江苏省扬州市江都区2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题（Word版附解析）

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2024.11
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A. -2B. 1C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据两点斜率公式及斜率与倾斜角的关系求解即可.
【详解】经过两点的直线的斜率为，
又直线的倾斜角为，所以，解得.
故选：B.
2. 对于任意的实数，直线恒过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分离参数，联立方程组可得解.
【详解】直线，
即，
令，解得，
即直线恒过定点，
故选：B.
3. 双曲线的焦点坐标为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线方程及焦点坐标直接可得解.
【详解】由已知双曲线的焦点为，则
双曲线方程为，
则，
解得，
故选：A.
4. 已知圆：和圆：，则两圆的位置关系为（ ）
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得圆心和半径，进而可得，即可判断两圆位置关系.
【详解】圆：和圆：，
可知：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，
因为，即，
所以两圆的位置关系为相交.
故选：C.
5. 点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点.
【详解】由题意，
在直线中，斜率为，
垂直于直线且过点的直线方程为，即，
设两直线交点为，
由，解得：，
∴,
∴点关于直线的对称点的坐标为，
即，
故选：C.
6. 若双曲线经过点，且它两条渐近线方程是，则双曲线的方程是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由渐近线方程可设双曲线为且，再由点在双曲线上，将点代入求参数m，即可得双曲线方程.
【详解】由题设，可设双曲线为且，又在双曲线上，
所以，则双曲线的方程是.
故选：A
7. 直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线方程可得，根据圆的方程圆心到直线的距离为，进而可得点到直线的距离的取值范围和面积的取值范围.
【详解】由直线可知，则，
由圆可知圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，
设点到直线的距离为，
则，即，
所以面积.
故选：C.
8. 设椭圆（）的左焦点为，为坐标原点，过点且斜率为的直线与的一个交点为（点在轴上方），且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据可知，结合椭圆定义及斜率与倾斜角的关系可得，，结合勾股定理可得离心率.
【详解】
设椭圆右焦点为，连接，，
由，则为直角三角形，，
由已知直线的斜率为，
则，即，
又，则，，
在中由勾股定理得，
即，
整理可得离心率，
故选：C.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知直线：，：，则下列结论正确的是（ ）
A. 在轴上的截距为B. 若，则或
C. 若，则D. 若不经过第二象限，则
【答案】AD
【解析】
【分析】将化简得，根据截距的定义可判断A，结合一次函数的性质即可判断D；对于B：举反例说明即可；对于C：根据直线垂直的计算公式运算即可.
【详解】对AD，直线：，即，
所以在轴上的截距为，故A正确；
若不经过第二象限，则，解得，故D正确；
对B，当时，此时直线，
两条直线重合，故B错误；
对C，若，则，解得，故C错误；
故选：AD.
10. 已知圆：，点，则下列结论正确的是（ ）
A. 点在圆外
B. 圆上动点到点距离的最大值为
C. 过点作圆的切线，则切线方程为或
D. 过点作圆的切线，切点为A，，则直线的方程为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据方程可得圆心和半径.对于A：求PC，并与半径比较即可；对于B：根据圆的性质分析求解；对于C：分析讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式分析求解；对于D：可得其中一个切点2,1，根据可知直线的斜率，即可得方程.
【详解】圆：的圆心为，半径，
对于选项A：因为，可知点在圆外，故A正确；
对于选项B：圆上动点到点距离的最大值为，故B错误；
对于选项C：若直线的斜率不存在，此时直线方程为，
圆心到直线的距离为，符合题意；
若直线斜率存在，设直线方程为，即，
则，解得，所以直线方程为；
综上所述：切线方程为或，故C正确；
对于选项D：直线与圆切与点2,1，记为点A，且直线的斜率，
因为，可知直线的斜率，
所以直线方程为，即，故D错误；
故选：AC.
11. 如图，是椭圆：与双曲线：（，）在第一象限的交点，且，共焦点，，，的离心率为，则下列结论正确的是（ ）

A. ，B. 若双曲线的方程是，则
C. 若，则D. 的面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：根据椭圆、双曲线的定义运算求解即可；对于B：可得，结合选项A可得，，即可得结果；对于C：根据题意利用余弦定理分析可得，即可得离心率；对于D：根据余弦定理结合椭圆、双曲线的定义整理可得，进而可求面积.
【详解】对于选项A：由椭圆：可知，即，
双曲线：可知，
且点在第一象限，则，解得，故A正确；
对于选项B：若双曲线的方程是，则，
可得，，则，即，
所以，故B正确；
对于选项C：若，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，
所以，故C错误；
对于选项D：在中，由余弦定理可得，
结合椭圆定义可得，
即，整理可得，
结合双曲线的定义可得，
即，整理可得，
则，且为锐角，可得，
所以的面积为，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.）
12. 若方程表示圆，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据二元二次方程与圆的一般式方程之间的关系直接列式求解即可.
【详解】若方程表示圆，
则，即，可得，
所以实数取值范围为.
故答案为：.
13. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据平行，可得参数，再结合平行线间距离公式可得解.
【详解】由已知两直线平行，则，
解得，
则，即，
所以距离，
故答案为：.
14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据圆上点到定点的距离范围可知，即，
结合椭圆的定义可转化为，即可得解.
【详解】
由椭圆可知椭圆的实轴长，F1−1,0，F21,0，
圆的圆心，半径，
由已知圆上任意一点到得距离，
所以，
又根据椭圆定义，
则，
当且仅当，都在线段上时，等号成立，
故答案为：.
四、解答题（本大题共5小题，共计77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 在中，，，.
（1）求中，边上的中线所在直线的方程；
（2）求中，边上的高所在直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据中点坐标公式可得线段的中点为，利用两点式方程即可得结果；
（2）根据垂直关系可得高所在直线的斜率为，利用点斜式方程即可得结果.
【小问1详解】
由题意可知：线段的中点为，
则边上的中线所在直线的方程为，即.
【小问2详解】
由题意可知：直线的斜率，
则边上的高所在直线的斜率为，
所以所求直线的方程为，即.
16. 已知圆的圆心在直线上，且过，两点.
（1）求圆标准方程；
（2）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）易知圆心在的中垂线上，求得中垂线方程，联立两直线，可得圆心坐标，进而可得圆的方程；
（2）根据圆心与直线方程，结合垂径定理可列方程，解方程即可.
【小问1详解】
由，，则中点为，，
易知圆心在的中垂线上，且中垂线斜率，
则中垂线方程为，即，
联立，解得，
即圆心，
半径，
所以圆的方程为；
【小问2详解】
当直线斜率存在时，设直线，即，
圆心到直线的距离，
则弦长为，
解得，即直线；
当直线斜率不存在时，直线方程为，
此时圆心到直线的距离，弦长为成立；
综上所述，直线的方程为或.
17. 已知椭圆：（）经过点，焦距为，过点且斜率为1的直线与椭圆相交于，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的面积.
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】（1）根据焦距和点列式求，即可得椭圆方程；
（2）由题意可知：直线的方程，联立方程求点的坐标，即可得MN，以及点到直线的距离，即可得面积
【小问1详解】
因为焦距为，即，可得，
又因为点在椭圆：上，即，
联立方程，解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
由题意可知：直线，即，
联立方程，解得或，
不妨设，则，
且点到直线的距离，
所以的面积.
18. 在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，若点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）过点的直线（斜率存在且不为）与曲线相交于，两点.
①若的中点为，设直线和的斜率分别为，，求的值；
②满足，求直线方程.
【答案】（1）
（2）①；②或
【解析】
【分析】（1）根据双曲线的定义可得轨迹方程；
（2）①利用点差法可得斜率乘积；②设直线方程为，联立直线与双曲线方程，根据，可得，结合韦达定理可得，即可得直线方程.
【小问1详解】
由已知，，动点满足，
则动点满足到两定点的距离之差的绝对值为定值，满足双曲线定义，
即点的轨迹为以，为焦点，实轴长为的双曲线，
即轨迹方程为；
【小问2详解】

①设点Mx1,y1，Nx2,y2，中点，
则，，
又点，在曲线上，
则，作差可得，
即，
则；
②设直线，
联立直线与双曲线，得，
恒成立，
且，，
又，，，
则，
则，，
所以，
解得，，
即直线方程为，
即或.
【点睛】(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
19. 如图，已知椭圆：（）的上顶点为A0,3，离心率为，若过点作圆：（）的两条切线分别与椭圆相交于点，（不同于点）.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线和的斜率分别为，，求证:为定值；
（3）求证：直线过定点.
【答案】（1）
（2）证明见详解 （3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据离心率列式求，即可得椭圆方程；
（2）根据切线性质解得点到直线的距离公式整理可得，结合韦达定理分析证明；
（3）联立方程求点的坐标，进而可得直线的方程，结合方程分析定点.
【小问1详解】
因为 椭圆的上顶点为，离心率为
则 解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
圆的圆心为，半径为，
设切线方程为，则 ，即
因为两切线的斜率分别为，
则是上述方程的两根，根据韦达定理可得:为定值.
【小问3详解】
联立方程 ，消掉得，
设，则，
同理可得 ，
则，
可得直线方程为，
令，得，
所以故直线过定点.
【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．