2023-2024学年江苏省盐城市大丰区五校高二（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年江苏省盐城市大丰区五校高二（上）期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，已知函数的导数为，若，则等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：苏教版选择性必修第一册，选择性必修第二册第六章6.1～6.2。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．在等差数列中，，则（ ）
A．70B．60C．50D．40
3．以点A（1,2）为圆心，两平行线与之间的距离为半径的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．设是等差数列的前n项和，已知，，则（ ）
A．16B．18C．20D．22
5．两圆与的公切线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
6．已知函数的导数为，若，则（ ）
A．26B．12C．8D．2
7．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M，A，B，C共面的是（ ）
A．B．
C．D．
8．若存在k，，使得直线与，的图象均相切，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－∞,－1]B．（－∞,1]C．[－1,＋∞）D．[1,＋∞）
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在等比数列中，，，则的公比可能为（ ）
A．－1B．－2C．2D．4
10．关于双曲线与双曲线，下列说法不正确的是（ ）
A．实轴长相等B．离心率相等
C．焦距相等D．焦点到渐近线的距离相等
11．已知函数，则（ ）
A．的极值点为B．的极大值为
C．的最大值为D．只有1个零点
12．已知抛物线的焦点坐标为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，点在抛物线上，则（ ）
A．B．当轴时，
C．为定值1D．若，则直线AB的斜率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，，且，则实数m＝______．
14．设两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则______．
15．已知函数，若在上单调递增，则实数a的取值范围是______．
16．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，过椭圆左焦点的直线与椭圆C相交于P，Q两点，，，则椭圆C的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知点A（－2,2），B（6,4），H（5,2），H是的垂心．
（1）求点C的坐标；
（2）求的外接圆的方程．
18．（本小题满分12分）
已知椭圆的长轴长为4，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）倾斜角为45°的直线l过椭圆的左焦点并交椭圆于M，N两点（O为坐标原点），求的面积．
19．（本小题满分12分）
在数列中，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
20．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若的图象在点处的切线经过点（0,0），求；
（2），为的极值点，若，求实数a的取值范围．
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线C上．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若点M在直线上，点N在双曲线C上，且焦点F在以线段MN为直径的圆上，分别记直线MN，ON的斜率为，，求的值．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若m为函数的正零点，证明：．
高二年级2023～2024学年度第一学期期末考试·数学
参考答案、提示及评分细则
1．A ∵，∴其倾斜角为．故选A．
2．D 由题意有，得．
3．B ∵平行线间的距离为，
∴，∴圆的方程为，故选B．
4．B 由等差数列前n项和的性质可知，，，，…，成等差数列，所以，得，则，所以．
5．B 圆的圆心为（2，－1），半径为2，圆的圆心为（－2，2），半径为4，∴圆心距．又，∴两圆相交，∴公切线只有2条．
6．D 因为，所以，
解得，所以，故．故选：D．
7．D 设，若点M与点A，B，C共面，则，故选D．
8．C 设，图象上的切点分别为，，则过这两点处的切线方程分别为，，则，，所以，设，，，，则在（－∞,1）上单调递减，在（1,＋∞）上单调递增，所以．故选C．
9．BC 设的公比为q，所以，，解得或．故选BC．
10．ABD 双曲线的每个量都是确定的，双曲线的实轴长、离心率、虚轴长都与t有关，它们的焦距相同，都为．
11．BCD 因为，且，所以当时，为增函数，
当时，为减函数，所以e为函数的极大值点，
为的极大值，且为的最大值，所以A不正确，BC正确；
因为，且当时，，当时，，
所以D正确．故选：BCD．
12．BCD 对于选项A，将点代入抛物线方程，可得，故选项A错误；
对于选项B，焦点F（0,1），点（2,1）在抛物线上，可得，故选项B正确；
对于选项C，设点A，B的坐标分别为，，直线AB的方程为，联立方程消去y后整理为，可得，，，，，，有，故选项C正确；
对于选项D，有，可得有解得，故选项D正确．
13． ，，因为，所以，解得．
14． 由题意可得．
15． 由题意，在[e,＋∞）上恒成立，
即在[e,＋∞）上恒成立，令，
在[e,＋∞）上恒成立，所以在[e,＋∞）上单调遵增，，所以，解得．即实数a的取值范围是．
16． 设椭圆C的焦距为2c，，，有，，，在中，由余弦定理有，有，可得，，，有，在中，由余弦定理有，可得．
17．解：（1）设C点坐标为（x,y），∵，
∴不存在，即，∵，
∴，∴，∴点C的坐标为（6,－2）；
（2）设的外接圆方程为，
则的外接圆的方程为．
18．解：（1）根据题意得
∴椭圆C的标准方程为；
（2）直线l的倾斜角为45°，可得斜率，左焦点为（－1,0），l的方程为，
直线与椭圆联立
设，，
，
O到MN的距离，．
19．解：（1）因为，
所以，又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
，，；
（2）由（1）可知，
，
所以．
20．解：（1）∵，
∴在处的切线为，
即，经过点（0,0），
∴，∴或；
（2）又由，可得，
∴
，解得．
由上知，∴．
21．解：（1）由双曲线C的一条渐近线的倾斜角为，有，可得，
又由点A在双曲线C上，代入双曲线C的方程，有，
联立方程解得
故双曲线C的标准方程为；
（2）设点M的坐标为，设点N的坐标为（m,n），
由点N在双曲线C上，有，
又由点F在以线段MN为直径的圆上，可得，
由F（2，0），有，，有，可得，
又由，
，有，故的值为．
22．（1）解：函数的定义域为（－1,＋∞）．
，
①当即时，，函数单调递增，增区间为（－1,＋∞），没有减区间；
②当时，由，，可得函数的减区间为，
增区间为；
③当时，由，，可得函数的减区间为，增区间为；
（2）证明：当时，由及函数的减区间为，增区间为，可知等价于．
又由，等价于证明，
又由，
令，有，
可得
，
令，有，
可得函数单调递减，有，可得当时，．
故有，可得得证．