初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）第一章 有理数1.2 有理数第3课时教案

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）第一章 有理数1.2 有理数第3课时教案，共13页。教案主要包含了教学目标，教学设计等内容，欢迎下载使用。
（一）学习目标
1.经历乘法的三个运算律的验证，掌握乘法的三个运算律.
2.能用乘法的三个运算律来进行乘法的简化运算.
(二)学习重点
探索运用乘法运算律简化运算.
（三）学习难点
探索运用乘法运算律简化运算.
二、教学设计
（一）课前设计
1.预习任务
计算下列式子：，，，
，，.
对比每一排左右两个式子的结果，你发现的规律是两数相乘，交换因数的位置，积不变.
，
，
，
对比每一排左右两个式子的结果，你发现的规律是三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.
，.
，..
，.
对比每一排左右两个式子的结果，你发现的规律是一个数与两个数的和相乘，等于这个数分别与这两个数相乘，再把积相加.
2.预习自测
(1)2×3×(﹣)的结果是( )
A.﹣3 B.﹣2C.﹣D.
【知识点】有理数乘法的结合律.
【解题过程】解：原式=2×(﹣1)=﹣2.
【思维点拨】因为是三个有理数相乘，所以可以根据乘法结合律先将第2个和第3个相乘，再与第一个相乘可简化运算.
【答案】选B.

(2)计算(﹣1)×(﹣3)×的结果是( )
A.B.C.D.
【知识点】有理数乘法的交换律.
【解题过程】解：原式=××=.
【思维点拨】根据有理数的乘法法则，先交换第2个因数和第3个因数的位置，再计算可简化运算.
【答案】选：D.
(3)计算：(﹣8)××(﹣1.25)×(﹣)= .
【知识点】有理数的乘法.
【解题过程】解：(﹣8)××(﹣1.25)×(﹣)=﹣8×××=﹣.
【思维点拨】把小数化为分数，然后根据有理数的乘法的交换律和结合律即可得解.
【答案】﹣.

(4)计算：(﹣)×24= .
【知识点】有理数的乘法.
【解题过程】解：(﹣)×24=×24﹣×24=12﹣20=﹣8.
【思维点拨】利用乘法分配律进行计算即可得解.
【答案】﹣8.
（二）课堂设计
1.知识回顾.
几个不是0的有理数相乘，先定_____，再定______.
几个不是0的有理数相乘，负因数的个数是奇数时，积的符号为_____，负因数的个数为偶数时，积的符号为_____.
几个有理数相乘，其中有一个因数是0，则积为_____.
2.问题探究
探究一 经历乘法的三个运算律的验证，掌握乘法的三个运算律★.
●活动① 经历探索的过程
计算下列式子：
，
，
，
学生举手抢答：，，
师问1：对比每一排左右两个式子的结果，你发现了什么？
生答：值相等.
师问2：你能用语言来表述这个规律吗？
生答：两个数相乘，交换因数的位置，积相等.(引导学生大胆的表达，言之有理即可，老师适时订正)
师问3：你能用字母来表示这个运算律吗？
生答：ab=ba
总结：a，b表示任意有理数，所以乘法的交换律在有理数范围仍然适用.
【设计意图】引导学生归纳总结，培养学生的表达能力，通过用字母表示式子，培养学生的符号意识，抽象思维.
●活动② 迁移推导
，
，
，
师问1：对比每一排左右两个式子的结果，你发现了什么？
师生活动：让学生分小组交流讨论，每小组形成一致意见，然后再选择一组同学发言.
生答：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.
师问2：你能分别用文字和字母来表达吗？
生答：字母表示为：
总结：这里的a，b表示任意有理数，所以乘法的结合律在有理数范围仍然适用.
【设计意图】引导学生通过类比的原来的加法结合律，培养学生的归纳能力、表达能力.
●活动③ 迁移推导
师问1：我们发现乘法的交换律和结合律在有理数范围仍然适用，那么原来所学的乘法分配律在有理数范围也适用吗？请大家计算下列式子
，.
，.
，.
学生举手抢答.
师问2：对比每一排左右两个式子的结果，你发现的规律是什么？
生答：一个数与两个数的和相乘，等于这个数分别与这两个数相乘，再把积相加.
师问3：因为就是说乘法分配律在有理数范围仍然适用，你可以用字母表示这个规律吗？
生答：
师问4：回顾一下我们所学加法和乘法运算中，我们学了哪些运算律？
生答：加法交换律.加法结合律.乘法交换律.乘法结合律.乘法分配律
总结：在整个代数学习中，这5个运算律都占有重要地位，在这一章中主要用于简化运算.
【设计意图】学生通过观察思考主动地进行学习，在共同探索，共同发现的过程中分享成功的喜悦，并使学生感受到集体的力量。通过归纳5个运算律，让学生形成一个知识体系.
探究二 能用乘法的三个运算律来进行乘法的简化运算★▲.
●活动① 基础性例题
例1.用两种方法计算
师生活动：学生自己完成，抽两名学生用不同的方法到黑板板演
【知识点】乘法分配律的应用
【解题过程】解法一：
=
=
=－1
解法二：
=
=3+2-6
=－1
【思路点拨】观察题目结构，确定运算顺序.
【答案】－1.
师问1：这两种做法，它们在运算顺序上有什么区别？解法2用了什么运算律？那种解法的运算量小？
生答：解法一先算括号里面的，先做加法，在做乘法运算，解法二先做乘法运算再做加法运算，解法二用了乘法分配律.解法二的运算量小，因为解法一要计算三个分数的和.
师问2：观察括号里面的分母，你能解释为什么解法二计算量要小一些？
生答：因为括号里面的分母都是12的约数.
师问3：那你认为什么情况下，采用乘法分配律更加简便一些？
生答：括号里面的分母都是外面因数的约数时，采用乘法分配律更加简单一些.
师问4：当一个算式里面既有乘法运算又有加减法运算，我们怎样确定运算顺序？
生答：和以前的运算是一样的，先算乘除，再算加减.
【设计意图】通过例题的示范，进一步强化计算步骤，让学生体会采用运算律可以简化运算.
●活动② 提升性例题
例2：计算下列算式
(1)﹣99×36. (2).
(1)﹣99×36
【知识点】有理数的乘法分配律.
【思维点拨】首先把﹣99×36变为﹣(100﹣)×36，再利用乘法分配律进行计算即可.
【解题过程】解：原式=﹣(100﹣)×36
=﹣(100×36﹣×36)
=﹣(3600﹣)
=﹣3599.
【思维点拨】首先把﹣99×36变为﹣(100﹣)×36，再利用乘法分配律进行计算即可.
【答案】﹣3599
(2)﹣3.2×﹣6.8×.
【知识点】有理数的乘法分配律逆用.
【解题过程】解：原式=(﹣3.2﹣6.8)×
=﹣10×
=﹣3.
【思维点拨】使用乘法分配律，先提取公因数，再进行计算.
【答案】﹣3
练习：
， (2)
(3)， (4)
【知识点】有理数的乘法运算律的运用.
【解题过程】(1)解：原式= ==
(2)= ==25
(3) = =15
(4) = ==
【思维点拨】(1)可用乘法结合律，先算后面两个因数，(2)运用乘法分配律，(3)运用乘法交换律， (4)乘法分配律的逆运算.
【答案】(1)－8500 ；(2)25； (3)15 ；(4).
3.课堂总结
知识梳理
乘法的三个运算律的用字母表示为ab=ba，，
运算律的灵活运用关键是分析清楚算式的结构，确定运算顺序.
有时候运算律逆用，也可以使得计算更加简单.
重难点归纳
认清算式的结构，确定运算顺序.
灵活选取适当的方法和运算律，使计算更为简化.
(三)课后作业：
基础型 自主突破
1.(1﹣+)×(﹣24).
【知识点】有理数的乘法.
【解题过程】解：原式=﹣24+×24﹣×24=﹣24+9﹣14=﹣29.
【思维点拨】根据乘法分配律，可简便运算，根据有理数的加法运算，可得答案.
【答案】﹣29.
2.计算：﹣0.75×(﹣0.4 )×1；
【知识点】有理数的乘法.
【解题过程】原式=××=.
【思维点拨】根据有理数的乘法，即可解答.
【答案】
3.
【知识点】有理数的乘法分配律.
【解题过程】解：原式=
=
=20+15﹣12+28
=51
【思维点拨】应用乘法分配律，求出算式的值是多少即可.
【答案】51.
4.计算：.
【知识点】有理数的乘法.
【解题过程】解：原式==25×(﹣)=﹣5.
【思维点拨】根据有理数的乘法，应用乘法的分配律，即可解答.
【答案】﹣5.
5.计算：.
【知识点】有理数的乘法.
【解题过程】原式==﹣×7=﹣27.
【思维点拨】逆用乘法的分配律进行简便计算即可.
【答案】﹣27.
6.
【知识点】有理数的乘法分配律逆用.
【解题过程】解：(1)
=
=
=﹣13×1﹣1×0.34
=﹣13﹣0.34
=﹣13.34
【思维点拨】首先应用乘法交换律，把化成，然后应用乘法分配律，求出算式的值是多少即可.
【答案】﹣13.34.
能力型 师生共研
1.计算.
【知识点】有理数的乘法.
【解题过程】解：原式===4﹣30+27=1.
【思路点拨】先运算(﹣2)×(﹣18)，然后再运用乘法分配律进行计算即可.
【答案】1.
2.若x=123456789×123456786，y=123456788×123456787，则x y (填＞，＜或=)
【知识点】有理数的乘法.
【解题过程】解：∵x﹣y=123456789×123456786﹣123456788×123456787
=(123456788+1)×123456786﹣123456788×(123456786+1)
=123456788×123456786+123456786﹣123456788×123456786﹣123456788
=﹣2＜0，
∴x＜y，
【思路点拨】根据有理数的乘法法则求出x﹣y的值，比较即可.
【答案】答案为：＜.
探究型 多维突破
1.比较下列算式结果的大小，并用“＞”、“＜”或“=”填空．
52+72 2×5×7；
92+102 2×9×10；
132+142 2×13×14；
52+52 2×5×5；
122+122 2×12×12．
通过观察和归纳，你有什么发现？
【知识点】有理数的乘法，有理数的大小比较，有理数的加法.
【解题过程】解：52+72＞2×5×7；
92+102＞2×9×10；
132+142＜2×13×14；
52+52＞2×5×5；
122+122＜2×12×12．
发现：当3个因数中后面两个因数的积大于前面两个加数的和的平均数时，积较大；当3个因数中后面两个因数的积小于前面两个加数的和的平均数时，积较小．
【思路点拨】先求出算式的结果，再比较大小，通过观察和归纳得到发现即可求解.
【答案】＞；＞；＜；＞；＜.
2.阅读理解：
计算×﹣×时，若把与分别各看着一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度.过程如下：
解：设为A，为B，
则原式=B(1+A)﹣A(1+B)=B+AB﹣A﹣AB=B﹣A=.请用上面方法计算：
（1）×－×
（2）×－×.
【知识点】有理数的乘法.
【数学思想】整体思想.
【解题过程】解：(1)设为A，为B，
原式=(1+A)B﹣(1+B)A=B+AB﹣A﹣AB=B﹣A=；
(2)设为A，为B，
原式=(1+A)B﹣(1+B)A=B+AB﹣A﹣AB=B﹣A=.
【思路点拨】(1)根据题意设为A，为B，原式变形后计算即可求出值；(2)根据题意设为A，为B，原式变形后计算即可求出值.本题体现中的整体思想可以简化运算.
【答案】（1）；（2）.
自助餐 自我拓展
1.计算的结果为( )
A.﹣7 B.7 C.﹣13 D.13
【知识点】有理数的乘法.
【解题过程】 解：==10+3=13.
【思路点拨】 利用乘法的分配律，即可解答，注意符号问题.
【答案】D.
2.下列计算中，错误的是( )
A.(﹣6)×(﹣5)×(﹣3)×(﹣2)=180 B.=﹣6+4+12=10
C.(﹣15)×(﹣4)×(+)×(﹣)=6 D.﹣3×(﹣5)﹣3×(﹣1)﹣(﹣3)×2=24
【知识点】有理数的乘法.
【解题过程】
解：A.(﹣6)×(﹣5)×(﹣3)×(﹣2)=180正确，故不选本选项；
B.(﹣36)×(﹣﹣)=×(﹣36)﹣×(﹣36)﹣×(﹣36)=﹣6+4+12=10，正确，故不选本选项；
C.(﹣15)×(﹣4)×(+)×(﹣)=﹣15×4××=﹣6，故选本选项；
D.﹣3×(﹣5)﹣3×(﹣1)﹣(﹣3)×2=15+3+6=24，正确，故不选本选项.
【思路点拨】 根据有理数的乘法运算法则和乘法分配律对各选项分别进行计算，再利用排除法求解.
【答案】 C.
3.计算：﹣99×18= .
【知识点】有理数的乘法.
【解题过程】 解：原式=(﹣100+)×18=﹣100×18+×18=﹣1800+1=﹣1799.
【思路点拨】 首先把﹣99变为﹣100+，再用乘法分配律进行计算即可.
【答案】答案为：﹣1799.
4.已知，99999×11=1099989，99999×12=1199988，99999×13=1299987，99999×14=1399986，那么，99999×20= .
【知识点】 有理数的乘法.
【解题过程】 解：99999×20=200000﹣20=1999980.
【思路点拨】 观察规律，利用规律即可解决问题.
【答案】1999980.
5.探究与发现：两数之间有时很默契，请你观察下面的一组等式：
(﹣1)×=(﹣1)+；(﹣2)×=(﹣2)+；(﹣3)×=(﹣3)+；…
你能按此等式的规律，再写出符合这个规律的一个等式吗？ .
【知识点】有理数的乘法.
【解题过程】 解：观察上述算式发现：各算式中第二个因数的分子与第一个因数互为相反数，分母比分子大1.
符合上述规律的一个算式可知是；(﹣4)×=(﹣4)+.
【思路点拨】 观察上述算式，注意分步找规律，从分子、分母、带分数的整数部分观察规律，然后根据规律写出一个算式即可.
【答案】(﹣4)×=(﹣4)+(答案不唯一).
6.将2010减去它的，再减去余下的，再减去余下的，…，以此类推，直至减去余下的，最后的得数是多少？
【知识点】有理数的乘法.
【解题过程】 解：根据题意得：2010×(1﹣)×(1﹣)×…×(1﹣)
=2010×××…×=1.
【思路点拨】 本题不要做减法，而是做乘法：2010减去它的，剩下，再减去余下的，剩下，以此类推即可解答.
【答案】1.