高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第九章 统计9.2 用样本估计总体精品教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第九章 统计9.2 用样本估计总体精品教案设计，共11页。教案主要包含了类题通法，巩固练习1，巩固练习2，巩固练习3，设计意图等内容，欢迎下载使用。

本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第九章《统计》的第二节《用样本估计总体》。以下是本节的课时安排：
在初中已经学习理解了“方差与标准差概念”的基础上，学习理解方差的性质。学会分层随机抽样样本的方差的计算.帮助学生逐步适应复杂的数学符号.体会利用样本估计总体的思想.在数据的整理与计算的过程中养成耐心、细致、认真的习惯，学会把知识应用于生活.提高数据分析能力.
1.掌握方差和标准差，利用方差和标准差估计总体的离散程度,培养数据分析的核心素养；
2、通过样本标准差等数据直观估计总体的离散程度，能够正确计算样本的标准差或方差，提升数学运算的核心素养。
1.重点：求样本数据的方差、标准差、极差
2.难点：用样本平均数和样本标准差估计总体。
（一）新知导入
甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；
乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5.
经过计算可知甲、乙的命中环数的平均数都是7环.
【问题】若从二人中选一人去和兄弟部队参加射击大赛，只用平均数能否作出选择？
【提示】不能.平均数只能说明二人的平均水平相同，还要用方差来判断谁的射击水平更稳定.
（二）总体离散程度的估计
知识点一 一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差
数据x1，x2，…，xn的方差为＝，标准差为.
知识点二 总体方差和标准差
(1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体的平均数为eq \x\t(Y)，则称S2＝为总体方差，S＝eq \r(S2)为总体标准差．
(2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，
则总体方差为S2＝.
知识点三 样本方差和标准差
如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为eq \x\t(y)，
则称s2＝为样本方差，s＝eq \r(s2)为样本标准差．
知识点四 标准差的意义
标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．
知识点五 分层随机抽样的方差
设样本容量为n，平均数为eq \x\t(x)，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为eq \(x,\s\up6(－))1，eq \(x,\s\up6(－))2，方差分别为seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)，则这个样本的方差为
s2＝eq \f(n1,n)[seq \\al(2,1)＋(eq \(x,\s\up6(－))1－eq \(x,\s\up6(－)))2]＋eq \f(n2,n)[seq \\al(2,2)＋(eq \(x,\s\up6(－))2－eq \(x,\s\up6(－)))2]．
【做一做】某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4
则(1)平均命中环数为________；
(2)命中环数的标准差为________.
解析：(1)eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4,10)＝7.
(2)∵s2＝eq \f(1,10)[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.
答案：(1)7 (2)2
【思考】如何理解方差与标准差的概念？
【提示】 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.
(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞).
标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性.
(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.
【辩一辩】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.计算分层随机抽样的均值与方差时，必须已知各层的权重.(√)
2.若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0.(√)
3.标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散.(×)
（三）典型例题
1.方差、标准差的计算
例1.甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
解：(1)eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
eq \(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq \f(7,3)，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又seq \\al(2,甲)＞seq \\al(2,乙)，所以乙机床加工零件的质量更稳定．
【类题通法】用样本的标准差、方差估计总体的方法
用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似.在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策.在平均值相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性.
【巩固练习1】对划艇运动员甲、乙在相同的条件下进行了6次测试，测得他们每次的最大速度(m/s)如下：
甲：27,38,30,37,35,31
乙：33,29,38,34,28,36
根据以上数据，试判断他们谁的成绩比较稳定．
解：eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,6)×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,6)×[(27－33)2＋(38－33)2＋…＋(31－33)2]＝eq \f(1,6)×94≈15.7，
eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,6)×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝eq \f(198,6)＝33，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,6)×[(33－33)2＋(29－33)2＋…＋(36－33)2]＝eq \f(1,6)×76≈12.7.
所以eq \x\t(x)甲＝eq \x\t(x)乙，seq \\al(2,甲)>seq \\al(2,乙).
这说明甲、乙两运动员的最大速度的平均值相同，但乙的成绩比甲的稳定．
2.分层随机抽样的方差
例2.甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？
解：由题意可知eq \(x,\s\up6(－))甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为eq \f(1,1＋4)＝eq \f(1,5)，
eq \(x,\s\up6(－))乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为eq \f(4,1＋4)＝eq \f(4,5)，
则甲、乙两队全部队员的平均体重为eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)×60＋eq \f(4,5)×70＝68(kg)，
甲、乙两队全部队员的体重的方差为
s2＝eq \f(1,5)[200＋(60－68)2]＋eq \f(4,5)[300＋(70－68)2]＝296.
【类题通法】计算分层随机抽样的方差s2的步骤：
(1)确定eq \(x,\s\up6(－))1，eq \(x,\s\up6(－))2，seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)，
(2)确定eq \(x,\s\up6(－))；
(3)应用公式s2＝eq \f(n1,n)[seq \\al(2,1)＋(eq \(x,\s\up6(－))1－eq \(x,\s\up6(－)))2]＋eq \f(n2,n)[seq \\al(2,2)＋(eq \(x,\s\up6(－))2－eq \(x,\s\up6(－)))2]，计算s2.
【巩固练习2】已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2019年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市房价的方差为________.
【解析】设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知
20＝eq \f(1,1＋3＋6)[s2＋(1.2－2.4)2]＋eq \f(3,1＋3＋6)[10＋(1.2－1.8)2]＋eq \f(6,1＋3＋6)[8＋(1.2－0.8)2]，
解得s2＝118.52，即二线城市房价的方差为118.52.
【答案】118.52
3.数字特征的综合应用
例3.在一次科技知识竞赛中，某学校的两组学生的成绩如下表：
请根据你所学过的统计知识，判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．
解：(1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．
(2)eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝eq \f(1,50)×4 000＝80，
eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝eq \f(1,50)×4 000＝80.
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.
∵eq \x\t(x)甲＝eq \x\t(x)乙，seq \\al(2,甲)