2023-2024学年湖南省长沙市天心区高一（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市天心区高一（上）期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
★1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．设，则“，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
★3．在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，它的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在平行四边形ABCD中，，，E是CD边上一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．若函数（，且）的图象过点，则函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，，若命题“或”为真命题，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（ ）
A．B．C．9D．27
8．若且，则可以记；若且，则可以记．实数，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集是
10．设正整数满足，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数，函数的图象由图象向右平移个单位长度得到，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增D．在上单调递减
12．定义在上的函数满足，为偶函数，，函数满足，若与恰有2023个交点，从左到右依次为，，…，，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数B．2为的一个周期
C．D．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知幂函数的图象过点，则______．
14．已知向量，满足，，则______．
15．若，则的值为______．
16．已知，分别是函数与的零点，若，则的取值范围为______．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
★17．（本小题满分10分）
（1）；
（2）．
18．（本小题满分12分）
解下列不等式：
（1）；
（2）．
★19．（本小题满分12分）
如图，一个半径为3m的筒车按逆时针反向每分转圈，筒车的轴心距离水面的高度为m．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系为．
（1）求的值；
（2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可到达最高点？
20．（本小题满分12分）
已知函数的最小正周期为，
（1）求函数的单调递增区间；
（2）设，求不等式的解集．
21．（本小题满分12分）
已知函数，对于任意的，都有，当时，，且．
（1）判断的奇偶性和单调性；
（2）设函数，若方程有4个不同的解，求的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知函数是偶函数．
（1）求的值；
（2）设函数，若不等式对任意的恒成立．求实数的取值范围；
（3）设，当为何值时，关于的方程有实根？
长郡中学2023年下学期高一期末考试
数学参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
6．B【解析】当时，，由于题中条件可得，对恒成立，
当时，显然不符合条件；
当时，的2个根为，，
和大前提取交集结果为，故答案为B．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．AD【解析】由关于的不等式解集为，知和2是方程的两个实根，且，故A正确；
根据根与系数的关系知：，，
∴，，，
选项B：不等式化简为，解得：，故B不正确；
选项C：，故C不正确；
选型D：不等式化简为：解得：，故D正确；故选AD．
10．BCD【解析】对于A选项，，
当且仅当时取得等号，故A错误；
对于B选项，，故，
当且仅当时去得等号，故B正确；
对于C选项，，∴，
当且仅当时取得等号，故C正确；
对于D选项，，
当且仅当时取得等号成立，故D正确；故选BCD．
11．ABC【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，
所得图象对应的函数为，
对于A，当，可得，正确；
对于B，当时，，正确；
对于C，当时，，递增，故正确；
对于D，当时，，递增，故错误，故选ABC．
12．ACD【解析】为偶函数，则函数的图象关于直线对称，
，则函数的图象关于点对称，
即．
A选项，令，则，即，所以为奇函数，A正确；
B选项，，所以函数是周期函数，4为其一个周期，
，，显然，故B错误；
C选项，，所以函数的图象关于直线对称，因此函数与的交点也关于对称，则，故C正确；
D选项，，故D正确．故选ACD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．414．15．
16．
【解析】分别为、与图象交点的横坐标，
而与的图象关于直线对称，如图所示：
∴，∴
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【解析】（1）原式，
（2）原式．
18．【解析】（1）不等式，移项得，通分得，
可转化为，且，
解得，不等式解集为．
（2）令
当时，，解得，即；
当时，，解得，即；
当时，，解得，即；
综上所述，不等式解集为．
19．【解析】（1）依题意，设函数表达式为，
水轮半径为3m，所以振幅，
水轮每分钟按逆时针方向转动圈，故角速度为，
水轮上点从水中浮现时开始计时，所以，
且，解得，
所以函数表达式为，
故，，，；
（2）令，可得（s）．
∴盛水筒出水后至少约15s就可到达最高点．
20．【解析】（1）由题意，函数，
因为的最小正周期，所以，所以函数，
令，解得，
所以函数单调递增区间为；
（2）令，所以，
所以，解得，
因为，当时，，当时，，
所以原不等式的解集为．
21．【解析】（1）令，代入可得，
令，代入，可得，
所以，可得函数为奇函数；
任取，且，，
因为，即，
令，，则，可得，
又因为时，，且，所以，
所以，即，所以函数是上的减函数．
（2），即，
所以
，
令，即，
因为函数是上的减函数，所以，即，
令则函数的图象，如图所示，
结合图象，可得：当时，函数有4个零点，
即实数的取值范围为．
22．【解析】（1）由函数是定义域在上的偶函数，
则对于，都有，即，
即对于，都有，得．
（2）结合（1）可得，
则，
令，
由在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，得，
则不等式对任意的恒成立等价于在上恒成立，
所以即可，
又，
由对勾函数的性质可得当时，取得最小值，
所以的最小值为，即，
所以实数的取值范围为．
（3）令，，由对勾函数的性质可得当时，取得最小值2，
所以，则，
令，则，
则原问题转化为关于的方程的根的个数，
对于有解，令，则表示开口向上的抛物线，
，
①当时，或，此时对称轴，
函数在有唯一零点；
②当且在有唯一零点时，
，可得：或；
③当在有两个不相等零点时，
可得：．
综上：或．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
D
B
B
A
B
题号
9
10
11
12
答案
AD
BCD
ABC
ACD