2024-2025学年山东省淄博市周村区八年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年山东省淄博市周村区八年级(上)期中数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
2. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意得：，
解得．
故选：C．
3. 将多项式因式分解，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
故选：A．
4. 如果，，那么的值为（ ）
A. 0B. 1C. 4D. 9
【答案】D
【解析】∵，，
∴
；
故选D．
5. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点的坐标为，即，
故选：D．
6. 为了大力宣传节约用电，某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况，统计如下表：
关于这10户家庭的月用电量说法正确的是( ).
A. 中位数40B. 众数是4
C. 平均数是20.5D. 极差是3
【答案】A
【解析】把这些数从小到大排列，最中间两个数的平均数是，则中位数是40，故A选项正确；40出现的次数最多，出现了4次，则众数是40，故B选项错误；这组数据的平均数，故C选项错误；这组数据的极差是：，故D选项错误；
故选A．
7. 若分式方程的解为正数，则的取值范围（ ）
A. B. 且
C. D. 且
【答案】B
【解析】
去分母得：，
解得，
∵分式方程的解为正数，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
综上所述，且，
故选：B．
8. 某市工程队要修路1000米，因天气原因，实施施工时“…”，设原计划平均每天修x米，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应为（ ）
A. 每天比原计划多铺设10米，结果延期5天才完成
B. 每天比原计划少铺设10米，结果延期5天才完成
C. 每天比原计划多铺设10米，结果提前5天完成了
D. 每天比原计划少铺设10米，结果提前5天完成了
【答案】B
【解析】根据可得题中用“…”表示的缺失的条件应为：每天比原计划少铺设10米，结果延期5天才完成，
故选B．
9. 如图，将△ABC绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵△ABC绕点顺时针旋转得到，
∴AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，
∴∠A=∠CDA=；∠EBC=∠BEC=，
∴选项A、C不一定正确，
∴∠A =∠EBC，
∴选项D正确．
∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB不一定等于，
∴选项B不一定正确；
故选D．
10. 如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】D
【解析】①∵是等边三角形，
∴，，
∵绕点B逆时针旋转得到，
∴，
∴，即，
∵，
∴，故①正确，符合题意；
②∵绕点B逆时针旋转得到，
∴，
∴是等边三角形，故②正确，符合题意；
③∵是等边三角形，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，故③正确，符合题意；
综上：正确的有①②③，
故选：D．
二、填空题：请将最终结果填入题中的横线上（每小题4分，共20分）
11. 如果分式的值为0，那么的值为是_______．
【答案】2
【解析】∵分式的值为0，
，且，
，
故答案为：2．
12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________．
【答案】
【解析】点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
13. 已知一组数据为1，2，3，4，5，则这组数据的方差为_____．
【答案】2．
【解析】由平均数的公式得：（1+2+3+4+5）÷5=3，
∴方差=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]÷5=2．
14. 如图，将绕点逆时针旋转70°到的位置，若，则_______________．

【答案】30°
【解析】∵将绕点逆时针旋转70°到的位置，
∴，，
∴，
故答案为：30°．
15. 已知（且），，，，，则的值为_______________．
【答案】
【解析】∵，
∴；
；
；
；
可知三个数一个循环，
，
∴．
故答案为：．
三、解答题．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）
16. 分解因式：
（1）
（2）
解：（1）
；
（2）
．
17. 计算：
（1）
（2）
解：（1）
；
（2）
．
18. 解方程：
（1）
（2）
解：（1）
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解；
（2）
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解．
19. 在平面直角坐标系中，已知．

（1）画出与关于原点对称的；
（2）以原点O为中心，把逆时针旋转得到，画出
解：（1）
（2）
20. 为了解甲、乙两种水稻的长势，农业科技人员从一块试验田中分别随机抽取甲、乙两种水稻的稻穗各20株，获取了每株稻穗的谷粒数（单位：颗），数据整理如下；
a．甲种水稻稻穗谷粒数：
170，172，176，177，178，182，184，193，196，202，
206，206，206，206，208，208，214，215，216，219
b．乙种水稻稻穗谷粒数的拆线图：
c．甲、乙两种水稻稻穗谷粒数统计汇总表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）__________，__________；
（2）若水稻稻穗谷粒数的方差越小，则认为水稻产量的稳定性越好．据此推断，甲、乙两种水稻中，产量更稳定的是__________（填“甲”或“乙”）；
（3）单株稻穗的谷粒数不低于200颗的水稻视为优良水稻，若该试验田中有甲、乙两种水稻各4000株，请估计优良水稻的株数．
解：（1）将甲的数据从小到大排列，可以发现一共20个数据，第10个数据为202，第11个数据为206，所以这组数据的中位数为，
∴；
根据乙种水稻稻穗谷粒数的折线图可以发现，每柱稻穗的谷粒为195出现的次数最多，也就是说这组数据的众数为195，
∴．
（2）根据表格可得乙的平均数、中位数、众数都比较接近，故乙更稳定．
故答案：乙；
（3）甲的水稻优良率为：，
乙的水稻优良率为：，
故从水稻优良率分析，应推荐种植甲种水稻；
若该实验田中有甲、乙两种水稻各4000株，
则甲的优良水稻有（株），
乙的优良水稻有（株），
∴共有（株）．
答：优良水稻株数为3800株．
21. 已知是等边三角形，将一块含有角的直角三角尺按如图所示放置，让三角尺在所在的直线上向右平移．如图1，当点与点重合时，点恰好落在三角尺的斜边上．
（1）利用图1证明；；
（2）如图2，在三角尺平移过程中，设，与三角尺斜边的交点分别为，，猜想线段与存在怎样的数量关系？并证明你的结论．
证明：（1）由题意得，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
22. 小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为． 利用此净水装置，小明进行了进一步的探究：
现有杂质含量为1的水．
（1）用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为_______；
（2）小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：
①请将表格中方案C的数据填写完整；
②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？
（3）当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为________________（用含a的式子表示）．
解：（1），
故答案为：；
（2）① 根据题意：第一次过滤后水中杂质含量为：，
第二次过滤后水中杂质含量为：，
故答案为：，；
②解：=．
∵，
∴，．
∴．
∴．
同理，可得．
∴．
∴方案C的最终过滤效果最好．
（3）设第一次使用x单位的净水材料，则第二次使用个单位，
∴第一次净水后，杂质含量为：，
∴第二次净水后，杂质含量为：，
∵
，
∵，
∴，
当，即时，有最大值为，
∴此时分数有最小值，
即第一次使用单位净水材料，第二次使用个单位时，两次过滤后水中的杂质含量最少，
故答案为：．
23. 如图，点D为等腰直角三角形斜边上一动点（点D不与线段两端点重合），将绕点B顺时针方向旋转到，连接．

（1）求证：；
（2）若，求的长：
（3）若，请直接写出的最小值．
（1）证明：∵将绕点B顺时针方向旋转到，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：由（2）知，，
则点E在直线上运动，

作点B关于的对称点，连接，交于E，此时最小，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴的最小值为10．
月用电量(度)
25
30
40
50
60
户数
1
2
4
2
1
数据
品种
平均数
中位数
众数
甲
196.7
m
206
乙
196.8
195
n
方案
编号
第一次过滤
用净水材料的单位量
第一次过滤后
水中杂质含量
第二次过滤
用净水材料的单位量
第二次过滤后
水中杂质含量
A
6a
B
5a
a
C
4a
2a