2023-2024学年福建省龙岩市高一（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年福建省龙岩市高一（上）期末数学试卷，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
8．解：函数，当时，，当时，，
而，即有，依题意 ，又，则有，
当时，函数在上的取值集合为，不符合题意，
于是，函数在上单调递增，
则，有，因此，
所以实数的取值范围是.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
12．解：因为，所以的图象关于点对称，
又对任意，都有，所以当时，取得最大值.
因为在是单调函数，所以得，
所以，又因为函数在时取得最大值，
所以．
因为，所以，则.
因为函数，所以，
A．为奇函数，故A错误.
B. 函数在时取得最大值，又因为，周期，
所以时，函数在取得最大值，
则实数的取值范围为，故B正确．
C．，且，故C正确.
D．若的图象关于直线对称，
只要证对定义域内的都成立，取，，
但 所以，矛盾，
所以的图象不关于直线对称. 故D错误．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（写出或的其中一个值即可）
14．5
15． 或
16．
解：当时，，
当时，，可得，则；
当时，，则.
函数的定义域为，令时，，
得，所以函数是奇函数.
令得，，
又函数是奇函数，所以，所以.
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（本题满分10分）
解：选条件①：因为的终边与单位圆的交点为，
可得为锐角，所以，1分
所以由三角函数的定义可得. 2分
选条件②：
因为为锐角，所以；
1分
又因为，得.2分
选条件③：因为，，
所以得
又因为锐角，所以， 1分
2分
（1） 4分
. 5分
（2），
.7分
，. 10分
18．（本题满分12分）
解：（1）在中，，所以. 2分
又因为，所以函数的对称轴，
解得：，4分
所以. 6分
（2）由（1）得，
若对于，不等式恒成立，
即对恒成立.
又因为，
令，
则在单调递增，8分
只需，
所以，10分
所以的取值范围是. 12分
19．（本题满分12分）
解：（1）∵，依题意得：当时，；当时，，
∴，2分
即，所以， 4分
那么10小时后的污染物含量为，
故10小时后还剩81％的污染物. 6分
（2）令，得. = 1 \* GB3 ① 8分
又，得. = 2 \* GB3 ② 10分
由 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②得.
故污染物减少50%需要花33小时. 12分
20．（本题满分12分）
解：（1）因为是偶函数，所以对于任意的实数，有，
所以对任意的实数恒成立，2分
即恒成立，5分
所以，即. 6分
（2）因为在上单调递增，
所以时，，7分
时，. 8分
又因为对任意，总存在使得，
所以的值域是值域的子集，
即，9分
解得：，11分
所以实数的取值范围为. 12分
21.（本题满分12分）
解:（1）…1分
3分
因为函数最小正周期与函数相同,且函数的周期为,所以.又因为函数的图象关于直线对称,所以,
因为,所以,
所以.4分
由,
所以函数的单调递减区间是 6分
（2）证明:①当时，函数
在(0,2]上单调递增，因为7分
所以根据零点存在定理，使得
故在上有且只有一个零点. 8分
②当时,因为单调递增，单调递减，
9分
= 3 \* GB3 ③当时, 因为单调递增，

所以，
综上：有且只有一个零点，且. 10分
因为，
所以，
在上单调递减， 11分
，. 12分
22. （本题满分12分）
解：（1）任取，则，1分
，3分
因为函数在上为增函数，且时，，
所以由可得,即，4分
，，则，，
因此，实数的取值范围是. 5分
（2）当时，.
令，
因为在上单调递减，又在定义域上单调递增，所以在上单调递减，6分
因为在区间上的值域为
，
所以
即. 8分
令（因为，所以），
易知，关于的方程在上有两个不等实数根，
等价于关于的方程在有两个不等实数根，
（时，，）10分
令，
则，解得，
所以的取值范围是. 12分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
D
B
C
C
D
A
题号
9
10
11
12
答案
BD
ABD
ACD
BC