2024-2025学年高中数学人教A版必修二第10章《概率》章末总结与练习（学生版+教师版）

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《第十章 概率 》章末综合 教学设计一、知识网络构建核心知识归纳1.频率与概率频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而变化；概率是多次的试验中频率的稳定值，是一个常数，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率.2.求较复杂概率的常用方法(1)将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；(2)先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P(eq \o(A,\s\up6(－)))求解.3.古典概型概率的计算关键要分清样本点的总数n与事件A包含的样本点的个数k，再利用公式P(A)＝eq \f(k,n)求解.有时需要用列举法把样本点一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏.三、典型例题1.随机事件的概率【例1】假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如图所示: (1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率.(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率.解：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为 QUOTE = QUOTE ,用频率估计概率,所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为 QUOTE .(2)根据抽样结果,寿命大于200小时的产品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品是75个,所以在样本中,寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是 QUOTE = QUOTE ,用频率估计概率,所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为 QUOTE .【类题通法】对于概率的定义应注意以下几点(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验.(2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率.(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小.(5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1.【巩固训练1】下表是某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答问题．(1)完成上面表格；(2)估计该油菜籽发芽的概率是多少？解：(1)从左到右依次填入：1,0.8,0.9,0.857，0.892，0.897,0.898,0.897,0.896.(2)由于每批种子发芽的频率稳定在0.897附近，所以估计该油菜籽发芽的概率为0.897.2.　概率的性质【例2】一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率.(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求nP(A)，所以丙获得合格证书的可能性大.(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则P(D)＝P(ABeq \o(C,\s\up6(－)))＋P(Aeq \o(B,\s\up6(－))C)＋P(eq \o(A,\s\up6(－))BC)＝eq \f(2,5)×eq \f(1,2)×eq \f(4,9)＋eq \f(2,5)×eq \f(1,2)×eq \f(5,9)＋eq \f(3,5)×eq \f(1,2)×eq \f(5,9)＝eq \f(11,30).【类题通法】计算相互独立事件同时发生的概率的步骤(1)先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，把这些事件分为若干个彼此互斥的事件的和；(2)根据相互独立事件的概率计算公式计算出这些彼此互斥的事件的概率；(3)根据互斥事件的概率加法公式求出结果.【巩固训练4】甲、乙两人进行跳绳比赛，规定：若甲赢一局，比赛结束，甲胜出；若乙赢两局，比赛结束，乙胜出.已知在一局比赛中甲、乙两人获胜的概率分别为eq \f(2,5)，eq \f(3,5)，则甲胜出的概率为________.解析：法一：甲胜的情况：①举行一局比赛，甲胜出，比赛结束；②举行两局比赛，第一局乙胜、第二局甲胜.①②的概率分别为eq \f(2,5)，eq \f(3,5)×eq \f(2,5)，且这两个事件是互斥的，所以甲胜出的概率为eq \f(2,5)＋eq \f(3,5)×eq \f(2,5)＝eq \f(16,25).法二：因为比赛只有甲胜出和乙胜出两个结果，而乙胜出的情况只有一种，举行两局比赛都是乙胜，其概率为eq \f(3,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(9,25)，所以甲胜出的概率为1－eq \f(9,25)＝eq \f(16,25).答案：eq \f(16,25)5.概率与统计的综合应用例5.某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下表和各年龄段人数的频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图并求n，a，p的值；(2)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用样本量按比例分配的分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率．解：(1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高为eq \f(0.3,5)＝0.06.频率直方图如下：第一组的人数为eq \f(120,0.6)＝200，频率为0.04×5＝0.2，所以n＝eq \f(200,0.2)＝1 000.由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1 000×0.3＝300，所以p＝eq \f(195,300)＝0.65.第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为1 000×0.15＝150，所以a＝150×0.4＝60.(2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:30＝2:1，所以采用样本量按比例分配的分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中抽4人，[45,50)岁中抽2人．设[40,45)岁中抽的4人为a，b，c，d，[45,50)岁中抽的2人为m，n，则选取2人作为领队对应的样本空间={(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)}，共有15个样本点；其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，共8样本点．所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为eq \f(8,15).【类题通法】概率与统计的综合应用的关注点概率与统计相结合，所涉及的统计知识是基础知识，所涉及的概率往往是古典概型，虽然是综合题，但是难度不大.在解决问题时,要求对图表进行观察、分析、提炼,挖掘出图表所给予的有用信息,排除有关数据的干扰,进而抓住问题的实质,达到求解的目的.【巩固练习5】为了加强中学生实践、创新和团队建设能力的培养，促进教育教学改革，市教育局举办了全市中学生创新知识竞赛．某中学举行了选拔赛，共有150名学生参加，为了了解成绩情况，从中抽取50名学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计，清你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：(1)完成频率分布表(直接写出结果)，并作出频率分布直方图；(2)若成绩在90.5分以上的学生获一等奖，试估计全校获一等奖的人数，现在从全校所有获一等奖的同学中随机抽取2名同学代表学校参加竞赛，某班共有2名同学荣获一等奖，求该班同学恰有1人参加竞赛的概率.解：(1)频率分布表如下：频率分布直方图如图．(2)获一等奖的概率约为0.04，所以获一等奖的人数估计为150×0.04＝6(人)．记这6人为A1，A2，B，C，D，E，其中，A1，A2为该班获一等奖的同学．从全校所有获一等奖的同学中随机抽取2名同学代表学校参加竞赛，对应的样本空间={(A1，A2)，(A1，B)，(A1，C)，(A1，D)，(A1，E)，(A2，B)，(A2，C)，(A2，D)，(A2，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)},共有15个样本点．该班同学中恰有1人参加竞赛，包含8个样本点：(A1，B)，(A1，C)，(A1，D)，(A1，E)，(A2，B)，(A2，C)，(A2，D)，(A2，E)．所以该班同学中恰有1人参加竞赛的概率P＝eq \f(8,15).操作演练 素养提升1.坛子中放有3个白球和2个黑球，从中进行不放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1和A2是(　　)A．互斥事件　　　 　B．相互独立事件C．对立事件 D．不相互独立事件解析：由互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义可知，A1与A2不互斥也不对立，同时A1与A2也不相互独立．答案：D2.集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是(　　)A.eq \f(2,3)　　　　B.eq \f(1,2)　　　 　C.eq \f(1,3)　　　　D.eq \f(1,6)解析:从A，B中各任取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共有6个样本点，满足两数之和等于4的有(2,2)，(3,1)，有2个样本点，所以P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).答案:　C3.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为(　　)A.eq \f(2,3) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(9,10)解析：由题意，从五位大学毕业生中录用三人，对应的样本空间={(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，共有10个样本点，其中“甲与乙均未被录用”包含的样本点只有(丙，丁，戊)这1个，故其对立事件“甲或乙被录用”包含的样本点有9个，所求概率P＝eq \f(9,10).答案：D4.某市某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比赛，现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.4；每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响；现規定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则其中一名同学得2分的概率为（　　）A．0.5 B．0.48 C．0.4 D．0.32解析：设“第一次投进球”为事件A，“第二次投进球”为事件B，则得2分的概率为P＝P（AB）+P（B）＝0.4×0.6+0.6×0.4＝0.48．答案：B五、课堂小结，反思感悟1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 六、作业布置完成教材：第263页 复习参考题10 第1，2，3,4,5,6,7,8,9题 七、课堂记录 八、教学反思 血型ABABO该血型的人所占比例(%)2829835地区ABC数量50150100分组频数频率第1组60.5～70.50.26第2组70.5～80.517第3组80.5～90.5180.36第4组90.5～100.5合计501 分组频数频率第1组60.5～70.5130.26第2组70.5～80.5170.34第3组80.5～90.5180.36第4组90.5～100.520.04合计501