福建省厦门市2023_2024学年高一数学上学期10月第一次适应性练习含解析

这是一份福建省厦门市2023_2024学年高一数学上学期10月第一次适应性练习含解析，共22页。试卷主要包含了考试结束，考生只须将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，满分150分
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、座号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考号、姓名”与考生本人考号、姓名是否一致．
2．回答选择题时，选出答案后用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效．
3．考试结束，考生只须将答题卡交回．
一、单项选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个正确答案．
1. 已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
2. 下列函数中，在区间上是减函数的是（）
A. B. C. D.
3. 设为两个非空集合，“，都有”是“A是B的真子集”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 下列命题为真命题的是（）
A. 若，则B. 若，则
C若，则D. 若，则
5. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（）
A. B. C. D.
6. 已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是( )
A. B.
C. D.
7. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（）
A. 16B. 25C. 36D. 49
8. 若函数的定义域为，且.若对任意不相等的实数，恒有，则不等式的解集为（）
AB. C. D.
二、多项选择题：本大题4小题，每小题5分，全选对得5分，选对但不全得2分，选错或不答得0分．
9. 已知命题：，，则命题成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的（）
A. B.
C. D.
10. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（）
A.
B.
C.
D.
11. 甲、乙、丙三名学生同时参加了一次百米赛跑，所用时间（单位：秒）分别为，，．甲有一半的时间以速度（单位：米/秒）奔跑，另一半的时间以速度奔跑；乙全程以速度奔跑；丙有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑．其中，．则下列结论中一定成立的是（）
A. B. C. D.
12. 已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图像如图所示，则下列选项正确的有（）
A.
B. 当时，函数的最大值为
C. 关于的不等式的解为或
D. 若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 命题“，”的否定是______．
14. 设函数，则______．
15. 已知函数，若存在，，且，使得，则实数取值范围为______.
16. 已知，均为正数，且，则的最小值为__________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置．
17. 已知集合，集合．
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
18. 已知函数满足：
（1）求的解析式；
（2）判断函数在区间上的单调性，并证明．
19. 已知函数．
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
20. 已知函数，（）．
（1）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
（2）若对任意，存在，使得，求的取值范围；
21. 近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.
（1）求出2020年利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；
（2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
22. 已知函数．
（1）解不等式；
（2）若，满足，且，求证：．厦门一中2023-2024学年高一上学期第一次适应性练习
数学试卷
本试卷共4页，满分150分
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、座号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考号、姓名”与考生本人考号、姓名是否一致．
2．回答选择题时，选出答案后用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效．
3．考试结束，考生只须将答题卡交回．
一、单项选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个正确答案．
1. 已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由交集的概念求解，
【详解】集合，，则，
故选：A
2. 下列函数中，在区间上是减函数的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】逐个判断函数单调性，即可得到结果．
【详解】对于A，函数在区间上是增函数，故A不正确；对于B，函数在区间上是增函数，故B不正确；对于C，函数在上是增函数，故C不正确；对于D，函数在区间上是减函数，故D正确；故选：D．
【点睛】本题考查函数单调性的判断，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
3. 设为两个非空集合，“，都有”是“A是B的真子集”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合之间的关系，判断“，都有”和“A是B的真子集”的逻辑推理关系，即得答案.
【详解】由题意，都有可得A是B的子集，推不出A是B的真子集；
反之，A是B的真子集，则必有，都有，
故“，都有”是“A是B的真子集”的必要不充分条件，
故选：B
4. 下列命题为真命题的是（）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】通过举反例即可判断A，B；通过作差法即可判断C，D．
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，当时，，则，故B错误；
对于C，，
因为，
所以，
所以，即，故C正确；
对于D，，
因为，
所以，即，故D错误，
故选：C．
5. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定，得到不等式，解得答案.
【详解】函数的定义域是，则，故，
解得.
故选：D
6. 已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题可知，再利用中间量，根据与之间的关系求出的取值范围，即可判断a、b、、之间的关系.
【详解】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.
故选：A.
7. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（）
A. 16B. 25C. 36D. 49
【答案】B
【解析】
【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.
【详解】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立，
又，即，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以函数的最小值为25.
故选：B
8. 若函数的定义域为，且.若对任意不相等的实数，恒有，则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，根据题意得在上单调递减，再题意转化为解即可.
【详解】解：因为对任意不相等的实数，恒有，
所以，对任意不相等的实数，恒有，即，
令，
所以，对任意不相等的实数，恒有，即，
不妨设，则，
所以，，即，
所以，在上单调递减.
所以
，
所以不等式的解集为.
故选：D.
二、多项选择题：本大题4小题，每小题5分，全选对得5分，选对但不全得2分，选错或不答得0分．
9. 已知命题：，，则命题成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合充分不必要条件与集合的关系进行求解即可.
【详解】若命题:，成立，则，解得，
故命题成立的充分不必要条件是属于的真子集，因此选项AD符合要求，故AD正确.
故选：AD.
10. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由图可知，阴影部分是集合B与集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A与B的交集并上集合A与C的交集，从而可得答案
【详解】解：由图可知，阴影部分是集合B与集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A与B的交集并上集合A与C的交集，
所以阴影部分用集合符号可以表示为或，
故选：AD
11. 甲、乙、丙三名学生同时参加了一次百米赛跑，所用时间（单位：秒）分别为，，．甲有一半的时间以速度（单位：米/秒）奔跑，另一半的时间以速度奔跑；乙全程以速度奔跑；丙有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑．其中，．则下列结论中一定成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】分别计算得到，，，根据均值不等式确定A正确，B错误，代入计算验证得到C正确D错误，得到答案.
【详解】甲同学：，则，
乙同学：，
丙同学：，
对于选项A和B：，，故，
当且仅当时，等号全部成立，故，故A正确，B错误；
对于选项C：，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：AC.
12. 已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图像如图所示，则下列选项正确的有（）
A.
B. 当时，函数的最大值为
C. 关于的不等式的解为或
D. 若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，由开口方向，与轴交点，及对称轴，求出正负，得到A正确；B选项，当时，数形结合得到函数随着的增大而减小，从而求出最大值；C选项，结合，化简不等式，求出解集；D选项，配方得到两函数的最小值，从而得到，求出.
【详解】A选项，二次函数图象开口向上，故，
对称轴为，故，
图象与轴交点在轴正半轴，故，
所以，故，A正确；
B选项，因为，故，
因为，所以，
当时，随着的增大而减小，
所以时，取得最大值，最大值为，B错误；
C选项，因为，所以，
，
故不等式变形为，
因为，，解得：或，故C正确；
D选项，，当时，取得最小值，最小值为，
，当时，取得最小值，最小值为，
所以，即，所以，
即，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 命题“，”的否定是______．
【答案】，
【解析】
【分析】利用含有一个量词的命题的否定方法为“改变量词，否定结果”进行作答.
【详解】“，”为存在量词命题，
因此其否定为“，”.
故答案为：，
14. 设函数，则______．
【答案】10
【解析】
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为，所以.
故答案为：
15. 已知函数，若存在，，且，使得，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】先对讨论，作示意图后，容易得到符合题意，再对分析，可得到答案.
【详解】当时，函数的示意图如图所示
可知在，必存在，，使；
当时，则 ，可知时存在，符合题意；
当时，则,即时，在附近，必存在，，使；
当时，,故示意图如图所示
故不存在，，且，使得,
综上可得.
故答案为：
【点睛】本题考查了分段函数存在性问题，分类讨论、数形结合思想的应用，合理分类是解决问题的关键.
16. 已知，均为正数，且，则的最小值为__________．
【答案】6
【解析】
【分析】由已知有，则，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件.
【详解】由均为正数，且，则，
又，
，当且仅当，即取等号，
所以，当且仅当取等号，则，
所以，当且仅当取等号，目标式最小值为6.
故答案为：6
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置．
17. 已知集合，集合．
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1），或
（2）
【解析】
【分析】（1）解分式不等式得到，进而根据交集，并集和补集概念进行计算；
（2）根据并集结果得到，分与两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围.
【小问1详解】
由等价于，
解得：，所以，
当时，，
∴；
又∵或，
∴或；
【小问2详解】
因，所以，由（1）可知，
当时，，解得：，
当时，要满足题意需，解得：，
综上：实数取值范围为
18. 已知函数满足：
（1）求的解析式；
（2）判断函数在区间上的单调性，并证明．
【答案】（1）
（2）单调递增，证明见详解.
【解析】
【分析】（1）换元法求解析式即可，注意中间变量的范围；
（2）利用（1）中结果求得，按照定义法证明函数单调性的基本步骤进行即可：取值，作差，化简变形，定号，下结论.
【小问1详解】
令，则，，
代入，得，
即
【小问2详解】
由（1）可得：，
在区间上单调递增，证明如下：
，且，则
因为，所以，所以，即
所以在区间上单调递增.
19. 已知函数．
（1）若函数定义域为，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）将问题转化为时，恒成立，分类讨论的值，即可得出范围；
（2）分为3种情况讨论，即，，，分别求解不等式即可．
【小问1详解】
∵函数的定义域为，
∴时，恒成立．
当时，不等式化为：，解得，不符合题意，舍去；
当时，则时，恒成立，
所以，即，解得，
综上所述，实数的取值范围是．
【小问2详解】
1）当时，关于的不等式化为：，
对进一步分类讨论：
①时，，则不等式的解集为；
②时，，则不等式的解集为；
③时，，则不等式的解集为．
2）当时，关于的不等式化为，
则不等式的解集为
3）当时，关于的不等式化为：，
则不等式的解集为．
综上所述，，不等式的解集为；
，不等式的解集为；
，不等式的解集为；
，不等式的解集为，
，不等式的解集为．
20. 已知函数，（）．
（1）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
（2）若对任意，存在，使得，求的取值范围；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）变换得到恒成立，计算，解得答案.
（2）当时，，则，考虑对称轴或和对称轴，分别计算函数的最值，计算得到答案.
【小问1详解】
恒成立，即恒成立，
故，解得，
的取值范围为；
【小问2详解】
当时，，当时，，故，
①若的对称轴或，此时在区间单调，
则在，处取得最值，所以，解得，
解不满足或，舍去；
②若对称轴，故，
即，解得或，
此时，最大值依然在，处取到，故.
综上所述：.
21. 近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.
（1）求出2020年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；
（2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；
（2）2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.
【解析】
【分析】（1）根据给定的函数模型，直接计算作答.
（2）利用（1）中函数，借助二次函数最值及均值不等式求出最大值，再比较大小作答.
【小问1详解】
依题意，销售收入万元，固定成本250万元，另投入成本万元，
因此，
所以2020年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式是.
【小问2详解】
由（1）知，当时，，当且仅当时取等号，
当时，，当且仅当，即时取等号，
而，因此当时，，
所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.
22. 已知函数．
（1）解不等式；
（2）若，满足，且，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分段讨论x的取值范围，化简，分别解一元二次不等式，即可得答案；
（2）作出函数大致图象，结合图像确定的范围，讨论当，成立；时，转化为证明，则可构造函数，，利用其单调性证明结论.
【小问1详解】
由题意，，
①，不等式即，
，
②，不等式即，；
综上，.
小问2详解】
函数大致图象如图，
当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
∴若，满足，则，
由图象知，
①若，则显然；
②若，要证明，则要证，
注意到，，且在递减，
则可证明，
∵，则可证明，
构造函数，，则，
，，
，∵，，，∴，
∴，∴在上单调递减，
∵，∴时，，即，
∴，从而得证．
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于证明；解答时利用函数的图像确定的范围，再结合范围分类讨论。进而构造函数，利用函数的单调性解决问题.