2024-2025学年吉林省长春市高二上学期10月期中考试数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年吉林省长春市高二上学期10月期中考试数学检测试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．直线的倾斜角（ ）
A．B．C．D．
2．已知圆，直线，则圆上到直线的距离为的点的个数为（ ）
A．B．C．D．
3．平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（ ）

A．3B．C．D．
4．若方程表示圆，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．曲线与曲线一定成立的是（ ）
A．长轴长相等B．焦距相等C．离心率相等D．短轴长相等
6．已知直线，直线，若，则与的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．已知为直线上的一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论错误的是（ ）
A．卫星向径的取值范围是
B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
二、多选题（本大题共3小题）
9．对于直线：，下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．直线斜率可以不存在
C．时直线的倾斜角为
D．时直线在轴上的截距为
10．已知圆：与圆：相交于A，B两点，则下列判断正确的是（ ）
A．两圆的相交弦所在直线方程为
B．两圆的公共弦长为
C．经过A，B两点，且过原点的圆的方程为
D．P为上任意一点，Q为上任意一点，则的最大值为
11．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ）
A．曲线围成的图形有4条对称轴
B．曲线C围成的图形的周长是
C．曲线C上的任意两点间的距离最大值是
D．若是曲线上任意一点，的最小值是
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量则实数的值为 ．
13．经过点，且在 x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线l的一般方程是 .
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与C在第一、第三象限分别交于点A，B，若，则C的离心率的最大值是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且；
(2)焦点在坐标轴上，且经过两个点.
16．已知以点为圆心的圆与直线相切.
(1)求圆A的方程；
(2)过点的直线l与圆A相交于M、N两点, 当时，求直线l方程．
17．在平面直角坐标系中，圆为过点，，的圆．
(1)求圆的标准方程；
(2)若点P的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状.
18．如图所示，在直三棱柱中，侧面为长方形，，，，.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线和平面所成角的正弦值；
(3)在线段上是否存在一点T，使得点T到直线的距离是，若存在求的长，不存在说明理由.
19．已知椭圆的离心率为，过椭圆E的左焦点且与x轴垂直的直线与椭圆E相交于的P，Q两点，O为坐标原点，的面积为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）点M，N为椭圆E上不同两点，若，求证：的面积为定值.
答案
1．【正确答案】D
【详解】化成斜截式为，所以直线斜率，直线倾斜角，且，则.
故选：D.
2．【正确答案】C
【详解】设与直线平行且与直线的距离为的直线的方程为，
由平行线间的距离公式可得，解得或，
圆的圆心为，半径为，
显然直线过圆心，圆心到直线的距离为，
所以，直线与圆相交，直线与圆相切，
所以，圆上到直线的距离为的点的个数为.
故选：C.
3．【正确答案】C
【详解】由题意可知：，
则
，
所以.
故选：C.
4．【正确答案】C
【详解】解：因为方程，
可变形为，
因为方程表示圆，则，解得：或，
所以的取值范围是.
故选：C.
5．【正确答案】B
【详解】曲线表示焦点在x轴上的椭圆，
其中，
所以长轴长为，短轴长，焦距为，离心率，
因为，所以，
曲线表示焦点在x轴上的椭圆，
其中，，，
所以长轴长为，短轴长，焦距为，离心率
故长轴长不相等，焦距相等，离心率不相等，短轴长不相等，故ABD错，B对；
故选：B
6．【正确答案】B
【详解】由，所以，则，所以可得，
根据两平行直线距离公式.
故选：B
7．【正确答案】D
【详解】记点、，则，如下图所示：

设原点关于直线的对称点为，且直线的斜率为，
由题意可得，解得，
故原点关于直线的对称点为，
由对称性可知，
所以，，
当且仅当为线段与直线的交点时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：D.
8．【正确答案】C
【详解】由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以A正确；
根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确；
卫星向径的最小值与最大值的比值为越大，则越小，椭圆越圆，故C错误．
因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，
所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故D正确；
故选：C．
9．【正确答案】AB
【详解】对于A，直线，令，则，所以直线过定点，故A正确；
对于B，当时，直线，斜率不存在，故B正确；
对于C，当时，直线，即，所以直线的斜率为，倾斜角为，故C错误；
对于D，当时，直线，令，得，即直线在轴上的截距为，故D错误.
故选：AB.
10．【正确答案】ABD
【详解】对于A，由，得，
所以两圆的相交弦所在直线方程为，故A正确；
对于B，圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
则两圆公共弦长为，故B正确；
对于C，经过，两点的圆的方程可设为，
即，因为此圆过原点，
，解得，
所以经过，两点，且过原点的圆的方程为，故C错误；
对于D，圆的圆心为，半径为，所以的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
11．【正确答案】ACD
【详解】当时，曲线的方程可化为，
当时，曲线的方程可化为，
当时，曲线的方程可化为，
当时，曲线的方程可化为，
所以曲线的图象如图所示，
对于A，由图可知曲线围成的图形有4条对称轴，故A正确；
对于B，曲线由4个半圆组成，其周长为，故B错误；
对于C，由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C正确；
对于D，到直线的距离，
点到直线的距离为，
由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为，
故的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
12．【正确答案】7
【详解】由题，
，
，
解得.
故7.
13．【正确答案】或
【详解】当截距为0时，设直线方程为，
将代入得，解得，故，即；
当截距不为0时，设直线方程为，
将代入得，解得，
故直线方程为，即.
故或
14．【正确答案】
【详解】连接，设，
因为点在第一象限，所以，
由对称性可知，
因为，所以，即，
由椭圆定义可得，
由圆的性质得⊥，由勾股定理得，
所以，即，
因为，
设，，则，
由对勾函数性质，单调递增，
所以，即，
当时，解得，即，解得
当时，解得，即，解得，
综上，所以C的离心率的最大值为.
故
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题设椭圆，，
，即，
将点代入方程，可得，
所以椭圆方程为.
（2）设椭圆的一般方程为，
将点，代入椭圆的方程，
得，解得，，
所以椭圆的标准方程为.
16．【正确答案】（1）（2）或
【详解】（1）由题意知到直线的距离为圆半径，且
,
所以圆的方程为 .
（2）记MN中点为Q，则由垂径定理可知且，
在中由勾股定理易知，，设动直线方程为：或，显然合题意.由到距离为1知，解得,
∴或 为所求方程.
17．【正确答案】(1)；
(2)，轨迹是以为圆心，半径为的圆．
【详解】（1）设圆的方程为，
因为圆为过点，，，
所以，
解得满足，
所以，化成标准方程为.
（2）设的坐标是，点的坐标是，
因为的坐标是，且，
所以，解得，
又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即，
代入得，整理得，
点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆．
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【详解】（1）由于，所以，
根据直三棱柱的性质可知，由于，所以平面，
由于平面，所以平面平面.
（2）设N是的中点，连接，则，MA，MB，MN，两两相互垂直.
以M为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
，，
设平面的法向量为，
则，令，可得，
设直线和平面所成角为，则；
（3）设，则，
过T作，则，
∵，
∴，
∴，∴或（舍）
∴.
19．【正确答案】(1) (2)证明见解析
【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，则①
过椭圆左焦点且与x轴垂直的直线方程为，与椭圆方程联立解得，
所以，所以②
把①代入②，解得
又，解得
所以E的方程为：
（2）设，因为，，
所以，即，
即
（i）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程并整理，得.
则，
③
所以，整理得，代入③，
，
O到直线的距离，
所以
，即的面积为定值1
（ii）当直线的斜率不存在时，不妨设的斜率为且点M在第一象限，此时的方程为，代入椭圆方程，解得，此时的面积为.
综上可知，的面积为定值1