2024-2025学年湖北省部分高中联考协作体高一(上)11月期中数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年湖北省部分高中联考协作体高一(上)11月期中数学试卷(解析版)，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，.
故选：B.
2. 已知命题，命题，则（ ）
A. 和均为真命题B. 和均为真命题
C. 和均为真命题D. 和均为真命题
【答案】D
【解析】对于命题，当时，，为假命题，则为真命题，AC错误；
对于命题，当时，，为真命题，则为假命题，BC错误；
所以和均为真命题，D正确.
故选：D.
3. 已知函数则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】由，则，
又，，所以.
故选：C.
4. 已知为非零实数，则“”是“关于不等式与不等式解集相同”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由知，
若与不等式解集不相同；
若与不等式解集相同，则.
则“”是“关于的不等式与不等式解集相同”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设为奇函数，且当时，，
则时，，
则原问题转化为方程：在上有解，求的取值范围问题.
由在有解得：
.
故选：A.
6. 函数若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为对任意，都有成立，
可得在上是单调递增的，
则.
故选：C.
7. 已知正实数满足，则恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】A
【解析】因为，且为正实数，
所以
，当且仅当，即时，等号成立.
所以，则，
因为恒成立，所以，解得.
故选：A.
8. 设是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：（1）属于属于；（2）中任意多个元素的并集属于；（3）中任意多个元素的交集属于；则称是集合上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合：
①；
②
③；
④.
其中是集合上的拓扑的集合的序号是（ ）
A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④
【答案】C
【解析】①，故①不是集合X上的拓扑的集合；
③，，故③不是集合X上的拓扑的集合；
对于选项②④，满足：（1）X属于，属于；
（2）中任意多个元素的并集属于；（3）中任意多个元素的交集属于，
综上得，是集合X上的拓扑的集合的序号是②④.
故选：C.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或未选的得0分.
9. 下列条件中，为“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】由对恒成立可得，①当时，成立；
②当时，，解得；
故对恒成立时，的取值范围是，
则是的真子集，
且是的真子集.
故选：CD.
10. 当两个集合中一个集合为另一个集合子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，若与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】ACD
【解析】当时，，
当时，，
对选项A：若，，此时，满足；
对选项B：若，，此时，不满足；
对选项C：若，，此时，满足；
对选项D：若，，此时，满足.
故选：ACD.
11. 已知函数在上的最大值比最小值大1，则正数的值可以是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】AD
【解析】函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数在2,4上单调递增，所以，
，所以，
解得或（舍去）；
当时，函数在2,4上单调递减，所以，
，所以，解得（舍去）；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，且，，
若，即，则，
解得（舍去）或（舍去）；
若，即，则，
解得或（舍去）.
综上所述，或.
故选：AD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则实数的值所组成的集合为__________.
【答案】
【解析】因为，，，
所以，，所以或，
当时，解得，合题意，
当时，解得或，
若，，，合题意，
若，，，不满足集合中元素的互异性，舍去，
综上所述，.
13. 已知是定义在上的奇函数，若，则__________.
【答案】4
【解析】为奇函数，，
即，
令有.
14. 以表示数集中最大的数，表示数集中最小的数，则__________.
【答案】
【解析】在同一坐标系下画出函数，，的图象，
联立，解得或，所以；
联立，解得或，所以；
由图可知，，
所以当时，有最大值，
则.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设集合.
（1）若，求的取值；
（2）记，若集合的非空真子集有6个，求实数的取值范围.
解：（1），
若，则此时，
若则，当时；当且时，
，即，解得或，，
由若可知有或或.
（2）若集合的非空真子集有6个，则，可得，
即中的元素只有3个，又，
由（1）知，且且即且且，
故实数的取值所构成的集合为.
16. 已知定义在上的函数对任意实数都有，且当时，.
（1）求的值；
（2）求函数的解析式；
（3）求不等式的解集.
解：（1）因为时，，
所以，.
（2）当时，，
此时，
又对任意实数x都有，故时，，
所以函数.
（3）由得，或，
①当时，，即或，解得或；
②当时，，即，解得；
综上所述，不等式的解集为.
17. 如图，在公路的两侧规划两个全等的公园.（）其中为健身步道，为绿化带.段造价为每米3万元，段造价为每米4万元，绿化带造价为每平方米2万元，设的长为的长为米.
（1）若健身步道与绿化带的费用一样，则如何使公园面积最少？
（2）若公园建设总费用为74万元，则健身步道至少多长？
解：（1）依题意得：，即，
因为，所以，解得，
当且仅当，即时，等号成立，
此时面积，
故的长为的长6时公园面积最少.
（2）依题意得：，
所以，所以，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立.
此时，
故健身步道至少长（米）.
18. 已知函数是奇函数，且.
（1）求实数的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）当时，解关于的不等式.
解：（1）因为函数是奇函数，所以，
即，，
所以，解得，所以，
因为，所以，解得.
（2）在上单调递增，理由如下：
由（1）可知，
任取，且，则
，
因为，且，所以，，
所以，即，
所以在上单调递增.
（3）当时，，
因为在上单调递增且为奇函数，所以在上单调递增，
因为，所以，即，
解得，或，综合得或
所以不等式的解集为.
19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”.
（1）求证：是函数的一个“优美区间”；
（2）求证：函数不存在“优美区间”；
（3）已知函数有“优美区间”，当取得最大值时，求的值.
解：（1）在区间0,4上单调递增，又，
当时，，
根据“优美区间”的定义，0,4是的一个“优美区间”.
（2），设，
可设或，
则函数在上单调递减.
若是的“优美区间”，则，
两式相减可得：，
又，所以，即，
代入方程组，得到，原方程无解.
函数不存在“优美区间”.
（3），设.
有“优美区间”，
或，
在上单调递增.
若是函数hx的“优美区间”，则，
是方程，
即（*）的两个同号且不等的实数根.
，
或，
由（*）式得.
，
或，当时，取得最大值.
.