湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知的定义域为则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
6．放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量与时间（单位：天）的函数关系式为（其中为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量约变为（ ）（参考数据：）
A．B．C．D．
7．设函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．1B．2C．0D．4
8．已知定义在R上的函数满足：，都有，且对任意，，都有，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．下列四个结论中正确的是（ ）
A．，，
B．命题“，”的否定是“，”
C．“”是“”的充分不必要条件
D．“”的充要条件是“”
10．下列命题中正确的是（ ）
A．任意非零实数a，b，都有
B．若正数x，y满足，则的最小值为3
C．当时，的最大值是5
D．当时，的最小值是2
11．已知函数的定义域为，且满足，当时，，则（ ）
A．是奇函数B．是增函数
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知幂函数在上单调递增，则的值为_________．
13．已知函数为奇函数，则等于_________．
14．正实数a，b满足，则的最小值为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．计算：
（1）；
（2）已知，，求的值．
16．记函数的定义域为集合，函数的定义域为集合，
（1）求和；
（2）若，，且中只有三个整数元素，求实数p的取值范围．
17．随着中国老龄化趋势加深、医保体制日益健全以及人民生活水平不断提升，人均医疗保健消费支出和卫生费用保持快速增长，低值医用耗材市场增速客观．某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
（1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）；
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
18．已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求m，n的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
19．若定义在上的函数满足对任意的区间，存在正整数，使得，则称为上的“阶交汇函数”．对于函数，记，，，…，，其中，并对任意的，记集合，并规定．
（1）若，函数的定义域为，求并判断是否为上的“2阶交汇函数”；
（2）若函数，试比较和的大小；
（3）设，若函数的定义域为，且表达式为：，试证明对任意的区间，存在正整数，使得为上的“阶交汇函数”．
株洲市二中2024年下学期高一年级期中考试试卷
数学试题参考答案
1．【答案】D
【分析】利用列举法表示集合A，再利用并集的定义求解即得．
【详解】依题意，集合，而，所以．
故选：D
2．【答案】A
【分析】由等价，再结合充分条件、必要条件的概念即可判断．
【详解】由可得，
因为，所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：A
3．【答案】A
【分析】应用抽象函数定义域求解即可．
【详解】因为的定义域为，所以所以的定义域为．
故选：A．
4．【答案】B
【分析】根据指数函数性质以及中间量“1”即可比较大小．
【详解】根据指数函数性质知，即，
又因为，则．
故选：B．
5．【答案】C
【分析】利用均值不等式结合指数幂的运算即可求得答案
【详解】解：因为，所以，
因为，，所以，
当且仅当即时，取等号，故的最小值为6，
故选：C
6．【答案】B
【分析】根据时，代入函数关系式中，可得的值，进而代入求解即可．
【详解】由题意，钱89半衰期（质量衰减一半所用的时间）所用时间为50天，
即，则，
所以质量为的锶89经过30天衰减后，
质量大约为；
故选：B．
7．【答案】2
【分析】构造函数，即，可证为奇函数，结合奇函数的性质，可求得结果．
【详解】，设，，
且，则为奇函数，
，则，所以，，
所以，所以．
故答案为：2．
8．【答案】A
【分析】由题可得图象关于对称，且在上单调递减，据此可得答案．
【详解】令，则，因，
则，则图象关于对称；
又对任意，，都有，
则在上单调递减，又图象关于对称，
则在上单调递增，在上单调递减．
．
故选：A
9．【答案】ABD
【分析】根据存在量词命题、全称量词命题、充分和必要条件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
【详解】对于A，，解得，，
即，，，A正确；
对于B，根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：
命题“，”的否定为：，，B正确；
对于C，若，则不一定成立，如，但，
反之，若，则，所以“”是“”的必要不充分条件，C错误；
对于D，由于是增函数，所以：若，则，反之若，则，
所以“”的充要条件是“”，D正确．故选：ABD．
10．【答案】BC
【分析】举例说明判断A；利用基本不等式“1”的妙用求解判断B，利用基本不等式求出最值判断CD．
【详解】对于A，取，，而，A错误；
对于B，正数x，y满足，则，当且仅当时取等号，B正确；
对于C，当时，，当且仅当时取等号，C正确；
对于D，当时，，当且仅当时取等号，D错误；故选：BC
11．【答案】ABD
【分析】求出，令可判断A；不妨设可得，根据是奇函数可判断B；令可得，根据单调性可判断CD．
【详解】对于A，令，则；令，则，
为奇函数，故A正确；
对于B，不妨设，则，
，在为增函数，又是奇函数，
在为增函数，故B正确；
对于CD，令，则，，故C错误D正确．
故选：ABD．
12．【答案】2
【分析】先根据幂函数定义确定的可取值，再根据单调性确定出的值．
【详解】因为为幕函数，所以，所以，
当时，，在上单调递增，符合；
当时，，在上单调递减，不符合；故答案为：2．
13．【答案】
【分析】根据奇函数求出时的解析式，对照所给解析式得出a，b即可得解．
【详解】设，则，所以，所以，
又当时，，所以，，故，
故答案为：．
14．【答案】
【分析】根据已知条件得关于的方程，再将平方并替换，最后使用基本不等式求解即可．
【详解】依题意，因为，
所以，所以，
即
，
当且仅当，即，故取等号，
所以的最小值为．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是根据已知条件得
关于的方程，再将平方并替换，最后使用基本不等式求解即可．
15．【答案】（1）
（2）
【分析】（1）由指数运算法则，直接计算即可得解．
（2）先根据指数运算法则化简所求式子，然后将已知条件代入，利用换底公式化简计算即可求解．
【详解】（1）
．
（2）因为，，
所以
．
16．【答案】（1），（2）
【分析】（1）先分别求出函数、的定义域A、B，再利用交集、并集的定义可求出和．
（2）由，得到A与C的关系，即可求出实数的取值范围．
【详解】（1），解得函数的定义域为集合．
函数的定义域为集合．
，解得；
函数的定义域为集合．
，．
（2），；
由中只有三个整数元素可得，，
又，，解得：，故．
【点睛】本题考查了集合的交集和并集运算，根据交集结果求参数．
17．【答案】（1）
（2）综上可知，该产品的年产量为70台时，公司所获利润最大，最大利润是1760万元．
【分析】（1）根据已知条件，结合利润＝销售收入－成本的公式，分，两种情况讨论，即可求解．
（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．
【详解】（1）由题意可得：当时，
当时，，
故．
（2）当时，，
得时万元；
当时，，
当且仅当，即时等号成立，此时万元．
综上可知，该产品的年产量为70台时，公司所获利润最大，最大利润是1760万元．
18．【答案】（1），；
（2）单调递增，证明见解析
（3）
【分析】（1）由题可得图象过点结合可得m，n的值；
（2）由单调性证明步骤可证得结论；
（3）由题可得，后讨论结合单调性可得，即可得范围．
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，且，
则，解得．所以函数，
经检验，函数为奇函数，所以，；
（2）在上单调递增．
证明如下：设
则，
其中，，
所以，即，
故函数在上单调递增；
（3）因为对任意的，总存在，使得，所以，
因为在上单调递增，所以，
当时，；所以恒成立，符合题意；
当时，在上单调递增，则，
所以，解得；
当时，函数在上单调递减，
则，所以，解得．，
综上所述，实数的取值范围为．
19．【答案】（1），为上的“2阶交汇函数”
（2）（1）（2）
（3）证明见解析
【分析】（1）根据新定义直接计算；
（2）根据新定义直接求值比较即可；
（3）由函数定义说明的长度不变，然后得出在，，，…，（存在正整数，它们的长度和大于1）中，必然存在正整数，，使得，再分析得到对任意的，，，进而得到，，从而证明结论成立．
【详解】（1）因为函数在上单调递增，
所以当时，，所以，
当时，，所以，
因为，
所以为上的“2阶交汇函数”．
（2）由，，
则，，，
根据周期性可得，
，，
根据周期性可得，所以．
（3）证明：对于任意有限的区间，记表示区间的长度，如果一个集合A是若干个区间的并集，则等于组成它的所有区间的长度之和，
对于任意的区间，，，
不妨设，，
若，则，，
若，则，，
若，则，，
所以，
对于任意的区间，显然存在正整数，使得，
因此在，，，…，（它们的长度和大于1）中，
必然存在正整数，，使得，
因此必存在，，使得，
又，则，
则当时，，
当时，，
又，因此对任意的，，，
所以，，…，，
这表示，取，
所以对任意的区间，存在正整数，使得，
即对任意的区间，存在正整数，使得为上的“阶交汇函数”．
【点睛】方法点睛：对于函数新定义问题，关键是正确理解新定义，能迅速运用新定义解题，加速理解新定义，在问题（3）的证明中抓住函数的定义域区间“长度”与值域“长度”不变，从而有，然后利用新定义追根溯源得出．