重庆市杨家坪中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题

这是一份重庆市杨家坪中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线的倾斜角为（ ）
A.B.C.D.
2.圆与圆的位置关系为（ ）
A.相交B.内切C.外切D.外离
3.已知两条直线：，则（ ）
A.1或-6B.-6C.-1D.1
4.正四面体ABCD的棱长为1，点为CD的中点，点为AM的中点，则BO的长为（ ）
A.B.C.D.
5.椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（ ）
A.1B.2C.D.
6.在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱的中点，则点到直线AE的距离为（ ）
A.B.C.D.
7.已知直线与圆，点P，Q在直线上，过点作圆的切线，切点分别为A，B，当|PA|取最小值时，则的最小值为（ ）
A.B.C.D.
8.已知椭圆的焦点为，直线与椭圆交于M、N，若，则椭圆的离心率为（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知椭圆，则椭圆的（ ）
A.焦点在轴上B.长轴长为10C.短轴长为4D.离心率为
10.下列命题正确的有（ ）
A.已知向量的夹角为针角，则实数的取值范围为
B.向量在向量上的投影向量的模为
C.为空间任意一点，若，若四点共面，则
D.设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是
11.已知点在圆上运动，则（ ）
A.的取值范围是B.的最小值是
C.的最大值为
D.若直线，则满足到直线的距离为的点有3个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.直线关于点对称的直线方程为______________.
13.直线被圆截得的弦长为，则______________.
14.已知棱长为2的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为______________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）已知直线.
（1）求过直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程；
（2）求过点，且圆心在直线上的圆的方程.
16.（本小题满分15分）已知直线，椭圆
（1）求证：对于任意实数，直线过定点，并求出点坐标；
（2）当时，求直线被椭圆截得的弦长.
17.（本小题满分15分）如图，正方形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，平面平面平面ABCD，且.
（1）求证：平面ABCD；
（2）求平面ABF与平面EBF夹角的余弦值.
18.（本小题满分17分）如图1，在边长为4的棱形ABCD中，，点M，N分别是边BC，CD的中点，.沿MN将翻折到的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥.
（1）在翻转过程中是否总有平面平面PAG？证明你的结论；
（2）设点E为线段PA的中点，点在线段BE上，且，当四棱锥MNDB的体积最大时，是否存在满足条件的实数，使直线MQ与平面PAB所成角的正弦值的最大值.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19.（本小题满分17分）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点到的距离是点到的距离的2倍.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点作直线，交轨迹于P，Q两点，P，Q不在轴上.
（i）过点作与直线垂直的直线，交轨迹于E，F两点，记四边形EPFQ的面积为，求的最大值；
（ii）设轨迹与轴正半轴的交点为，直线OP，CQ相交于点，试证明点在定直线上，并求出该直线方程.
命题人：袁峰
审题人：周雅娜
11月月考数学试题参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.B 2.C 3.D
4.A 【详解】：设，由题意可知因为，所以
5.B 【详解】：由题意可知，焦距等于2
6.D 【详解】：以D为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，可得，则方向的单位向量，那么，所以F到直线AE的距离
7.C 【详解】：当时，|PA|最小，由点到直线的距离公式可得此时，过A作直线的对称点，再连接，与直线的交点即为所找的Q点（其实就是P点），所以的最小值等于
8.A 【详解】：由椭圆对称性知，原点O为MN的中点，因为，
，又直线MN的倾斜角为
，又，
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.BD 10.BCD 11.AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.13.0或10
14. 【详解】：以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设点，所以，
所以，
因为表示点与点之间距离的平方，
所以当点的坐标为时，取得最大值为，
当与点重合时，取得最小值-2，所以的取值范围为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）【详解】（1）由解得，，即直线与的交点为，………………………………………………………………………………………………2分
直线的斜率为直线的斜率，…………………………………4分
直线的方程为，即：.………………………………………6分
（2）设圆的方程为，
则由题意有，………………………………………………………………9分
解得，，………………………………………………………………………………………12分
所以，圆的方程为.…………………………………………………………13分
16.（本小题满分15分）【详解】（1）因为，
………………………………………………………………………………………………………………2分
由，…………………………………………………………………………5分
此时，不管取何值，必成立.
所以直线必过定点.………………………………………………………………………………6分
（2）当时，直线的方程为，………………………………………………………7分
设直线与椭圆的交点为，
由消去得，，………………………9分
，………………………………………………………………………………11分
……………………………………………………………………13分
.………………………………………………………………………15分
17.（本小题满分15分）【详解】（1）如图，过点E作于，连接HD.
正三角形BCE的边长为.
平面平面ABCD，平面BCE
平面平面平面ABCD………………………………………………3分
又平面………………………………………………………4分
四边形EHDF为平行四边形.，…………………………………………………………5分
平面平面平面ABCD………………………………………7分
（2）平面ABCD，且ABCD为正方形，
以点坐标为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图.
则
.………………………………………………9分
设平面ABF的法向量为，
由，得，
令，则，所以平面ABF的法向量.…………………………………11分
设平面EBF的法向量为，
由，得，
令，则，所以平面EBF的法向量.………………………13分
设平面ABF与平面EBF的夹角为，
则.
所以平面ABF与平面EBF夹角的余弦值为.……………………………………………………15分
18.（本小题满分17分）【详解】（1）在翻转过程中总有平面平面PAG.………………分
证明如下：点M，N分别是边BC，CD的中点，又，……………………2分
且是等边三角形，是MN的中点，.…………………………………………3分
棱形ABCD的对角线互相垂直，，……………………………………………4分
平面平面PAG，
平面PAG，……………………………………………………………………………………………6分
平面PAG，
平面平面平面PAG.………………………………………………………………8分
（2）由题意知，四边形MNDB为等腰梯形，且，
所以等腰梯形MNDB的面积.
要使得四棱锥的体积最大，只要点到平面MNDB的距离最大即可.……………………9分
以点为坐标原点，GA、GM、GP所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图.………………………………………………………………………………………………………………10分
则，
点为线段PA的中点，，
设，则，………………………………………12分
，
设平面PAB的法向量为，
由，得，
令，则，所以平面PAB的法向量.…………………………………14分
又，
设直线MQ与平面PAB所成角为，
则.……16分
当且仅当时，取得最大值……………………………………………………………………17分
19.（本小题满分17分）【详解】（1）设点，由题意可得，
即，……………………………………………………………………1分
化简得，所以点的轨迹的方程为……………………………3分
（2）由题易知直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，…………………………………………………5分
（i）若，则直线的斜率不存在，
易得，则；…………………………………………6分
若，则直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，…………………………………………7分
则
……………………9分
当且仅当即时，取等号，
综上所述，因为，所以的最大值为7.…………………………………………10分
（ii），设，
联立消得，
则，……………………………………………………………………12分
所以直线OP的方程为，直线CQ的方程为，…………………………13分
联立解得……………………………………………………………14分
则，
所以，所以点在定直线上.……………………………………………17分