小学数学北师大版（2024）六年级下册正比例导学案

这是一份小学数学北师大版（2024）六年级下册正比例导学案，共13页。学案主要包含了选择题，填空题，判断题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分
知识清单
正方形的周长随着边长的增加而增加,周长与边长的比值不变。
正方形的面积随着边长的增加而增加,面积与边长的比值不相等。
路程和时间两个量，时间变化，所行驶的路程也随着变化，而且路程与时间的比值（也就是速度）一定，我们就说路程和时间成正比例。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种相关联的量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示他们的比值（一定），正比例关系可以表示为： SKIPIF 1 < 0 =k（一定）
判断两个量是否成正比例，要先看这两个量是不是相关联的量，再运用数量关系式进行判断，看这两个量的比值是否一定，最后得出结论。
第二部分
典型例题
例1：下面是关于2022年北京冬奥会的信息，其中成正比例关系的是（ ）。
A．参加冬奥会的男运动员人数与女运动员人数
B．冬奥会已建场馆数与未建场馆数
C．北京到崇礼区的高铁列车，行驶的速度与时间
D．用相同的大巴车接送运动员，在每辆车恰好坐满的情况下，接送运动员的总人数与大巴车的数量
答案：D
分析：两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系。据此解答。
详解：A．男运动员人数＋女运动员人数＝运动员总人数，参加冬奥会的男运动员人数与女运动员人数的和一定，不成比例；
B．已建场馆数＋未建场馆数＝冬奥会场馆总数，冬奥会已建场馆数与未建场馆数的和一定，不成比例；
C．速度×时间＝路程，北京到崇礼区的路程一定，则高铁列车行驶的速度与时间的积一定，但是比值或商一定，那么行驶的速度与时间不成正比例关系；
D．接送运动员的总人数÷大巴车的数量＝每辆大巴车的载客量（一定），则接送运动员的总人数与大巴车数量的商一定，则接送运动员的总人数与大巴车的数量成正比例关系。
故答案为：D
例2：一列火车从甲地开往乙地，10小时行驶了800千米，离乙地还有160千米，照这样行完全程还需要几小时？
解答此题时，同学们有以下几种方法，其中解答错误的是（ ）。
A．设还需要x小时。 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 B．设还需要x小时。10∶800＝160∶x
C．160÷（800÷10）D．10÷（800÷160）
答案：B
分析：根据速度＝路程÷时间，用800÷10即可求出火车的速度，然后根据时间＝路程÷速度，用160÷（800÷10）即可求出行完全程还需要多少小时；
如果列方程解决问题，则设完全程还需要x小时，速度不变，路程和时间成正比例，列比例为：800∶10＝160∶x；
也可以用800÷160求出800千米里面有几个160千米，也就是5个，5个160千米需要花10小时，则用10÷5即可求出160千米需要花多少小时；据此解答。
详解：根据分析可知，用列算式解答可以是160÷（800÷10）和10÷（800÷160）；
如果用列方程解决问题，设还需要x小时。列方程为：10∶800＝160∶x，也就是 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 。
其中解答错误的是：设还需要x小时。10∶800＝160∶x。
故答案为：B
例3：如果 SKIPIF 1 < 0 （m、n都不为0），那么 SKIPIF 1 < 0 ( )，m和n成( )比例。
答案： SKIPIF 1 < 0 正
分析：根据题意，可先将 SKIPIF 1 < 0 改写成7m＝5n，然后等式两边同时除以7，除以n，即可通过转化得出m和n的比。或根据比例的基本性质直接得到。根据x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系，即可确定m和n的比例关系。
详解：由 SKIPIF 1 < 0 可得7m＝5n
7m÷7÷n＝5n÷7÷n
m÷n＝5÷7＝ SKIPIF 1 < 0
所以，m∶n＝5∶7，m和n成正比例关系。
例4：春光服装厂童装车间要做612套学生服。头5天做了170套，照这样速度，其余的还需要( )天做完。
答案：13
分析：由题意，每天加工衣服的速度是一定的，加工的衣服套数与天数的比值是一定的，即加工的衣服套数与天数成正比例，据此列比例求解。
详解：由分析可得；
解：设其余的还需要x天做完，
（612－170）∶x＝170∶5
170x＝5×（612－170）
170x＝5×442
170x＝2210
170x÷170＝2210÷170
x＝13
综上所述：春光服装厂童装车间要做612套学生服。头5天做了170套，照这样速度，其余的还需要13天做完。
：基础过关练
一、选择题
1．已知 SKIPIF 1 < 0 ＝c（a，b均不为0），当哪个量一定时，另外两个量成正比例？（ ）
A．aB．bC．cD．都不是
2．下面各题，两种量成正比例关系的是（ ）。
A．汽车的速度一定，行驶的时间和路程B．圆的面积与它的半径
C．平行四边形面积一定，它的底和高D．长方形周长一定，它的长和宽
3．能够表示a和b这两种量成正比例关系的是（ ）。
A．a＋b＝8B．a－b＝8C．a×b＝8D．a÷b＝8
4．下面说法中正确的是（ ）。
A．圆的半径与圆的面积成正比例B．半径是2分米的圆，周长和面积相等
C．圆锥的体积是圆柱体积的 SKIPIF 1 < 0 D．M的 SKIPIF 1 < 0 与N的 SKIPIF 1 < 0 相等（M、N≠0），则M小于N
5．下列不成正比例关系的是（ ）。
A．速度一定，路程和时间B．圆的周长和直径
C．看一本书，已看的和没看的D．三角形高一定，它的面积和底
二、填空题
6．如果a和b是两个相关联的量，且9a＝7b，那么a∶b＝( )（填比值），a和b成( )比例。
7．已知 SKIPIF 1 < 0 （a、b均不为0），则a、b成( )比例， SKIPIF 1 < 0 ＝( )。
8．已知m∶8＝n∶20（m、n均不为0），则m、n成( )比例， SKIPIF 1 < 0 ( )。
9．下面分别是正方形的周长与边长的变化情况，把表填完整。
分析与解答：正方形边长变化，周长也随着变化，但这两个量的比值（商）是一定的：边长÷周长＝( )或周长÷边长＝( )。
10．如果6A＝2.4B（A、B均不为0），那么A与B成( )比例；A与B的最简整数比是( )。
11．一辆车匀速行驶，路程是s千米，时间是t小时，路程和时间的比值是( )，路程和时间成( )比例。
三、判断题
12．若圆锥的底面积一定，则体积与高成正比例。( )
13．订阅《悦读悦享》的总价和订阅份数成正式例。( )
14．在除法中，商和余数一定，被除数与除数成正比例。( )
15．如果A和B成正比例关系，那么2A和B也成正比例关系。( )
16．正方形的边长和面积成正比例。( )
：基础过关练
四、解答题
17．科学兴趣小组在操场同一时间观察实验，当竹竿高3米，测量竿影长1.2米，如果影长3.2米，竹竿的高度应该是多少米？（用比例解答）
18．龙龙制作了一个摩天轮模型，高度是50厘米，摩天轮的模型高度与实际高度的比是 SKIPIF 1 < 0 ，摩天轮的实际高度是多少米？
19．小明看一本500页的故事书，前3天看了150页，照这样计算，他看完这本故事书还要多少天？（用比例解）
20．一种农药，药液与药水的比是1∶120。如果配制900千克的农药，需要药液多少千克？（用比例解）
21．古时候，“小山羊”在人们的生活中起着“钱”的作用。4只羊可以换6把斧头。（用比例解）
（1）12只羊可以换多少把斧头？
（2）要换9把斧头，需要几只羊？
1．C
分析：判断两个相关联的量之间成正比例，就看这两个量是对应的比值一定，据此解答；
详解： SKIPIF 1 < 0 ＝c（a，b均不为0），c也不为0，当c一定时，b和a成正比例。
已知 SKIPIF 1 < 0 ＝c（a，b均不为0）。当c一定时，另外两个量成正比例。
故答案为：C
点睛：熟练掌握正比例意义是解答本题的关键。
2．A
分析：A．根据反比例的意义，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，两种相关联的量中相对应的两个数的乘积一定，这两种相关联的成反比例，据此判断；
B．根据圆的面积公式：S＝πr2，因为圆周率一定，所以圆的面积与半径的平方成正比例，圆的面积与半径不成比例。据此判断；
C．根据平行四边形的面积公式：S＝ah，平行四边形面积一定，它的底和高成反比例。据此判断；
D．根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，所以长方形的周长一定，长和宽不成比例，据此判断。
详解：A．汽车的速度一定，行驶的时间和路程成正比例；
B．圆的面积与半径不成比例；
C．平行四边形面积一定，它的底和高成反比例；
D．长方形的周长一定，长和宽不成比例。
故答案为：A
点睛：此题考查的目的是理解掌握正反比例的意义及应用。
3．D
分析：判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例。据此，对选项逐一分析即可。
详解：A．a＋b＝8，a和b这两种量既不是比值一定，也不是乘积一定，所以二者不成比例；
B．a－b＝8，a和b这两种量既不是比值一定，也不是乘积一定，所以二者不成比例；
C．a×b＝8，a和b这两种量乘积一定，等于8，所以二者成反比例；
D．a÷b＝8，a和b这两种量比值一定，等于8，所以二者成正比例。
故答案为：D
点睛：本题属于辨识正反比例的量，主要看两个量是比值一定，还是乘积一定，据此作出判断即可。
4．D
分析：根据学过的相关知识逐项分析。
详解：A． SKIPIF 1 < 0 ＝π×圆的半径，比值不一定，则圆的半径与圆的面积不成正比例，此选项说法错误；
B．周长和面积属于不同的范畴，无法比较大小，此选项说法错误；
C．等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的 SKIPIF 1 < 0 ，此选项缺少“等底等高”这个前提，说法错误；
D．M的 SKIPIF 1 < 0 与N的 SKIPIF 1 < 0 相等，则M× SKIPIF 1 < 0 ＝N× SKIPIF 1 < 0 ，设M× SKIPIF 1 < 0 ＝N× SKIPIF 1 < 0 ＝1，则M＝ SKIPIF 1 < 0 ，N＝3， SKIPIF 1 < 0 ＜3，说明M小于N，此选项说法正确。
故答案为：D
点睛：本题考查了正比例的辨认、周长和面积的认识、圆柱和圆锥体积的关系、分数乘法等，要熟练掌握相关知识并灵活运用。
5．C
分析：根据成正比例关系的意义判断。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
详解：A. SKIPIF 1 < 0 ，速度一定，路程和时间成正比例；
B． SKIPIF 1 < 0 ，圆的周长和直径成正比例；
C．已看的页数＋没看的页数＝一本书的页数，已看的和没看的不成比例；
D． SKIPIF 1 < 0 ，三角形高一定，它的面积和底成正比例。
故答案为：C
点睛：熟知正比例关系的含义是解题的关键。
6． SKIPIF 1 < 0 正
分析：比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，据此可知a和b的比值是多少；判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
详解：因为9a＝7b
所以a∶b
＝7∶9
＝ SKIPIF 1 < 0
a和b的比值一定，所以它们成正比例。
点睛：本题主要考查了比例的基本性质、正比例的意义和辨识。注意比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数。
7． 正 0.06
分析：根据比和分数的关系，比的前项相当于分母，比的后项相当于分子，即原式变为：5a∶6＝b∶20，根据比例的基本性质：内项积＝外项积，则5a×20＝6b，即100a＝6b，再根据等式的性质2，等式两边同时除以b，再同时除以100，即a÷b＝0.06，当两个相关联的量比值一定，则成正比例关系，据此即可填空。
详解：由分析可知：
SKIPIF 1 < 0 （a、b均不为0），则a、b成正比例， SKIPIF 1 < 0 ＝0.06
点睛：本题主要考查比例的基本性质以及正比例的判定方法，熟练掌握它们的公式以及含义是解题的关键。
8． 正 SKIPIF 1 < 0
解析：略
9． 4 8 12 16 SKIPIF 1 < 0 4
分析：根据成正比例的两个量的关系，判断其比例关系。
详解：2×4＝8（cm）
3×4＝12（cm）
4×4＝16（cm）
4÷1＝4
8÷2＝4
12÷3＝4
16÷4＝4
如图：
因为根据成正比例关系的两个量的意义，周长∶边长＝4（一定），正方形的周长与边长成正比例。
据此可得：分析与解答：正方形边长变化，周长也随着变化，但这两个量的比值（商）是一定的：边长÷周长＝ SKIPIF 1 < 0 或周长÷边长＝4。
点睛：此题主要考查正方形的特征、周长的计算方法、以及正比例的意义。
10． 正 2∶5
分析：依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可作答；再据正反比例的意义，即可判定A和B成什么比例。
详解：如果6A＝2.4B（A、B均不为0），
则A∶B
＝2.4∶6
＝2∶5
＝ SKIPIF 1 < 0 （定值）
因此A与B成正比例；A与B的最简整数比是2∶5。
点睛：此题主要考查比例的基本性质以及正反比例的意义。
11． SKIPIF 1 < 0 正
分析：根据速度＝路程÷时间，可知路程和时间的比值是速度，比值一定时，路程和时间成正比例，据此解答即可。
详解：由分析可知；一辆车匀速行驶，路程是s千米，时间是t小时，路程和时间的比值是 SKIPIF 1 < 0 ，路程和时间成正比例。
点睛：根据路程、时间、速度的关系和正比例的判定方法，解答此题即可。
12．√
分析：判断圆锥的体积与高成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例。
详解：圆锥的体积÷高＝圆锥的底面积× SKIPIF 1 < 0 （一定），是比值一定，圆锥的体积与高成正比例。
故答案为：√
点睛：此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做出判断。
13．√
分析：根据公式：总价÷订阅份数＝单价，由于每本《悦读悦享》的价格是固定的，所以单价一定；当两个相关联的量的比值一定，则成正比例关系，据此即可判断。
详解：由分析可知：
总价÷订阅份数＝单价（一定），则订阅《悦读悦享》的总价和订阅份数成正式例。原题说法正确。
故答案为：√
点睛：本题主要考查正比例的判定方法，熟练掌握它的意义是解题的关键。
14．×
分析：判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，如果是比值一定，就成正比例；据此解答。
详解：被除数÷除数＝商……余数
在除法中，商和余数一定，被除数与除数不成正比例，在除法中，当余数为0时，被除数与除数成正比例。
例如：5÷2＝2……1
7÷3＝2……1
原题干说法错误。
故答案为：×
点睛：熟练掌握正比例的意义是解答本题的关键。
15．√
分析：两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系。如果A和B成正比例关系，则A和B的比值一定。设 SKIPIF 1 < 0 ＝x（一定），那么 SKIPIF 1 < 0 ＝2x（一定），据此解答。
详解：根据正比例的意义，设 SKIPIF 1 < 0 ＝x（一定），那么 SKIPIF 1 < 0 ＝2x（一定），2A和B的比值一定，则2A和B成正比例关系。原题说法正确。
故答案为：√
点睛：本题考查正比例的意义和辨认。根据A和B的比例关系，推导出2A和B的比值一定是解题的关键。
16．×
分析：两个相关联的量，当比值一定时，成正比例关系，据此解答。
详解：正方形面积＝边长×边长；边长＝ SKIPIF 1 < 0 ，比值不一定，所以正方形边长和面积不成正比例。
原题干说法错误。
故答案为：×
点睛：明确正比例的意义是解答本题的关键。
17．应该是8米
分析：根据题意知道，物体的长度和它的影子的长度的比值一定，即物体的长度和它的影子的长度的成正比例，由此列式解答即可。
详解：解：设竹竿的高度是x米
3∶1.2＝x∶3.2
1.2x＝3×3.2
1.2x＝9.6
1.2x÷1.2＝9.6÷1.2
x＝9.6÷1.2
x＝8
答：竹竿的高度应该是8米。
点睛：解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即。
18．20米
分析：设摩天轮的实际高度是x米，根据摩天轮的实际高度与模型高度的比值一定，即两种量成正比例，先把50厘米化为0.5米，再列比例：0.5∶x＝1∶40，解比例，即可解答。
详解：50厘米＝0.5米
解：设摩天轮的实际高度是x米。
0.5∶x＝1∶40
x＝0.5×40
x＝20
答：摩天轮的实际高度是20米。
点睛：本题考查了正比例应用题，关键是得出摩天轮实际高度与模型高度的比值是一定的，注意单位名数的换算。
19．7天
分析：根据每天看书的页数一定，即看书的页数除以看此页数所需的天数的商一定，所以看书的页数和看此页数所需的天数成正比例，由此列比例解答即可。
详解：解：设看完这本书还要x天。
150∶3＝（500－150）∶x
150∶3＝350∶x
150x＝3×350
150x＝1050
150x÷150＝1050÷150
x＝1050÷150
x＝1050÷150
x＝7
答：他看完这本故事书还要7天。
点睛：解答此题的关键是根据题意判断哪两种相关联的量成何比例，由此列比例解答即可。
20．7.5千克
分析：药液与药水的比是1∶120，也就是药液与药水的比值一定，所以药液与药水成正比例关系；设配制900千克的农药，需要药液x千克，根据药液与药水的比值一定；列出方程求解即可。
详解：解：设需要药液x千克
x∶900＝1∶120
120x＝900×1
120x÷120＝900÷120
x＝7.5
答：配制900千克的农药，需要药液7.5千克。
点睛：本题主要考查正比例的应用，明确药液与药水成正比例关系是解题的关键。
21．（1）18把
（2）6只
分析：（1）由题可知：羊和斧头成正比例关系，设12只羊可以换x把斧头，4与6的比等于12与x的比，据此解答。
（2）设要换9把斧头，需要x只羊，4与6的比等于x与9的比，据此解答。
详解：（1）解：设12只羊可以换x把斧头。
4∶6＝12∶x
4x＝6×12
4x＝72
4x÷4＝72÷4
x＝18
答：12只羊可以换18把斧头。
（2）解：设要换9把斧头，需要x只羊。
4∶6＝x∶9
6x＝4×9
6x＝36
x＝6
答：需要6只羊。
点睛：本题主要考查正比例的应用，同时要熟练掌握解比例的方法。
边长/cm
1
2
3
( )
周长/cm
4
( )
( )
( )
边长/cm
1
2
3
4
周长/cm
4
8
12
16