2023-2024学年江西省宜春市高三（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年江西省宜春市高三（上）期末数学试卷，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则的最小值为（ ）
A．6B．8C．9D．10
3．加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，W区心理协会派遣具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有（ ）种
A．90B．125C．180D．243
4．表示不超过的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．
5．抛物线C：的焦点为F，其准线与x轴的交点为K，P为准线上一点，线段PF与抛物线交于M点，若是斜边长为的等腰直角三角形，则（ ）
A．B．
C．D．
6．在平面直角坐标系中，点，，，是圆上一点，是边上一点，则的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线的左、右顶点分别为为的右焦点，的离心率为2，若为右支上一点，，记，则（ ）
A．B．1C．D．2
二、多选题（20分）
9．下列关于概率统计说法中正确的是（ ）
A．两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱
B．设随机变量，若，则
C．在回归分析中，为0.89的模型比为0.98的模型拟合得更好
D．某人解答10个问题，答对题数为，则
10．已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（ ）
A．的图象关于点对称B．
C．D．若，则
11．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点（在第一象限），为坐标原点，若，则（ ）
A．B．直线的斜率是
C．线段的中点到轴的距离是D．的面积是
12．在三棱锥中，平面为内的一个动点（包括边界），与平面所成的角为，则（ ）
A．的最小值为B．的最大值为
C．有且仅有一个点，使得D．所有满足条件的线段形成的曲面面积为
三、填空题（20分）
13．的展开式中的系数是 （用数字作答）．
14．函数的图象在处的切线与坐标轴所围成的图形的面积为 .
15．若关于x的方程在区间上至少有两个不同的实根，则实数a的取值范围是 ．
16．已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为 .
四、解答题（70分）
17．在中，角所对的边分别是，已知，为在方向上的投影向量．
(1)求；
(2)若，求的周长的取值范围．
18．设为数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，证明：．
19．如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，．

(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在一点H，使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由．
20．某连锁餐饮公司为了解顾客的用餐体验，要求各分公司对本地顾客进行了大量的电话访谈，并邀请顾客对用餐体验评分，分值设定范围为0~100分.其中北京、太原分公司针对本地顾客的访谈结果及评分进行了统计分析，得到如下评分的频率分布表：
请根据上述信息，回答下列问题：
(1)若两个分公司分别访谈了500位顾客，设评分为70分以上的为评价满意，否则记作评价不满意，请填写下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析评价满意与否和分公司所在地是否有关联；
(2)现太原分公司邀请了2位评价满意和2位评价不满意的本地顾客，北京分公司从大量的本地受访顾客中随机邀请了3位，这7位顾客受邀参加总公司的试餐活动.活动后，总公司又从这两个分公司邀请的顾客中各随机邀请了2位顾客作为顾问.设这4位顾问中原评价为满意的人数为，求的分布列.
附：，其中.
21．已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若有两个不同的零点，且，求实数的取值范围．
22．已知，M为平面上一动点，且满足，记动点M的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)若，过点的动直线交曲线E于P，Q（不同于A，B）两点，直线AP与直线BQ的斜率分别记为，，求证：为定值，并求出定值.
江西省宜春市宜丰县宜丰中学2023-2024学年高三上学期期末数学参考答案
1．A 2．C 3．A 4．B 5．D
6．B【详解】解：设，则，所以，
因为，所以当，即点与点重合时，有最大值，所以问题转化为在圆上，求的最大值，
因为点在圆上，设点所在的直线为，因为直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离不大于半径，即，所以，解得，即，
所以，所以的最大值是12，故选：B
7．A【详解】设，，则，则在单调递增，故，即，则，且.，且所以，
则；因为，则，则，
所以，由，则，即.
所以.故选：A
8．A【详解】设的焦距为，点，由的离心率为2可知，因为，所以，将代入的方程得，即，所以，故．故选:A．
9．BD 10．ABD
11．ACD【详解】由题意可得直线的斜率不为0，则可设直线，联立整理得，则，因为，所以，所以，所以，所以，则，即，解得，因为，所以，解得，则A正确；对于B，因为，所以，则直线的斜率是，因为点在第一象限，所以直线的斜率大于0，所以直线的斜率是，则B错误；对于C，设线段的中点为，则，即线段的中点到轴的距离是，则C正确；对于D，因为，所以，则的面积，故D正确.故选：ACD.
12．ACD【详解】因为平面，平面，所以，
又，所以，取的中点，则，所以平面，过作于，因为平面，所以，又平面，所以平面，所以为与平面所成的角的平面角（或补角），因为平面，平面，则，又在中，，则，所以，
因为，所以，，所以点轨迹是以为圆心，以为半径的圆在内部的一部分，如图，所以的最小值为，故正确；由于轨迹圆部分在平面外部，所以的最大值不等于，故B错误；因为平面，平面，所以，若，则点在线段上，有且仅有一个点满足题意，故C正确；动线段形成的曲面为圆锥侧面积的一部分，易知三棱锥是正三棱锥，平面，故为等边的中心，所以，
因为，所以，因为，所以曲面面积为圆锥侧面面积的，圆锥侧面积为，所以所有满足条件的动线段形成的曲面面积为，故D正确.故选：ACD.
13． 14．1
15．【详解】因为，
.
所以由得，
即.当时，无解，即.下面讨论方程，在上至少有一个实根的情况：因为原方程在区间上至少有两个不同的实根，所以，得且方程，在上至少有一个实根.
令，则.当时，，方程不成立；当时.
令，易知在上单调递减，得，
在上也单调递减，得，所以，使得方程在上至少有一个实根要满足，在上至少有一个实根要满足.综上所述，方程在区间上至少有两个不同的实根，则实数a的取值范围是.故答案为：.
16．【详解】设，则.显然当靠近右顶点时，，所以存在点使等价于，在中由余弦定理得，即，解得 ，同理可得，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立.由得，所以.
17．(1) (2)
【详解】（1）由为在方向上的投影向量知，，所以，
由正弦定理得，又，所以，又．所以；
（2）由正弦定理得．所以
，因为，所以，所以，所以，所以，故的周长的取值范围是．
18．【详解】（1）当时，，当时，，
两式相减得，则，当时，，
又当时，，当时，，则，显然符合，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，所以.
19．【详解】（1）连接交于M，，，，，
，，又平面，平面，平面．
（2）设线段上存在一点H，使得与平面所成角的余弦值为，即与平面所成角的正弦值为，设，取中点O，连接，，侧面底面，侧面底面，侧面，
底面，∵，，
以O为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，
则，设平面的一个法向量为，
则令，则，∴平面的一个法向量为，又，，又，，设与平面所成角，则，整理得，解得或，当时，，当时，
故在线段上存在一点H，使得与平面所成角的余弦值为，或
20．【详解】（1）由题意及表格得，北京分公司顾客用餐体验评价满意的有人，则不满足的有人，太原分公司顾客用餐体验评价满意的有人，则不满足的有人，填写列联表如下：零假设为：评价满意与否和分公司所在地相互独立，即两个分公司的评价满意没有差异.根据列联表中的数据，经计算得到：，根据小概率值的独立性检验，有充分证据推断不成立，所以认为评价满意与否和分公司所在地有关联.
（2）由题意及（1）得，所有可能的取值为0，1，2，3，4.；；；
；所以的分布列如下：
21．【详解】（1）的定义域为，令，得，令，则，
令，可得，当时，；当时，．所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以，所以．
（2），两式相减，得．令，则，故，记，则，构造函数，，所以在上递减，由于，所以当时，，所以，
所以函数在区间上单调递减，故，即，而，在区间上单调递减，故，即．
22．【详解】（1）由题可知，则的轨迹是实轴长为，焦点为即的双曲线的右支，则，所以曲线的方程为：(或).
（2）由题可知过点的动直线斜率存在且不为，则设斜率为，
所以直线的方程为：，设，，
联立 ，可得，
则 ，可得，即或，
则
，所以为定值，定值为.北京分公司顾客用餐体验评分统计
分值区间
频率
0.01
0.04
0.05
0.2
0.1
0.15
0.25
0.1
0.05
0.05
太原分公司顾客用餐体验评分统计
分值区间
频率
0.01
0.01
0.02
0.06
0.1
0.2
0.2
0.25
0.1
0.05
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合计
北京
太原
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
评价满意
评价不满意
合计
北京
100
400
500
太原
200
300
500
合计
300
700
1000
0
1
2
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4
P