湖北省“鄂北联考”2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份湖北省“鄂北联考”2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.经过点A(0,2)，B(−1,0)两点的直线的方向向量为(k,4)，则k为( )
A. 2B. 4C. 12D. 14
2.已知直线l1:(a−3)x+2y−2=0，l2:2x+ay+1=0，若l1//l2，则a=( )
A. 4或−1B. 4C. −1D. 1或−4
3.已知F1，F2分别是椭圆x216+y212=1的左、右焦点，点P在椭圆上，则△PF1F2的周长为( )
A. 4B. 8C. 12D. 16
4.从长度为1，3，6，9，10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为( )
A. 110B. 15C. 310D. 25
5.如图，已知空间四边形 OABC， OA，BC的中点分别为点M， N，点 G在线段MN上，且MG=13MN，则向量OG表示为( )
A. OG=13OA+16OB+16OCB. OG=13OA+13OB+16OC
C. OG=13OA+13OB+13OCD. OG=16OA+13OB+13OC
6.已知P(A)=0.3，P(B)=0.4，下列说法①若A∩B=⌀，则P(A∪B)=0.7;②若A∩B≠⌀，则P(A∪B)=0.58;③若A⊆B，则P(AB)=0.12;④若事件A，B相互独立，则P(AB)=0.12;⑤若事件A，B相互独立，则P(A∪B)=0.58;正确的有( )
A. ①②④B. ①④C. ①③⑤D. ①④⑤
7.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在“鳖臑”A−BCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD=2，M为AD中点，则异面直线CM与AB所成角的余弦值为( )
A. 24B. 13C. 23D. 33
8.已知M、N为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上关于坐标原点O对称的两点，c为椭圆的半焦距， P为平面上一点，且PM⋅PN=0，|OP|=c，椭圆的左、右顶点分别为A、B，若NM⋅AB=2ac，则椭圆的离心率为( )
A. 22B. 32C. 3−1D. 5−2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1 和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回的依次随机摸出2个球.设事件A=“第一次摸到红球”，B=“第二次摸到红球”，C=“两个球颜色相同”，D=“两个球颜色不同”，则下列说法正确的是( )
A. 事件A与事件B互斥B. 事件C与事件D对立
C. 事件A与事件C相互独立D. 事件B与事件D相互独立
10.下列说法正确的有( )
A. 经过点P(2,3)，并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为x+y−5=0
B. 已知圆C:x2−2x+y2−2y−4=0关于直线l:ax+by−1=0(ab>0)对称，则1a+4b的最小值是9
C. 点M(x,y)在圆O:x2+y2=4上运动，点N(3,4)到点M的最小距离为3
D. 若直线l:x−y+m=0与曲线C:x= 4−y2有两个不同的交点，则实数 m的取值范围是(−2 2,−2]
11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，三棱锥C−B1C1D1的体积为43，线段CC1，BC的中点分别为E，F，动点M在直线A1B上，动点N在下底面A1B1C1D1内(含边界)，且EN=AA1，则( )
A. 三棱锥M−DEF的体积为定值
B. 动点N的轨迹长度为 3π2
C. 不存在点N，使得EN⊥平面DEF
D. 点N到平面DEF的距离的最大值为 15+26
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知曲线x212−m+y2m−4=1表示椭圆，则m的取值范围为__________.
13.已知点A(2,3)，B(0,0)，动点P在直线x−y−1=0上，则|PA|+|PB|的最小值为__________.
14.若A， B是平面内不同的两定点，动点 P满足|PA||PB|=k(k>0且k≠1)，则点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,3)，圆C:(x−a)2+y2=1.若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则实数a的取值范围是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC的点C(0,3)，边 BC上的中线AM所在的直线方程为x+5y−4=0，边AC上的高BN所在的直线方程为4x−3y+5=0.
(1)求顶点A的坐标;
(2)求直线AB的方程.
16.(本小题15分)
为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生测试共有三题，至少答对两题方可通过.现有甲，乙两名考生参加测试.已知考生甲、乙答对第一题的概率分别为12，12，答对第二题的概率分别为13，13，答对第三题的概率分别为14，23，假设两人三题作答相互独立.
(1)求考生甲通过测试的概率;
(2)求考生甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率.
17.(本小题15分)
已知圆C的圆心在直线x+3y−2=0上，且经过点E(4,2)和F(2,0).
(1)求圆C的标准方程;
(2)过点A(1,1)作圆C的两条切线，切点分别为P，Q，求|PQ|.
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是斜边为AD的等腰直角三角形，AB⊥AD，AB=1，AD=4，AC=CD=2 2.
(1)求证：PD⊥平面PAB;
(2)求PB与平面PCD所成角的正弦值;
(3)在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为 55?若存在，求出PMPB的值，若不存在，请说明理由.
19.(本小题17分)
17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用较链首尾链接，构成菱形LF2KQ.带槽杆QF1长为4，点F1，F2间的距离2，转动杆QF1一周的过程中始终有|QE|=|EF2|.点M在线段F1F2的延长线上，且|MF2|=3.
(1)建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点E的轨迹Γ的方程;
(2)过点F2的直线l1与Γ交于A、B两点.记直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，
(ⅰ)证明：k1+k2为定值;
(ⅱ)若直线l1的斜率为k，点N是轨迹Γ上异于A、B的点，且NF2平分∠ANB，求|BN||AN|的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查直线的方向向量，直线的斜率，属于基础题.
根据直线的斜率公式即可求出.
【解答】
解：经过A0,2,B−1,0两点的直线的方向向量为(k,4)，
所以2−00−(−1)=4k ，解得k=2
故选：A.
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了两条直线平行的判定及应用，属于较易题.
由条件结合直线平行结论列方程求a，并对所得结果进行检验.
【解答】
解：因为l1//l2，l1:(a−3)x+2y−2=0，l2:2x+ay+1=0，
所以a(a−3)=2×2，所以a2−3a−4=0，解得a=−1或a=4，
当a=−1时，l1:−4x+2y−2=0，l2:2x−y+1=0，直线l1,l2重合，不满足要求，
当a=4时，l1:x+2y−2=0，l2:2x+4y+1=0，直线l1,l2平行，满足要求，
故选：B.
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的定义等基础知识，属于基础题．
先确定椭圆中a、b、c的值，由椭圆的定义可知△PF1F2周长=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c，进而计算可求解．
【解答】
解：由题意知：椭圆x216+y212=1中a=4，b=2 3，则c= 16−12=2，
∴△PF1F2的周长=2a+2c=8+4=12.
故选C.
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
列举出从长度为1，3，6，9，10的5条线段中任取3条，共有10种取法，再求出取出的三条线段能构成一个三角形的情况有2种，根据古典概型的概率公式即可得答案．
【解答】
解：从长度为1，3，6，9，10的5条线段中任取3条，
可能的情况有：
(1,3,6)，(1,3,9)，(1,3,10)，(1,6,9)，(1,6,10)，(1,9,10)，(3,6,9)，(3,6,10)，(3,9,10)，(6,9,10)，共有10种可能，
其中，能构成三角形的只有(3,9,10)，(6,9,10)共2种可能，
故这三条线段能构成一个三角形的概率为P=210=15.
故选B.
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查向量的基本定理及其意义，是中档题.
根据空间向量的线性运算知识结合已知条件直接求解即可．
【解答】
解：∵OG=OM+MG=OM+13MN
=OM+13(MO+OC+CN)
=23OM+13OC+16(OB−OC)
=13OA+16OB+16OC，
∴OG=13OA+16OB+16OC.
故选：A.
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查互斥事件的概率加法公式，随机事件的交运算，相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题.
根据互斥事件的概率加法计算公式可知：①对，②错；又因为若A⊆B，则P(AB)=P(A)，所以③错；④若事件A，B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)，正确；⑤根据P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)可求解.
【解答】
解：P(A)=0.3，P(B)=0.4
①.若A∩B=⌀，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.7，正确；
②.P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)， 若A∩B≠⌀，P(AB)的值不确定，故②错误；
③.若A⊆B，则P(AB)=P(A)=0.3，错误；
④.若事件A，B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)=0.12，正确；
⑤.若事件A，B相互独立，则P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.58，正确.
故选D.
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了异面直线所成角，属于基础题.
将三棱锥 A−BCD 放入正方体中，建立空间直角坐标系，即可利用向量求异面直线CM与AB夹角的余弦值．
【解答】
解：由题可知AB、BC、CD两两垂直，且AB=BC=CD=2.
因此，如图，正方体内三棱锥A−BCD即为满足题意的鳖臑A−BCD ，
以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为2，
则 B(0,0,0) ， A(0,0,2) ， C(0,2,0) ， M(1,1,1) ，
则 CM=(1,−1,1) ， BA=(0,0,2) ，
cs ⟨CM,BA⟩=CM⋅BA|CM|⋅|BA|=2 3×2= 33 ，
则异面直线CM与AB夹角的余弦值为 33 .
故选：D.
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查求椭圆的离心率、向量数量积的坐标运算，属于中档题.
利用已知条件结合椭圆相关知识及向量数量积知识进行求解即可.
【解答】
解：∵M，N为椭圆上关于坐标原点对称的两点，
∴设M(x1,y1)，则N(−x1,−y1)，
设P(x2,y2)，则PM=(x1−x2,y1−y2)，PN=(−x1−x2,−y1−y2)，
则PM⋅PN=(x1−x2)(−x1−x2)+(y1−y2)(−y1−y2)=0，
整理得：x12+y12=x22+y22，
又∵|OP|=c，
∴|OP|2=x22+y22=c2，
则可得x12+y12=x22+y22=c2，
由NM⋅AB=2ac，NM=(2x1,2y1)，AB=(2a,0)，
则NM⋅AB=(2x1,2y1)⋅(2a,0)=2x1⋅2a+0×2y1=4ax1=2ac，
可得：x1=12c，
又∵x12+y12=c2，
则y12=c2−x12=c2−(12c)2=34c2，
代入到椭圆x2a2+y2b2=1，可得：(12c)2a2+34c2b2=1，
又∵a2=b2+c2，e=ca，
∴14c2a2+34c2b2=14c2a2+34c2a2−c2=14e2+34e21−e2=1，
整理得：e4−8e2+4=0，
∴(e4−8e2+16)+4−16=(e2−4)2−12=0，
解得：e2=4±2 3，
∵e=ca∈(0,1)，
则e20，
∴e= 3−1.
故选C.
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查古典概型的计算与应用、互斥事件、对立事件与相互独立事件的判断，属于中档题.
列出从袋中不放回地依次随机摸出2个球的所有可能情况，利用古典概型求出相应的概率，结合相互独立事件的判定方法和对立事件的概念，即可求出结果.
【解答】
解：从袋中不放回地依次随机摸出2个球的所有可能情况为：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，
(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)，
共有12个，
事件A，B可以同时发生，故事件A与事件B不互斥，故选项A错误；
根据对立事件的概念知，C与D互为对立，故选项B正确；
则PA=612=12,PB=612=12,PAB=212=16，
因为PC=412=13,PBC=212=16，PAC=212=16
且PA⋅PC=16=PAC，所以A与C相互独立，故选项C正确；
因为PB=612=12,PD=812=23，PBD=412=13；
且PB⋅PD=12×23=13=PBD，所以B与D相互独立，故D正确；
故选BCD.
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查直线的截距式方程，由基本不等式求最值，点到圆上点的最值问题，直线与圆的位置关系中的最值问题，属于中档题.
A.分两种情况(1)直线过原点；(2)直线不过原点.
B.因为圆C:x2−2x+y2−2y−4=0关于直线l：ax+by−1=0(ab>0)对称，所以直线过圆心，即a+b=1，然后利用基本不等式可求解；
C.点N(3,4)到点M的最小距离为ON−r；
D.当直线l:y=x+m与曲线x2+y2=4(x≥0)相切时，原点到直线l的距离d=|m| 2=2，所以m=−2 2;当直线过半圆的下顶点(0,−2)时，2+m=0，所以m=−2.由此可求解.
【解答】
解：A.经过点P(2,3)，并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为y=32x或x+y−5=0，错误；
B.圆C:x2−2x+y2−2y−4=0的圆心坐标为(1,1)，半径为r= 6，
因为圆C:x2−2x+y2−2y−4=0关于直线l：ax+by−1=0(ab>0)对称，
所以直线过圆心，即a+b−1=0，所以a+b=1，故a>0，且b>0，
所以1a+4b=(1a+4b)(a+b)=5+ba+4ab≥5+2 ba×4ab=9，
当且仅当ba=4ab，且a+b=1时，等号成立，B正确；
C.点N(3,4)到点M的最小距离为ON−r= 32+42−2=3，正确；
D.由x= 4−y2，得x2+y2=4(x≥0).如图，
当直线l:y=x+m与曲线x2+y2=4(x≥0)相切时，原点到直线l的距离d=|m| 2=2，所以m=−2 2;
当直线过半圆的下顶点(0,−2)时，2+m=0，所以m=−2.
若直线l:y=x+m与曲线x= 4−y2有两个公共点，则实数 m的取值范围是(−2 2,−2],正确.
故选BCD.
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查椎体体积，轨迹，距离及证明线面垂直问题，属于较难题.
利用锥体体积公式，距离公式，空间向量证明线面垂直去解决问题.
【解答】
解：对于A，因为△DEF为等腰三角形，面积是定值，
动点M在直线A1B上，A1B不平行△DEF所在的平面，
∴点M到面△DEF的距离不是定值.
∴三棱锥M−DEF的体积为定值∴A错误.
对于B，因为三棱锥C−B1C1D1的体积为43，
设正方形边长为a，所以13⋅12a⋅a⋅a=43，故a=2，
因为EN=AA1则EN=2，而EC1=1，
故C1N= EN2−EC12= 3 ，
故动点N的轨迹为以C1为圆心， 3为半径的圆在底面A1B1C1D1内的部分，即四分之一圆弧，
故所求轨迹长度为14×2π× 3= 3π2，故B正确.
对于C，以C1为坐标原点，C1D1、C1B1、C1C所在直线分别为 x、y、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(2,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,2)，故DE=(−2,0,−1)，EF=(0,1,1)，
设n=(x,y,z)为平面DEF的法向量，则n⋅EF=0,n⋅DE=0,y+z=0,−2x−z=0,
令z=2，故n=(−1,−2,2)为平面DEF的一个法向量，
设Nx0 ,y0, 0(x0≥0,y0≥0)，故EN=x0,y0,−1，
若EN⊥平面DEF，则n//EN，则x0−1=y0−2=−12，解得x0=12,y0=1，但y02+x02≠3，
所以不存在点N，使得EN⊥平面DEF，故C正确.
对于D，因为△DEF为等腰三角形，
故S△DEF=12⋅EF⋅ DE2−(EF2)2=12× 2×3 22=32，
而点N到平面DEF的距离d=|EN⋅n||n|=−x0−2y0−23=x0+2y0+23
令x0= 3csθ，则y0= 3sinθ，θ∈[0,π2]，
则d= 3cs θ+2 3sin θ+23= 15sin(θ+φ)+23≤ 15+23∴D错误.
故选BC.
12.【答案】(4,8)∪(8,12)
【解析】【分析】
本题考查椭圆的标准方程满足的条件，属于基础题.
要使其为椭圆，求出满足椭圆的条件，进而求出m的范围.
【解答】
解：由题意可得12−m>0m−4>012−m≠m−4，
解得4b>0)，
∴2a=4，2c=2，∴a=2，c=1，∴b2=a2−c2=3，
∴点E的轨迹Γ的方程为x24+y23=1；
(2)(i)证明：设直线l1与椭圆的交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)
①当直线l1斜率存在时，如图1，
设l1:y=k(x−1)，联立直线与椭圆的标准方程x24+y23=1y=k(x−1)，
可得：(3+4k2)x2−8k2x+4k2−12=0，
显然：Δ>0恒成立，则x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2，
∵M(4,0)，∴k1=y1x1−4，k2=y2x2−4，
∴k1+k2=y1x1−4+y2x2−4=y1(x2−4)+y2(x1−4)(x1−4)(x2−4)，
∵y1(x2−4)+y2(x1−4)=2kx1x2−5k(x1+x2)+8k
=2k×4k2−123+4k2−5k×8k23+4k2+8k=8k3−24k−40k3+32k3+24k3+4k2=0，
∴k1+k2=0，即k1+k2为定值；
②当直线l1斜率不存在时，直线l1垂直于x轴，如图2，
显然∠AMF2=∠BMF2，可得：k1=−k2即k1+k2=0，
综上所述：k1+k2为定值.
(ii)∵SΔBNF2SΔANF2=12|NF2||BN|sin ∠BNF212|NF2||AN|sin ∠ANF2=12|BF2|⋅h12|AF2|⋅h
∴|BN||AN|=|BF2||AF2|，
由(i)可知：y1+y2=−6k3+4k2y1y2=−9k23+4k2，
设BF2=λF2A，即y2=−λy1，
∴(1−λ)y1=−6k3+4k2−λy12=−9k23+4k2，可得(1−λ)2λ=43+4k2，
又∵k2≥0，∴43+4k2∈(0,43].
∴02，即可得出轨迹为椭圆．根据已知求出a，b，c，即可得出答案；
(2)(i)当直线l1斜率存在时，设l1：y=k(x−1).联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理得出坐标关系，表示出k1，k2，整理化简，即可得出k1+k2=0；当直线l1斜率不存在时，根据对称性也可求出k1+k2=0，即可得出证明；
(ii)由题意得|BN||AN|=|BF2||AF2|，设BF2=λF2A，结合(i)中韦达定理关系求解即可.