它在
地面上的影子.随着时间的变化，影子的位置在不断地变化，
旗杆所在直线与其影子所在直线是否保持垂直？
事实上，随着时间的变化，尽管影子的位置在不断地变化，但是旗杆所在直线始终与其影子所在直线 ，也就是说，旗杆 与地面上任一条过点的直线 .
对于地面上不过点的任意一条直线 ，总能在地面上找到过点的一条直线与之 ，根据异面直线垂直的定义，可知旗杆 所在直线与直线 也垂直.因此，旗杆 所在直线与地面上 直线都 .
直线与平面垂直：一般地，如果直线 与平面 内的 直线都 ，我们就说 与 互相 ，记作 .
直线 叫做 的 ，平面 叫做 的 .
直线与平面垂直时，它们唯一的公共点 叫做 .
【思考】 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？
点到平面的距离：过一点垂直于已知平面的直线 .过一点作垂直于已知平面的直线，则该 与 间的线段，叫做这个 到该 的 ，垂线段的 叫做这个 到该 的距离.
例如：在棱锥的体积公式中，棱锥的 就是棱锥的 到 的距离.
下面探究直线与平面垂直的判定.
【探究】 如图，准备一块三角形的纸片，过的顶点翻折纸片，得到折痕，将翻折后的纸片竖起来放置在桌面上（与桌面接触）.
折痕与桌面垂直吗？
如何翻折才能使折痕与桌面垂直？为什么？
容易发现，所在直线与桌面所在平面垂直的充要条件是 .这时，由于翻折之后 关系不变，所以 与 内的 直线都______.
事实上，由基本事实的推论2，平面可以看成是由两条 直线所 确定的，所以当 垂直于这两条 直线时，就能保证 与 内所有直线都 .
直线与平面垂直定理：如果一条 与一个 内的两条 直线垂直，那么该 与此 垂直.它可以用符号表示为：
定理体现了“ ”和“ ”的相互转化.
【思考】两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？你能从向量的角度解释原因吗？如果改为“无数条直线”呢？
直线与平面所成的角：如图，一条直线与一个平面 ，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的 ， 和平面的 叫做 .
过斜线上 以外的一点向平面引 ，过 和 的直线 叫做 在这个平面上的 .平面上的一条 和它在平面上的 所成的 ，叫做这条 和这个 所成的 .
一条直线 于平面，我们说它们所成的角是 ；一条直线和平面 ，或 ，我们说它们所成的角是 .直线与平面所成的角 的取值范围是 .
【思考】如果是平面内的任意一条不与直线重合的直线，那么直线与直线所成的角和直线与这个平面所成的角的大小关系是什么？
例1 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
例2 如图，在正方体中，求直线和平面所成的角.
课堂练习
1.如图，四棱锥的底面是正方形，平面，求证：平面.
2.如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足什么条件时，？
课堂总结
1.直线与平面垂直定理 2.直线与平面所成的角
2024—2025学年下学期高一数学导学案（35）
8.6.2 直线与平面垂直（1）