浙江省嘉兴市2023_2024学年高二数学上学期期中试题含解析

这是一份浙江省嘉兴市2023_2024学年高二数学上学期期中试题含解析，共18页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分， 圆与圆的位置关系为， 已双曲线C等内容，欢迎下载使用。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4．测试范围：选择性必修第一册.
一、单选题：每小题只有一项符合题目要求，共8小题，每小题5分，共40分.
1. 经过点，倾斜角为的直线方程为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出直线的斜率，再由点斜式求得直线的方程．
【详解】倾斜角为的直线的斜率，再根据直线经过点，
由点斜式求得直线方程为，即，
故选D．
【点睛】本题考查了由点斜式的方法求直线的方程，属于基础题．
2. 圆与圆的位置关系为（）
A. 内切B. 相切C. 相交D. 外离
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距，通过比较可得结论．
【详解】解：圆的圆心为，半径，
圆圆心为，半径，
所以，
所以两圆相交，
故选：C
3. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据椭圆的标准方程求得，，，再结合椭圆的离心率公式列出关于的方程，解之即得答案．
【详解】解：由题意知，，且，
所以，
化简后得：.
故选：B．
【点睛】本题考查椭圆的几何性质，以及根据椭圆的标准方程和离心率求得，，，化简计算，属于基础题．
4. 已知圆与轴的交点恰为双曲线（）的左、右顶点，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由已知可得圆与轴的交点为，由题意可知 ，又 ，故双曲线的离心率为 ，故选C.
5. 双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为8，则点到的距离为（）
A. 2或12B. 2或18C. 18D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用双曲线的定义求.
【详解】解：由双曲线定义可知：
解得或（舍）∴点到的距离为18，
故选：C.
6. 已知抛物线的焦点为F，准线为，过抛物线上一点P作于点，则（）
A. 5B. 4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点坐标可知抛物线的准线方程以及点，进一步可得抛物线方程，然后求得，最后可得结果.
【详解】由点，知准线的方程为，焦点，
于是有抛物线的方程为，因为，所以，
代入抛物线方程解得，从而，
故选：A.
【点睛】本题考查抛物线的简单应用，考查抛物线的定义以及对题意的理解，属基础题.
7. 已知椭圆，过右焦点的直线与椭圆交于两点，若，且直线的斜率，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数关系，结合共线向量的坐标表示公式、椭圆离心率公式进行求解即可.
【详解】由题意可知，设该椭圆右焦点坐标为，
因为直线的斜率，
所以设直线的方程为，与椭圆方程联立，得
，
设，则有，
因为，所以，
所以有，消去，得
，
故选：B
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用，得到，进而利用一元二次方程根与系数关系进行求解.
8. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studi设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品. 若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线​​下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（）
A. ​B. ​
C​D. ​
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据题意得到，再解方程组即可.
【详解】设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，
则焦点到渐近线的距离，
所以，即双曲线方程为：.
故选：B
二、多选题：每小题有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分，共4小题，每小题5分，共20分.
9. （多选）若两平行线分别经过点，则它们之间的距离d可能等于（）
A. 0B. 5C. 12D. 13
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题可知当两平行线与A，B两点所在直线垂直时，两平行线间的距离d最大，求出两点间的距离，可得答案
【详解】易知当两平行线与A，B两点所在直线垂直时，两平行线间的距离d最大，
即，所以，故距离d可能等于5，12，13．
故选：BCD
【点睛】此题考查两点间的距离公式的应用，属于基础题
10. 已双曲线C：，则（）
A. 双曲线C的实轴长为定值
B. 双曲线C的焦点在y轴上
C. 双曲线C的离心率为定值
D. 双曲线C的渐近线方程为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由双曲线的方程整理标准方程可得，的值，进而可得的值，再判断出各选项的真假．
【详解】由曲线，整理可得，
所以曲线表示焦点在轴上的双曲线，且，
不是定值，所以A不正确，B正确；
离心率为定值，所以C正确；
渐近线的方程为，即，所以D正确．
故选：BCD．
11. 已知直线，圆，则下列选项中正确的是（）
A. 圆心的轨迹方程为
B. 时，直线被圆截得的弦长的最小值为
C. 若直线被圆截得的弦长为定值，则
D. 时，若直线与圆相切，则
【答案】BC
【解析】
【分析】首先表示出圆心坐标，即可判断A，再求出直线过定点坐标，由弦长公式判断B，求出圆心到直线的距离，当距离为定值时，弦长也为定值，即可判断C，求出圆心到直线的距离，即可判断D；
【详解】解：圆的圆心坐标为，
所以圆心的轨迹方程为，故A错误；
直线，令，解得，即直线恒过点，
当时圆，圆心为，半径，又，
所以直线被圆截得的弦长的最小值为，故B正确；
对于C：若直线被圆截得的弦长为定值，则圆心到直线的距离为定值，
所以，解得，故C正确；
对于D：当时直线，圆心到直线的距离，
若直线与圆相切，则，故D错误；
故选：BC
12. 已知椭圆，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上异于，的一个动点.下列结论中，正确的有（）
A. 椭圆的长轴长为8B. 满足的面积为4的点恰有4个
C. 的的最大值为16D. 直线与直线斜率乘积为定值
【答案】ABC
【解析】
【分析】由椭圆方程可得的值，即可判断A；根据三角形面积公式求得，，根据椭圆对称性可判断B；利用椭圆定义结合基本不等式可判断C；根据直线斜率的计算结合椭圆方程可判断D.
【详解】由椭圆 可得,则，
∴椭圆E的长轴长为，故A正确；
设P的纵坐标为，则，
故,则，
即点P为
即根据椭圆的对称性可得满足的面积为4的点P恰有4个，故B正确；
∵，
∴，
当且仅当时取等号，故C正确；
设，则，
则，故，D错误，
故选：ABC
三、填空题：本题共4小题，共20分.
13. 双曲线的渐近线方程是______________；离心率是________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由双曲线的标准方程求出a、b，即可求出渐近线方程和离心率.
【详解】因为双曲线的标准方程为，所以，
所以，所以渐近线方程为；
离心率.
故答案为：；.
14. 直线恒过的定点坐标是______.
【答案】
【解析】
【分析】
直线方程可化为，从而可得，解方程组即可.
【详解】直线方程可化为
因对任意，方程恒成立，所以
解得故直线恒过定点
故答案为：
15. 抛物线上的两点、到焦点的距离之和是，则线段的中点到轴的距离是_____．
【答案】2
【解析】
【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离
【详解】∵F是抛物线y2=2x的焦点F（，0），准线方程x=，设A（x1，y1）B（x2，y2），
∴|AF|+|BF|=x1++x2+=5，解得x1+x2=4，∴线段AB的中点横坐标为：2．
故线段的中点到轴的距离是2.
故答案为：2
16. 设分别是椭圆的左、右焦点，若是该椭圆上的一个动点，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量数量积的坐标表示，椭圆的性质及二次函数的性质即得.
【详解】设，由题可知，则，
∴
，
又，
所以当时，有最小值，最小值为.
故答案为：.
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知直线
（1）求直线与的交点，并求它到直线的距离；
（2）求经过与的交点，且与垂直的直线的方程；
（3）求经过与的交点，且与平行的直线的方程.
【答案】17. 交点，距离
18.
19.
【解析】
【分析】（1）根据两直线的交点坐标的求解方法和点到直线的距离公式求解；
（2）根据两直线垂直的斜率关系和点斜式进行求解；
（3）根据两直线平行的斜率关系和点斜式进行求解.
【小问1详解】
由，得交点为，
所以点到直线的距离为；
【小问2详解】
因为，直线的斜率为，所以直线的斜率为，
根据点斜式得，即；
【小问3详解】
因为，所以直线的斜率为，
根据点斜式得，即；
18. 已知圆，过点的直线与交于点，，且.
（1）求圆的圆心坐标和半径：
（2）求的方程；
（3）设为坐标原点，求的值.
【答案】（1）圆心，半径
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将圆的方程化为标准方程即可得解；
（2）分直线得斜率是否存在讨论，结合圆的弦长公式即可得解；
（3）设，联立方程，利用韦达定理求出，再根据数量积得坐标公式即可得解.
【小问1详解】
将圆化为标准方程：，
则圆心，半径；
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
在圆中，
令，得，解得，
此时，与题意矛盾，
所以直线斜率存在，设斜率为，
则直线的方程为，即，
因为，
所以圆心到直线的距离，
所以，解得，
所以直线的方程为，
综上所述，直线的方程为；
【小问3详解】
设，
联立，消得，
则，
故，
所以.
19. 已知双曲线过点，它的渐近线方程为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设和是这双曲线的左、右焦点，点在这双曲线上，且，求的大小.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由双曲线的渐近线方程可设双曲线的方程为，；又因为双曲线过点，将的坐标代入可得；将代入可得答案；
（2）设，，根据题意有，又由双曲线的几何性质知，结合平方差公式可得的值，又，结合勾股定理可得答案．
【小问1详解】
解：根据题意，双曲线的渐近线方程为，
可设双曲线的方程为，；
双曲线过点，将的坐标代入可得，解得，
则所求的双曲线方程为；
【小问2详解】
解：设，，则，
又由双曲线的几何性质知，
即有，
又，
所以是直角三角形，则．
20. 已知动点到直线的距离与它到点的距离之差为
（1）求点的轨迹方程，并写出焦点坐标和准线方程；
（2）若曲线的准线与轴的交点为，点在曲线上，且，求的面积；
（3）若过点的直线交曲线于两点，求证：以为直径的圆过原点.
【答案】（1），焦点坐标，准线方程.
（2）.
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据抛物线定义解题即可；
（2）由（1）得出，点坐标，再由两点间距离公式和，求出点纵坐标，结合三角形面积公式即可求解；
（3）设过点直线方程为，，联立直线与抛物线方程求出所以和，根据弦长公式求出圆的半径，再根据原点到圆心的距离等于半径，即可证明.
【小问1详解】
设，点到直线的距离与它到点的距离之差为，所以点到直线的距离与它到点的距离相等，由抛物线定义可得点的轨迹方程为，其中焦点坐标为，准线方程为.
【小问2详解】
由（1）可得，，因为点在曲线上，所以设，
因为，所以，
化简可得，又，所以.
【小问3详解】
设过点直线方程为，联立，化简得，
,
设，所以，，
所以
所以以为直径的圆圆心为，即，
半径为
坐标原点到圆心的距为离，
所以以为直径的圆过原点.
21. 已知椭圆的右焦点，椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为.
（1）求椭圆的离心率的值.
（2）若直线经过点，且与椭圆相交于两点，已知点为弦的中点，求直线的方程.
（3）已知平面内有点，求过这个点且和椭圆相切的直线方程.
【答案】（1）
（2）
（3）和
【解析】
【分析】（1）根据题意求出，再根据椭圆的离心率公式即可得解；
（2）先求出椭圆的方程，再利用点差法求解即可；
（3）分直线斜率是否存在讨论，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立方程，根据即可得解.
【小问1详解】
由题意可得椭圆得焦半径，，故，
所以椭圆的离心率；
【小问2详解】
由（1）得，
所以椭圆得方程为，
设，
因为点为弦的中点，
所以，
由，
两式相减得，
即，
所以，即，
所以直线的方程为，即；
【小问3详解】
当所求直线斜率不存在时，直线方程为，
此时直线与椭圆相切，符合题意，
当所求直线斜率存在时，设直线方程为，
联立，消得，
则，解得，
所以所求直线的方程为，
综上所述，过点且和椭圆相切的直线方程为和.
【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：
（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.
22. 已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上.
求椭圆的方程；
直线：与椭圆有且仅有一个公共点，且与轴和轴分别交于点，，当面积取最小值时，求此时直线的方程.
【答案】；或.
【解析】
【分析】
根据椭圆的对称性，必过，，必不过，进而代入坐标求出椭圆的方程；
将直线与椭圆方程联立，写出一元二次方程的形式，结合根的判别式和基本不等式，求出，，进而求出直线的方程.
【详解】解：根据椭圆的对称性，必过，，必不过，
代入点得，，代入点得，.
椭圆的方程为：.
由，可得.
直线与椭圆有且仅有一个公共点，可知，
整理得.
由条件可得，，，
，
，
.
，，
当且仅当，即，时等号成立，最小值为，
，
，又由，解得.
故此时直线的方程为或.