北师大版（2024）六年级下册四 比例和反比例反比例导学案

这是一份北师大版（2024）六年级下册四 比例和反比例反比例导学案，共14页。学案主要包含了选择题，填空题，判断题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分
知识清单
像这样，速度和时间两个量，速度变化，所用的时间也随着变化，且速度与时间的积（也就是路程）一定，我们就说速度和时间成反比例。
因为单价×数量=总钱数（一定），所以买苹果的总钱数一定时，单价与数量成反比例。
两种相关联的量，一种量变化，另一重量也随着变化，如果这两种相关联的量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示他们的积（一定），反比例关系可以表示为：x×y=k（一定）
判断两个量是否成反比例，要先看这两个量是不是相关联的量，再运用数量关系式进行判断，看这两个量的积是否一定，最后得出结论。
第二部分
典型例题
例1：下列各项中的两种量，成反比例的是（ ）。
A．圆的周长和直径
B．图书室的藏书数量一定，每天借出和还回书的本数
C．步测一段距离，每步的平均长度和走的步数
答案：C
分析：判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此判断即可。
详解：A．圆的周长÷直径＝π，商一定，圆的周长和直径成正比例。
B．借出书的本数不一定会随着还回书的本数变化，每天借出和还回书的本数不成比例。
C．每步的平均长度×走的步数＝步测距离，这一段距离一定也就是这两个量的乘积一定，所以每步的平均长度和走的步数成反比例。
故答案为：C
例2：下列说法中，两个量成反比例关系的有（ ）个。
①甲数的 SKIPIF 1 < 0 相当于乙数的 SKIPIF 1 < 0 ，甲数和乙数。 ②比的前项一定，比的后项和比值。
③圆柱的体积一定，它的底面半径和高。 ④已知x、y是大于零的自然数，若 SKIPIF 1 < 0 ，则x和y的关系。
A．1B．2C．3D．4
答案：B
分析：判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
①根据分数乘法的意义，可知甲数× SKIPIF 1 < 0 ＝乙数× SKIPIF 1 < 0 ；再根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，可知甲数∶乙数＝ SKIPIF 1 < 0 ∶ SKIPIF 1 < 0 ，求比值用比的前项除以后项即可；据此可知甲数和乙数的比值一定，则它们成正比例；
②根据比各部分的关系，可知比的后项×比值＝比的前项（一定），比的后项和比值的乘积一定，则它们成反比例；
③圆柱的体积公式：S＝πr2h，体积一定，底面半径的平方和高的乘积一定，则它们成反比例，但是底面半径和高不成比例；
④根据比和分数的关系，可知x∶2＝3∶y，再根据比例的基本性质，可知xy＝2×3，x和y的乘积一定，则它们成反比例。
详解：①甲数的 SKIPIF 1 < 0 相当于乙数的 SKIPIF 1 < 0 ，甲数和乙数成正比例；
②比的前项一定，比的后项和比值成反比例；
③圆柱的体积一定，它的底面半径和高不成比例；
④已知x、y是大于零的自然数，若 SKIPIF 1 < 0 ，则x和y成反比例。
两个量成反比例关系的有2个，也就是②④。
故答案为：B
例3：新修一条路，每天修的长度和所需的时间如下表。
(1)表中每天修的长度和所需时间是相关联的量，所需时间随着( )的变化而变化。
(2)表中这两种量相对应的两个数的积是500，这个积所表示的意义是( )。
(3)因为每天修的长度和所需时间的乘积是一定的，所以每天修的长度和所需要时间成( )比例。
答案：(1)每天修的长度(2)这条路的总长度(3)反
分析：（1）通过观察表中的数据可知：每天修的长度越短，所需时间就越长，即所需时间随着每天修的长度的变化而变化。
（2）根据每天修的米数×天数＝这条路的总米数，用250×2＝125×4＝100×5＝50×10＝500，也就是这条路长500米，即这个积表示这条路的总长度。
（3）判断两种量成正比例还是成反比例，关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；如果比值和乘积都不是定量，就不成比例。据此判断每天修的长度和所需要时间成什么比例。
详解：（1）表中每天修的长度和所需时间是相关联的量，所需时间随着每天修的长度的变化而变化。
（2）表中这两种量相对应的两个数的积是500，这个积所表示的意义是这条路的总长度。
（3）根据反比例的意义可知：因为每天修的长度和所需时间的乘积是一定的，所以每天修的长度和所需要时间成反比例。
例4：比例尺一定，图上距离和实际距离成( )比例；长方形的面积一定，它的长与宽成( )比例。
答案： 正 反
分析：根据正比例和反比例区别：两个变量若比值一定则成正比例，若乘积一定则成反比例，据此求解。
详解：比例尺＝图上距离∶实际距离，若比例尺一定（比值一定），则图上距离和实际距离成正比；长方形面积＝长×宽，长方形的面积一定，即长和宽的乘积一定，则长和宽成反比例。
：基础过关练
一、选择题
1．圆锥的高一定时，圆锥的体积和底面积（ ）。
A．成正比例B．成反比例C．不成比例D．不能确定
2．下面各种关系中，成反比例关系的是（ ）。
A．三角形面积一定，它的底和高B．圆的面积一定，它的半径平方与圆周率
C．速度一定时，行驶的路程和时间D．平行四边形的高一定，它的面积和底
3．下面各式中，表示x和y成反比例的是（ ）。
A．x＋y＝6B．x＝6＋yC． SKIPIF 1 < 0 D．y＝6x
4．下列各数量关系中，说法正确的是（ ）。
A．全班人数一定，出勤人数和缺勤人数成反比例关系
B．每度电的价格一定，所交电费与用电量成正比例关系
C．运送一批货物的总量一定，每天运送的吨数和需要运送的天数成正比例关系
D．单价一定，买的数量和总价成反比例关系
5．下列关系中，（ ）成反比例。
A．正方体的体积和它的棱长B．三角形的面积一定，它的底和高
C．圆的面积一定，它的半径和圆周率D．汽车行驶的速度和时间
二、填空题
6．已知a÷b＝c，当c一定时，a和b成( )比例。当a一定时，c和b成( )比例。
7．某厂要生产一批豆浆机，平均每天产量和所需时间如下表：
(1)平均每天产量和所需时间成( )比例。（填“正”或“反”）
(2)现要在20天内完成生产任务，平均每天产量至少要达到( )台。
8．圆柱的体积一定，它的底面积和高成( )比例；等边三角形的周长和边长成( )比例。
9．给一间教室铺地砖，如采用0.3平方米的地砖，需要400块；如改用0.8平方米的地砖，需要( )块。
10．王老师带了一些钱采购足球，足球的单价和数量成( )比例关系。
三、判断题
11．用一批纸张装订毕业纪念册，如果每本30页，可以装订20本，如果每本40页，这批纸张可以装订15本。( )
12．同学们订阅了《少年月刊》，所订的份数和所需的总钱数成正比例。( )
13．已知a，b是两个相关联的量，若 SKIPIF 1 < 0 （a，b均不为0），则a与b成正比例。( )
14．做10道计算题，做对的题数和做错的题数成反比例。( )
15．做100道计算题，做对的题数和做错的题数成反比例。( )
：基础过关练
四、解答题
16．某工厂要生产一批豆浆机，平均每天产量和所需时间如下表。
（1）平均每天产量与所需时间成反比例吗？为什么？
（2）如果要20天生产完这批豆浆机，平均每天生产多少台？
17．某车队需运送一批货物。如果用载重6吨的货车运送，需要32辆车。如果用载重8吨的货车运送，需要几辆车？（用方程知识解答）
18．学校食堂购买了一些天然气，计划每天烧12.5m3，可以烧40天。实际每天节约用天然气20%，这样可以烧多少天？（用比例解答）
19．给一间厂房铺地砖，每块地砖的面积是0.8平方米，需要200块，如果每块地砖的面积是0.5平方米，需要多少块？
20．阳光小学参加“小手拉大手，共创卫生城”活动，大队辅导员计划带领36名学生志愿者清理街道、路边张贴的小广告，每名志愿者要清理15处，活动当天6人因有事没有参加此次活动，那么剩下的志愿者每人需清理多少处小广告？（用比例解）
1．A
分析：根据正反比例的意义，分析数量关系，找出一定的量，然后看那两个变量是比值一定还是乘积一定，比值一定是则这两个相关联的量成正比例关系；乘积一定则这两个相关联的量成反比例关系；从而判定成什么比例关系。
详解：圆锥的体积与底面积是两种相关联的量，它们与圆锥的高有下面的关系：
圆锥的体积∶底面积＝ SKIPIF 1 < 0 圆锥的高（一定）；已知圆锥的高一定，它的 SKIPIF 1 < 0 也是一定的，也就是圆锥的体积与底面积的比值一定，所以圆锥的体积与底面积成正比例。
故答案为：A
点睛：此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再判断解答即可。
2．A
分析：判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。
详解：A．三角形的面积＝底×高÷2，若三角形面积一定，则它的底×高的积一定，所以它的底和高成反比例关系，符合题意；
B．因为圆周率是一个定值，根据圆的面积公式：S＝πr2可知：圆的面积一定，它的半径平方也是定值，所以圆的面积一定，它的半径平方与圆周率不成比例，不符合题意；
C．速度＝路程÷时间，当速度一定时，行驶的路程和时间的比值一定，所以速度一定时，行驶的路程和时间成正比例关系，不符合题意；
D．由平行四边形的面积＝底×高可知：高＝平行四边形的面积÷底。当平行四边形的高一定，它的面积和底的比值一定，所以平行四边形的高一定，它的面积和底成正比例关系，不符合题意。
故答案为：A
点睛：此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是否都是变量，且对应的比值一定，或是对应的乘积一定，再做出判断。
3．C
分析：判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。
详解：A．因为x＋y＝6即x与y的和一定，所以x、y不成比例；
B．由x＝6＋y可得：x－y＝6，即x与y的差一定，所以x、y不成比例；
C．由 SKIPIF 1 < 0 可得：xy＝2×3＝6，即x、y的乘积一定，所以x、y成反比例关系；
D．由y＝6x可得： SKIPIF 1 < 0 ，即x、y的比值一定，所以x、y成正比例关系；
故答案为：C
点睛：此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是否都是变量，且对应的比值一定，或是对应的乘积一定，再做出判断。
4．B
分析：判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。
详解：A．出勤人数＋缺勤人数＝全班人数（一定），和一定，所以出勤人数和缺勤人数不成比例，原题说法错误；
B．所交电费÷用电量＝每度电的价格（一定），商一定，所交电费与用电量成正比例关系，原题说法正确；
C．每天运送的吨数×所需天数＝货物总量（一定），积也一定，所以每天运送的吨数和所需天数成反比例，原题说法错误；
D．总价÷数量＝单价（一定），商一定，所以买的数量和总价成正比例，原题说法错误。
故答案为：B
点睛：本题考查了正比例、反比例的意义和辨识。
5．B
分析：两种相关联的量，如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。据此解答。
详解：A．正方体的体积÷棱长＝棱长×棱长，正方体的体积和棱长的积不一定，则正方体的体积和它的棱长不成反比例；
B．三角形的底×高＝面积×2，三角形的面积一定，则它的底和高的积一定，所以它的底和高成反比例；
C．圆的面积S＝πr2，圆的面积一定，圆周率一定，则圆的半径也一定，所以它的半径和圆周率不成比例；
D．速度×时间＝路程，路程不一定，也就是汽车行驶的速度和时间的积不一定，则汽车行驶的速度和时间不成反比例。
故答案为：B
点睛：本题考查反比例的辨认。根据反比例的意义，灵活运用正方体的体积、三角形的面积、圆的面积和行程问题的公式是解题的关键。
6． 正 反
分析：两个相关联的量，若它们的比值一定，则它们成正比例；若它们的乘积一定，则它们成反比例。据此解答即可。
详解：a÷b＝c（一定），a和b成正比例；
a÷b＝c；bc＝a（一定），c和b成反比例。
已知a÷b＝c，当c一定时，a和b成正比例。当a一定时，c和b成反比例。
点睛：本题考查正反比例的判定，明确正反比例的定义是解题的关键。
7．(1)反
(2)750
分析：（1）两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系；如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。据此解答。
（2）用统计表中平均每天产量乘对应的天数求出这批生产任务的总台数，再除以20即可解答。
详解：（1）200×75＝15000（台）
300×50＝15000（台）
500×30＝15000（台）
平均每天产量×所需时间＝总台数（一定），平均每天产量和所需时间的乘积一定，则平均每天产量和所需时间成反比例。
（2）15000÷20＝750（台），则平均每天产量至少要达到750台。
点睛：本题考查反比例的辨认和应用。掌握正比例和反比例的意义是解题的关键。
8． 反 正
分析：如果一个量变化，另一个量也随之变化，并且它们的比值一定，那么这两个量就成正比例关系；如果一个量变化，另一个量也随之变化，并且它们的乘积一定，那么这两个量就成反比例关系；因为圆柱的体积（一定）＝底面积×高，所以圆柱的体积一定，它的底面积和高成反比例，因为等边三角形的周长＝边长×3，所以等边三角形周长÷边长＝3，则等边三角形的周长和边长成正比例。
详解：由分析可知：
圆柱的体积一定，它的底面积和高成反比例，等边三角形的周长和边长成正比例。
点睛：本题考查正、反比例的辨识，理解正、反比例的意义是关键。
9．150
分析：设如改用0.8平方米的地砖，需要x块。因为一间教室的地面面积不变，那么，一块地砖的面积×需要的地砖块数＝这间教室的面积（一定），所以一块地砖的面积和需要的地砖块数成反比例关系，据此可列比例：0.3×400＝0.8x，再算出结果即可求解。
详解：解：设如改用0.8平方米的地砖，需要x块。
0.8x＝400×0.3
0.8x＝120
x＝120÷0.8
x＝150
所以如改用0.8平方米的地砖，需要150块。
点睛：本题考查反比例的应用，注意：需先判断一块地砖的面积和需要的地砖块数成反比例关系。
10．反
分析：判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
详解：足球单价×数量＝总钱数（一定），足球单价与数量成反比例。
王老师带了一些钱采购足球，足球的单价和数量成反比例关系。
点睛：熟练掌握正比例意义和辨识，反比例意义和辨识是解答本题的关键。
11．√
分析：根据题意可知，毕业纪念册的总页数不变。每本的页数与装订的本数成反比例；设这批纸张可以装订x本，列比例：30×20＝40x，解比例，即可解答。
详解：解：设这批纸张可以装订x本。
30×20＝40x
600＝40x
x＝600÷40
x＝15
用一批纸张装订毕业纪念册，如果每本30页，可以装订20本，如果每本40页，这批纸张可以装订15本。
原题干说法正确。
故答案为：√
点睛：解答本题的关键确定每本页数与装订的本数之间成什么比例，进而解答。
12．√
分析：判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
详解：根据总价÷数量＝单价，可知所需的总钱数÷所订的份数＝每份《少年月刊》的钱数（一定），单价一定，则所订的份数和所需的总钱数成正比例。原题干说法正确。
故答案为：√
点睛：本题考查了正比例、反比例的意义和辨识，掌握相关判别方法是解答本题的关键。
13．×
分析：判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。
详解：因为a∶1＝1.5∶b；所以ab＝1×1.5＝1.5（一定），a与b的乘积一定，所以a和b成反比例。
已知a，b是两个相关联的量，若a∶1＝1.5∶b（a，b均不为0），则a和b成反比例。
原题干说法错误。
故答案为：×
点睛：本题考查正反比例的判定，明确正反比例的意义是解答本题的关键。
14．×
分析：两种相关联的量，如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。据此解答。
详解：做10道计算题，做对的题数＋做错的题数＝10，和一定，则做对的题数和做错的题数不成比例。原题说法错误。
故答案为：×
点睛：掌握反比例的意义是解题的关键。
15．×
分析：根据判断两种量成正比例还是成反比例的方法：关键是看这两种相关联的量中相对应的两个数的商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例关系；如果积一定，就成反比例关系；如果不符合以上两种情况，则不成比例；据此判断即可。
详解：因为做对的题数＋做错的题数＝100（一定），即和一定，所以做对的题数与做错的题数不成比例。
故答案为：×
点睛：解答此题应明确判断两种量成正比例还是反比例的方法，应明确两种相关联的量，不成正比例，可能成反比例，还有可能不成比例，有三种情况。
16．（1）成反比，因为平均产量与时间的积是一个定值；
（2）750台
分析：（1）判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。
（2）用对应的平均每天产量和所需时间的积一定，求出总台数，再用总台数÷20即可。
详解：（1）200×75＝300×50＝500×30＝15000，即对应的平均每天产量和所需时间的积一定，所以平均每天产量与所需时间成反比例。
（2）15000÷20＝750（台）
答：平均每天生产750台。
点睛：本题主要考查反比例的意义与辨识。
17．24辆
分析：根据题意可知，运送货物的总量一定，而一辆货车的载重量×车辆数＝这批货物的重量，即积一定，所以一辆货车的载重量和货车的辆数成反比例，这需要x辆载重8吨的货车，根据这批货物的总量相等，列方程：6×32＝8x，解方程，即可解答。
详解：解：设需要x辆载重8吨的货车。
6×32＝8x
8x＝192
x＝192÷8
x＝24
答：需要24辆车。
点睛：本题主要考查列比例解决问题，理解正反比例的含义是解决本题的关键。
18．50天
分析：由天然气的总量不变，设这样可以烧x天，结合题意可知12.5×（1－20%）×x＝12.5×40；对上述方程进行求解，即可得到可以烧的天数。
详解：解：设这样可以烧x天，根据题意可得：
12.5×（1－20%）×x＝12.5×40
12.5×0.8x＝500
10x＝500
10x÷10＝500÷10
x＝50
答：这样可以烧50天。
点睛：本题是关于反比例应用的题目，根据题意列出比例式是解题的关键。
19．320块
分析：根据题意可知，每块地砖的面积×块数＝地面的总面积，地面的总面积一定，则每块地砖的面积和块数成反比例，设每块地砖的面积是0.5平方米，需要x块，然后列方程为0.5x＝0.8×200，然后解出方程即可。
详解：解：设需要x块。
0.5x＝0.8×200
0.5x＝160
x＝160÷0.5
x＝320
答：需要320块。
点睛：本题考查了反比例的应用，判断相关的量成正比例还是反比例是解答本题的关键。
20．18
分析：设剩下的志愿者每人需清理x处小广告，根据等量关系式：每名志愿者需要清理的处数×人数＝小广告的总处数，列方程解答即可。
详解：解：设剩下的志愿者每人需清理x处小广告。
（36－6）×x＝36×15
30x＝36×15
30x÷15＝36×15÷15
2x＝36
x＝18
答：剩下的志愿者每人需清理18处小广告。
点睛：本题主要考查了正反比例应用题，本题关键是抓住每名志愿者需要清理的处数×人数＝小广告的总处数（一定）。
每天修的长度/米
250
125
100
50
所需时间/天
2
4
5
10
平均每天产量／台
200
300
500
所需时间／天
75
50
30
平均每天产量/台
200
300
500
所需时间/天
75
50
30