广西壮族自治区防城港市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份广西壮族自治区防城港市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.命题“，”的否定为（ ）
A.，B.，
C.，D.，
3.对于函数，“的图象关于轴对称”是“是偶函数”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知实数，，，若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A.B.C.D.
5.若，则（ ）
A.B.C.D.
6.函数的图象大致是（ ）
A.B.C.D.
7.若正实数，满足，则下列说法错误的是（ ）
A.有最大值为B.有最小值为
C.有最小值为D.有最大值为
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A.B.C.D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是（ ）
A.已知，则；
B.已知，则；
C.已知一次函数满足，则；
D.定义在上的函数满足，则
10.定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有（ ）
A.B.
C.D.（表示不大于的最大整数）
11.已知函数，则（ ）
A.B.
C.D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.________.
13.设函数，若，则的值________.
14.函数在区间上的值域为，则的取值范围是________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（本小题13分）已知集合，集合.
（1）若是成立的必要不充分条件，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
16.（本小题15分）销售甲、乙两种商品所得利润分别是，万元，它们与投入资金万元的关系分别为，（其中，，都为常数），函数，对应的曲线，如图所示.
（1）求函数与的解析式；
（2）若该商场一共投资10万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值.
17.（本小题15分）定义域为的函数是函数.
（1）求实数，的值：
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
18.（本小题17分）已知关于的不等式.
（1）若的解集为，求实数，的值；
（2）求关于的不等式的解集.
19.（本小题17分）若函数满足，则称函数为“倒函数”.
（1）判断函数和是否为“倒函数”（不必说明理由）；
（2）若为“倒函数”，求实数，的值；
（3）若（恒为正数），其中是偶函数，是奇函数，求证：是“倒函数”.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查交集运算、利用指数函数的单调性解不等式，属于基础题.
化简集合，，利用交集的概念，即可求出结果.
【解答】
解：因为，
，
所以.
故选B.
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查命题的否定，全称量词命题与存在量词命题的否定关系，是基础题.
直接利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可.
【解答】
解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“，”的否定是命题：，.
故选C.
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查偶函数的定义、判断一个命题是另一个命题的条件问题常用判断是否相互推出，利用条件的定义得到结论，是中档题。
通过举反例判断出前面的命题推不出后面的命题；利用偶函数的定义，后面的命题能推出前面的命题；利用充要条件的定义得到结论。
【解答】
解：例如满足的图象关于轴对称，但不是偶函数，
“的图象关于轴对称”推不出“是偶函数”，
“是偶函数”，，
，为偶函数
“的图象关于轴对称”，
“的图象关于轴对称”是“是偶函数”的必要而不充分条件.
故选：B.
4.【答案】D
【解析】解：由题知，
不妨取，，，
则有，，
故选项A，B错误；
关于选项C，
不妨取，，，，
故选项C错误；
关于选项D，，，，
故选项D正确.
故选：D.
由不妨取特殊值将选项A，B，C排除，关于D，由，即有，取倒数即可证明选项正误.
本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了指数函数的性质，由，，，，均大于0.通过作商法结合指数函数的性质比较大小.
【解答】
解：，.
，，均大于0.
，，，，
即.
，，，，
即..
故选C.
6.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了函数定义域与值域，函数的奇偶性，函数图象的应用和指数函数、对数函数与幂函数模型，属于基础题.
利用函数定义域与值域得，排除B，再利用偶函数图象的特征，结合特例，排除C，当近于正无穷时，趋近近于0，排除D，从而得结论.
【解答】解：因为函数的定义域为，
所以，因此排除B；
又因为，，即，
所以函数不是偶函数，因此排除C；
当时，，
当近于正无穷时，和都当近于正无穷，
但是增大的速度大于增大的速度，
所以当趋近于0，因此排除D.
故选A.
7.【答案】D
【解析】解：，，，
当且仅当，即，时取等号，A正确；
，
当且仅当，即，时取等号，故B正确；
，，
当且仅当，即，时取等号，故C正确；
，
当且仅当，即，时取等号，这与，均为正实数矛盾，故D错误.
故选：D.
利用基本不等式求最值逐一分析即可.
本题考查了基本不等式的应用，属于中档题.
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数模型的应用，属于中档题.
根据题意，由得到求解.
【解答】
解：，
，，（舍）.
，
所以.
故选：A.
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查了函数的解析式，是基础题.
根据函数解析式的求法逐一判定即可.
【解答】
解：A选项，，所以A选项正确；
对于B，，
由，可得，
所以，B选项正确；
对于C，设，
则，
所以，解得或，
所以或，所以C选项不正确；
对于D，由可得，
所以由可得，D选项正确.
故选ABD.
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查函数的新定义，指数函数的值域，属于中档题.
根据已知的新定义，逐项判断是否存在常数，对任意，都有成立即可.
【解答】
解：对于A，，当时，，
当时，，当且仅当，即时等号成立，
即对于任意，，
所以存在常数，使得成立，故为有界函数；
对于B，当时，由指数函数的性质可知可以无穷大，
所以对于任意，不存在常数，使得成立，故不为有界函数；
对于C，当时，由指数函数的性质可知可以无穷大，所以可以无穷小，所以不存在常数，使得成立，故不为有界函数；
对于D，当时，，则，
所以存在常数，使得成立，故为有界函数.
故选AD
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查指数函数的性质，基本不等式的应用，属于中档题.
根据指数的运算性质和指数函数的单调性对各命题进行逐一判定即可.
【解答】
解：A、，故A正确；
B、，故B不正确；
C、C选项，，因为，函数单调递增，故，则，故C选项正确；
D选项，，，因为，根据均值不等式得，即，故D选项正确.
故选ACD.
12.【答案】1
【解析】【分析】
本题主要考查指数幂运算的应用，熟悉对数的运算法则是解答本题的关键，属于基础题.
利用指对数的运算法则进行运算可得结果.
【解答】
解：原式，
故答案为1.
13.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查分段函数的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题.
分段得关于的方程，解方程可得的值.
【解答】
解：当时，，得，舍去；
当时，，得，符合要求.
故答案为3.
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查由函数的值域求参，考查学生推理能力与计算能力，属于基础题.
利用条件计算出和，再对的单调性进行讨论，得到的取值范围.
【解答】
解：解方程，
解得或，
解方程，解得，
由于函数在区间上的值域为.
若函数在区间上单调，
则或，
此时取得最小值2；
若函数在区间上不单调，且当取最大值时，，
所以的最大值为4.
所以的取值范围是.
15.【答案】解：（1）由是成立的必要不充分条件，得集合真包含于集合，
则或，解得或，
所以的取值范围是.
（2）依题意，，由，得，
则，解得，
所以的取值范围是.
【解析】（1）利用必要不充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得.
（2）求出，结合已知可得，进而列式求解即可.
本题考查充分必要条件与集合间的关系，属于中档题.
16.【答案】解：（1）由题意，解得，，
，，
又由题意，得，.
（2）设销售甲商品投入资金万元，利润为万元，则乙投入万元，
由（1）得，，
令，，则有，
，，
当，即时，取最大值，
答：该商场所获利润的最大值为万元.
【解析】本题考查了函数模型的构建以及换元法、配方法求函数的最值，体现用数学知识解决实际问题，属于中档题.
（1）根据所给的图象知，列出关于，的方程组，解出，的值，同理解出的值，即可得到函数、的解析式；
（2）对甲种商品投资（万元），对乙种商品投资（万元），根据公式可得甲、乙两种商品的总利润（万元）关于的函数表达式；再利用配方法确定函数的对称轴，结合函数的定义域，即可求得总利润的最大值.
17.【答案】解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，则.
又因为而，
，
当，时，
，符合题意，
故，；
（2）由（1）知，
，在上单调递增，
则在上单调递减，
则在上为减函数，
又是奇函数，由得：
，
，即在上有解，
，
当且仅当，即时等号成立，
在上的最大值为－2，
，即，.
故实数的取值范围是.
【解析】本题考查函数的奇偶性、单调性以及不等式恒成立问题，属于一般题.
（1）由函数是定义在上的奇函数，可知，则可求出.再令，可求出，；
（2）由函数在上单调递减，可知不等式成立，即为在上有解，此而可求出答案.
18.【答案】解：（1）当时，
因为的解集为，
所以方程的两个根为，，
由根与系数关系得：，经验证，符合题意.
（2），
当时，不等式，不等式的解集为；
当时，不等式化为，不等式的解集为；
当时，方程的两个根分别为：，1.
①时，，故不等式的解集为；
②时，，不等式的解集为；
③时，，不等式的解集为.
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【解析】本题考查了一元二次不等式的解法，一元二次方程的根与系数的关系，分类讨论的数学思想.属于较难题.
（1）由已知得1与是方程的根，利用韦达定理，即可得解；
（2）因式分解得，讨论的正负以及1与的大小，即可得解.
19.【答案】解：（1）依题意，函数为“倒函数”，函数的定义域关于原点对称，函数的定义域为，显然－1在定义域内，而1不在定义域内，即不是“倒函数”，函数定义域为，而，即不是“倒函数”，所以函数和都不是“倒函数”.
（2）显然，函数的定义域关于原点对称，又是倒函数，于是得，则，又，解得，，所以实数、的值分别为，.
（3）证明：因为函数是偶函数，是奇函数，则它们的定义域必关于原点对称，依题意，的定义域是函数与定义域的交集，也必关于数0对称，因此，，所以是倒函数.
【解析】（1）求出函数定义域即可判断；利用给定定义计算判断即可作答.
（2）利用给定定义直接计算可得、的值.
（3）探讨的定义域，再利用给定的定义计算即可作答.
本题主要考查函数的新定义，属于中档题.