河南省南阳市六校2023_2024学年高一数学上学期期中试题含解析

这是一份河南省南阳市六校2023_2024学年高一数学上学期期中试题含解析，共9页。试卷主要包含了设，则，已知函数，则，已知，则等内容，欢迎下载使用。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则下列选项中，使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．且B．且C．且D．且
3．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
6．设，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，则（ ）
A．是偶函数，且在区间和上单调递减
B．是偶函数，且在区间上单调递减
C．是奇函数，且在区间上单调递减
D．是奇函数，且在区间和上单调递减
8．已知函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，则（ ）
A．B．C．D．
10．下列各组中两个函数是同一函数的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
11．若函数的图象上存在不同的两点到直线的距离均为1，则的解析式可以是（ ）
A．B．C．D．
12．已知，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知集合，则中元素的个数为______．
14．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则______．
15．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______．
16．已知函数则满足的的取值范围是______．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）计算：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
18．（12分）
已知集合．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若是成立的充分不必要条件，求的取值范围．
19．（12分）
已知函数且的图象经过点．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）比较与的大小；
（Ⅲ）求函数的值域．
20．（12分）
（Ⅰ）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21．（12分）近年来，共享单车的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资200万元，每个城市都至少要投资70万元，由前期市场调研可知：在甲城市的收益（单位：万元）与投入（单位：万元）满足，在乙城市的收益（单位：万元）与投入（单位：万元）满足．
（Ⅰ）当在甲城市投资125万元时，求该公司的总收益；
（Ⅱ）试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？
22．（12分）已知定义域为的函数是奇函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）判断的单调性并用定义证明；
（Ⅲ）若当时，恒成立，求实数的取值范围．
2023-2024学年（上）南阳六校高一年级期中考试
数学・答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．答案C
命题意图本题考查集合的表示与运算．
解析由题意可得，所以．
2．答案B
命题意图本题考查充分条件与必要条件的应用．
解析选项A，C，D都既不是充分条件也不是必要条件，对于B，由且可得，反过来推不出，所以B符合条件．
3．答案D
命题意图本题考查不等式的解法．
解析由于关于的不等式的解集是，所以则有且，则等价于，解得，即不等式的解集为．
4．答案A
命题意图本题考查幂函数和指数函数的性质．
解析因为是幂函数，所以，解得或．当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，故．此时，当时，，即的图保过定点．
5．答案C
命题意图本题考查函数的定义域．
解析要使函数有意义，则故或，所以的定义域为．
6．答案A
命题意图本题考查指数和对数的运算．
解析因为，所以．
7．答案D
命题意图本题考查函数的奇偶性和单调性．
解析由题意得画出函数的大致图象，如图，观察图象可知，函数的图象关于原点对称，故函数为奇函数，单调递减区间是．
8．答案C
命题意图本题考查偶函数的性质和不等式的解法．
解析易知函数的定义域为，且为偶函数．当时，，易知此时单调递增，所以，所以，解得或．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．答案ABD
命题意图本题考查不等式的性质．
解析由，得，则，A成立；由两边同时乘以，不等号反向，得，B成立；由两边同时除以，得，C不成立；由可得，同除以，可得，D成立．
10．答案BC
命题意图本题考查函数的概念．
解析A，D中函数的定义域不同．
11．答案AD
命题意图本题考查函数的图象与性质．
解析分别作出相应的图象，如图：
对于A，容易看出的图象上存在两点与到直线的距离均为1，故A正确；对于B，的图象在直线上方的部分仅存在一点到直线的距离为1，在直线下方的部分满足，到直线的距离均小于1，故不存在符合条件的两点，故B错误；对于C，因为，故其图象上所有点到直线的距离均大于1，故C错误；对于D，利用几何知识可以算得点到直线的距离为，由指数函数的图象可知，在点的两边各存在一点到直线的距离为1，故D正确．
12．答案ABD
命题意图本题考查指数的运算性质．
解析对于A，因为，所以，所以，所以，所以，所以，故A正确；
对于B，因为，又，所以，所以，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，故C错误；
对于D，设，则，所以，故D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．答案4
命题意图本题考查集合的概念和运算．
解析因为，所以满足的自然数对有，即中的元素有4个．
14．答案
命题意图本题考查奇函数的概念．
解析设函数，则的最大值为，最小值为，容易判断是奇函数，所以，所以．
15．答案
命题意图本题考查函数的单调性．
解析函数，由时，单调递减，得，解得．
16．答案
命题意图本题考查分段函数和不等式的解法．
解析由题意知，当时，恒成立；当时，恒成立；当时，由，解得，所以．综上，的取值范围是．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．命题意图本题考查指数和对数的运算性质．
解析（Ⅰ）原式．
（Ⅱ）原式
．
18．命题意图本题考查集合的运算、充分条件与必要条件的判断．
解析由得，故，
由得，
因为，故．
（Ⅰ）若，则，所以．
（Ⅱ）若是成立的充分不必要条件，则，
则有解得，此时满足，
所以的取值范围是．
19．命题意图本题考查指数函数的性质，函数与不等式的综合．
解析（Ⅰ）因为的图象经过点，
所以，又且，所以．
（Ⅱ）因为，所以在上单调递增．
又因为，所以，
所以．
（Ⅲ）当时，，
所以，即，
所以的值域为．
20．命题意图本题考查一元二次不等式与二次函数．
解析（Ⅰ）当时，显然，满足题意；
若，显然满足题意；
若，则需，解得．
综上，实数的取值范围是．
（Ⅱ）由题可知，当时，恒成立．
因为，
所以等价于．
因为在区间上的最小值为，
所以只需即可，
所以实数的取值范围是．
21．命题意图本题考查函数模型的应用和二次函数的性质．
解析（Ⅰ）当在甲城市投资125万元时，在乙城市投资75万元，
所以总收益为（万元）．
（Ⅱ）设在甲城市投资万元，则在乙城市投资万元，
总收益为，
依题意得解得．
故．
令，则，
所以，
因为该二次函数的图象开口向下，且对称轴，
所以当，即时，取得最大值65，
所以当在甲城市投资80万元，乙城市投资120万元时，总收益最大，且最大总收益为65万元．
22．命题意图本题考查函数的综合问题．
解析（Ⅰ）因为在定义域上是奇函数，所以，所以．
又由，可得，
经检验知，当时，原函数是奇函数．
（Ⅱ）由（I）知在上是增函数．
证明：任取，设，
则，
因为，所以，又，所以，
即，所以函数在上是增函数．
（Ⅲ）因为是奇函数，所以不等式等价于，因为在上是增函数，所以，
即对任意，都有成立．
设，令，则有，
所以，