2024-2025学年山东省青岛市市北区八年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年山东省青岛市市北区八年级(上)期中数学试卷(解析版)，共22页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列各组长度的线段，可以作为直角三角形三条边的是（ ）
A. 、和B. 、和
C. 、和D. 、和
【答案】B
【解析】A．∵，∴长为、和的三条线段不能作为三角形的三条边，故A不符合题意；
B．∵，∴长为、和的三条线段，可以作为直角三角形三条边，故B符合题意；
C．∵，∴、和的三条线段，不可以作为直角三角形三条边，故C不符合题意；
D．∵，∴、和的三条线段，不可以作为直角三角形三条边，故D不符合题意．
故选：B．
2. 在，0，（每隔一个8多一个0）这6个数中，无理数共有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】，，，0，（每隔一个8多一个0）中，无理数有，，（每隔一个8多一个0）共3个．
故选：B．
3. 下列判断正确的是（ ）
A. 27的立方根是B. 正数a的算术平方根是
C. 的算术平方根是4D.
【答案】B
【解析】27的立方根是3，故A不符合题意；
正数a的算术平方根是，描述正确，故B符合题意；
没有算术平方根，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选B
4. 象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“马”和“车”的点的坐标分别为（4，3），（-2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示：以帅的位置为原点建立平面直角坐标系，
则棋子“炮”的点的坐标为（1，3）．
故选：A．
5. 若点在第二象限，且点到轴的距离为2，到轴的距离为1，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵点P在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，
∴点P的横坐标是﹣1，纵坐标是2，
∴点P的坐标为（﹣1，2）．
故选：A．
6. 如图，是直角三角形，是直角．点C在数轴上对应的数为，，若以点C为圆心，为半径画弧，交数轴于点M，则M点所表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵是直角三角形，，，
∴，
∵，
∴点M表示的数为，
故选：B．
7. 已知点都在直线y＝﹣5x+b上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵k＝﹣5＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点都在直线y＝﹣5x+b上，且﹣2＜﹣1＜1，
∴．
故选：A．
8. 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（ ）
A. 4.55尺B. 5.45尺C. 4.2尺D. 5.8尺
【答案】A
【解析】设折断处离地面的高度为x尺，
结合勾股定理可得出：，
解得：．
∴折断处离地面的高度为4.55尺．
故选：A．
9. 实数a、b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，，
∴，，
∴
．
故选：D．
10. 若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】一次函数过一、二、四象限，
则函数值y随x的增大而减小，因而；
图象与y轴的正半轴相交则，
因而一次函数的一次项系数，
y随x的增大而增大，经过一三象限，
常数项，则函数与y轴负半轴相交，
一次函数的图象一定经过一、三、四象限，
故选：D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 的平方根是__________．
【答案】±
【解析】的平方根是±．
故答案为．
点睛：本题考查了算术平方根．平方运算是求平方根的关键．
12. 若是y关于x的正比例函数，则m的值为______．
【答案】
【解析】是y关于x的正比例函数，
，
解得：，
故答案为：．
13. 如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有空白的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C的面积依次为4，8，6，则正方形D的面积为___________．
【答案】
【解析】如图，
由题意得，正方形E的面积为，
则正方形D面积，
故答案为：．
14. 已知实数x、y满足值是___________．
【答案】
【解析】∵，
∴
∴
∴x=2，则，
∴．
故答案为：．
15. 如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为_______．

【答案】
【解析】如图，，，

∴的面积，
由勾股定理得，
则，
解得，
故答案为：
16. 如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，一只蚂蚁从下底面的点A处沿圆柱侧面爬到正对面母线的中点B处觅食，蚂蚁爬行的最短距离为___________．
【答案】
【解析】如图，展开得：
连接，
圆柱的高为，底面圆的周长为，
，，
，
蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为，
故答案：．
17. 如图，正方形ABCD的边长为15，AG=CH=12，BG=DH=9，连接GH，则线段GH的长为______．
【答案】
【解析】如图，延长BG交CH于点E，易证△ABG≌△BCE≌△CDH，所以AG=BE=CH，BG=CE=DH，所以GE=12-9=3，HE=12-9=3，Rt△GHE，由勾股定理得GH=.
故答案为.
18. 如图，直线CD与x轴、y轴正半轴分别交于C、D两点，∠OCD=45°，第四象限的点P（m，n）在直线CD上，且mn=﹣6，则OP2﹣OC2的值为____．
【答案】12
【解析】如图，过P作PE⊥y轴于E，则OC∥PE，
∴∠OCD=∠DPE=45°，
∵∠DOC=∠DEP=90°，
∴OD=OC，DE=EP，
∵P（m，n），且点P（m，n）在第四象限，
∴OD-n=m，
∴OD=m+n，
两边同时平方得：OD2=m2+n2+2mn，
∵mn=-6，
∴m2+n2=OD2+12，
由勾股定理得：OP2=m2+(-n)2=m2+n2，
∴OP2-OC2= m2+n2-OD2=OD2+12-OD2=12，
故答案为：12．
三、解答题（本题满分66分，共有8道小题）
19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、点B在网格中的位置如图所示，
（1）建立适当的平面直角坐标系，使点A、点B的坐标分别为（﹣2，3）、（﹣1，﹣4）．
（2）点C的坐标为（﹣5，﹣1），在平面直角坐标系中标出点C的位置，连接AB、BC、CA．
（3）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．
（4）直接写出△ABC是何特殊的三角形．
解：（1）如图所示；
（2）如图所示；
（3）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（4）∵ ， ， ，
∴ ，
，
，
∴ ，BC=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
20. 计算：
（1）
（2）
（3）
解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
．
21. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现漏刻水位是时间的一次函数，通过观察，每2分钟记录一次箭尺读数，小磊记录实验数据得到下表：
（1）在小组探究中，小华采用不同的函数关系表达方式（表格、图象、关系式）验证，均发现小磊记录的上表h，t的数据中，有一对数据记录错误．请用学过的相关知识判断，第___________次数据是不准确的．
（2）当记录时间为20分钟时，漏刻水位是多少？
（3）求与的函数关系式，并计算当水位为时，对应时间是多少？
解：（1）由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加，
当时，对应
∴第（4）次数据是不准确的；
（2）由（1）知时间每增加2分钟，h增加，
当时，则，
即当记录时间为20分钟时，漏刻水位是；
（3）设水位与时间的一次函数关系式为，
把0,2，代入，得，
解得，
∴，
当时，，
解得．
即当水位为时，对应时间．
22. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了．

（1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？
（2）这片绿地的面积是多少？
解 ：（1）如图，连接，
∵，，，
∴，
∴，
答：居民从点A到点C将少走路程．
（2）∵，．，
∴，
∴是直角三角形，，
∴， ，
∴，
答：这片绿地的面积是．
23. 已知．
（1）计算：当时，___________，___________；
当时，___________，___________；
当时，___________，___________；
（2）猜想：无论为任何非负数时，___________始终成立（填“”，“”，“”，“”或“”）；
（3）请说明（）中猜想的合理性．
解：（1）当时，，，
故答案为：，；
当时，，，
故答案：，2；
当时，，；
故答案为：，；
（2）猜想：无论为任何非负数时，，
故答案为：；
（3）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
24. 小明和爸爸进行登山锻炼，两人从山脚下出发，沿相同路线匀速上山，小明用8分钟登上山顶，此时爸爸距离出发地280米，小明登上山顶立即按原路匀速下山，与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地．小明、爸爸在锻炼过程中离出发地的路程y1（米）、y2（米）与小明出发的时间x（分）的函数关系如图，根据图象信息解答下列问题，
（1）图中a= ；b= ；c= ．
（2）小明上山速度为 米/分；爸爸上山速度为 米/分，
（3）直接写出小明与爸爸何时相距30米．
解：（1）根据题意，可知a=8，b=280，
小明下山用的时间为：24﹣8=16（分钟），下山的速度为：400÷16=25（米/分钟），
设小明与爸爸相遇的时间为x分
由题意得（280÷8）x=400﹣25（x﹣8），
解得：x=10，
故c=10．
故答案为：8；280；10；
（2）小明上山速度为400÷8=50（米/分）；爸爸上山速280÷8=35（米/分）．
故答案为：50；35；
（3）根据题意得：（50﹣35）x=30或25（x﹣8）+35x=400﹣30，
解得：x=2或x=9.5，
答：2分或9.5分两人相距30米．
25. 提出问题：
单项式“”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．如何用数形结合的方法探究的近似值呢？
探究方法：
面积为2的正方形边长为，可知，因此设，且．
画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即，另一方面，则，由于较小故略去，得，则，即．
（1）仿照上述的方法，探究的近似值（结果只包含1位小数），要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程；
（2）综合上述具体探究尝试计算：已知非负整数a、b、m，若，且，则___________（用含a、b的代数式表示）；
（3）应用上探究结果，直接写出的近似值，___________（结果只包含2位小数）．
解：（1）面积是31的正方形的边长是，
设，如图，面积为31的正方形分成2个小正方形和2个矩形，
∵，
而，
∴，
略去，得方程，解得，
即；
（2）设，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
（3）面积是31的正方形的边长是，
∵，
设，
如图，面积为31的正方形分成2个小正方形和2个矩形，
∵，
而，
∴，
略去，得方程，解得，
即．
26. 在平面直角坐标系中，已知直线l上两点，且，经过点2,0作x轴的垂线m，交x轴于点N．
（1）___________，___________；
（2）若点是直线m上的一点，连接的面积为6，求C点坐标；
（3）将直线l平移后交x轴于点E，交y轴于点F，直线l与直线m相交于点P，如果以点O、F、N、P为顶点的四边形面积为10时，请直接写出点P的坐标___________．
解：（1），
又，，
，；
（2）当点在的下方，轴上方时，
由题意得：，
，
，即
解得：，则；
当点在的上方时，
同理得：，
，即
解得，则；
当点在轴下方时，
，
（舍去）；
综上所述，点C的坐标为或；
（3），
设直线AB的解析式为，则，
解得：，
直线AB的解析式为，
直线是直线l平移后得到，
设直线的解析式为，
，
如图，当点在轴的下方时，则，
直线l与直线m相交于点P，
，
，则，
，
，
轴，
，
，
解得：，则
；
如图，当点点在轴的上方时，则，
直线l与直线m相交于点P，
，
，则，
，
，
轴，
，
，
解得：，则
；
如图，当点在轴的上方，点在轴的下方时，则，
直线l与直线m相交于点P，
，
，则，
，
，
轴，
（舍去），
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
数据记录
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
…
0
2
4
6
8
…
2
2.8
3.6
4.0
5.2
…