小学数学北师大版（2024）六年级下册数学好玩神奇的莫比乌斯带导学案

这是一份小学数学北师大版（2024）六年级下册数学好玩神奇的莫比乌斯带导学案，共11页。学案主要包含了填空题，选择题，判断题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第一部分
知识清单
将一张纸条扭转180后，两头再粘接在一起形成“神奇的带子”，即莫比乌斯带。
在莫比乌斯带上取一点，从这点开始涂色，不能翻过边缘一直涂下去，莫比乌斯带上的颜色总被涂了两面。
在一张长方形纸条中间画一条线，再做成莫比乌斯带，沿纸条上的线把莫比乌斯带剪开，它变成一个大的纸环，但不再是莫比乌斯带。
第二部分
典型例题
例1：一个纸环的内侧有一点面包屑，外面有一只蚂蚁。如果不让蚂蚁爬过纸环的边缘，蚂蚁则不能吃到面包屑。但如果将纸环做成莫比乌斯带，蚂蚁不需要爬过纸环的边缘就能吃到面包屑。这是因为莫比乌斯带只有（ ）个面。
A．三B．两C．一D．四
答案：C
分析：将长方形长条扭一下，再将两端粘合，得到了莫比乌斯带。视觉上，莫比乌斯带有两个面，但实际上它只有一个面。据此解题。
详解：一个纸环的内侧有一点面包屑，外面有一只蚂蚁。如果不让蚂蚁爬过纸环的边缘，蚂蚁则不能吃到面包屑。但如果将纸环做成莫比乌斯带，蚂蚁不需要爬过纸环的边缘就能吃到面包屑。这是因为莫比乌斯带只有一个面。
故答案为：C
例2：淘气用纸片做了一个莫比乌斯带，如图，将莫比乌斯带沿中间虚线剪开，得到的是（ ）。

A．两个分开的纸环B．一个大的纸环，但不是莫比乌斯带
C．一个大的莫比乌斯带D．两个套在一起的纸环
答案：B
分析：莫比乌斯带：拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，粘成一个莫比乌斯带；用剪刀沿纸带的中央把它剪开；纸带不仅没有一分为二，反而剪出一个两倍长的纸环；由此求解。
详解：将莫比乌斯带沿虚线剪开，得到一个两倍长的纸环。
故答案为：B
例3：下图是克莱因瓶，这个瓶子( )（填“能”或“不能”）装满水。
答案：不能
分析：一个瓶子底部有一个洞，延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接。这就是克莱因瓶。根据生活实际，克莱因瓶不能装满水。
详解：这个瓶子不能装满水。
例4：图1的纸环是将一张长方形纸条两端粘上得到的，图2的纸环是将一张长方形纸条一端旋转180°，再将两端粘上得到的。图2的纸环叫( )。如果从A点沿着纸环一直涂色（不越过纸环的边缘），图1中涂色的部分占( )%，图2中涂色的部分占( )%。

答案： 莫比乌斯带 50 100
分析：把一根长方形纸条在某一处扭转一下，再将纸条两端黏起来，就形成了莫比乌斯带。所以，图2是莫比乌斯带。涂色时，图1只有外面一个面能够涂上色，那么涂色部分占50%。莫比乌斯带只有一个面，那么涂色时都能涂上色，涂色部分占100%。
详解：图2的纸环叫莫比乌斯带。如果从A点沿着纸环一直涂色（不越过纸环的边缘），图1中涂色的部分占50%，图2中涂色的部分占100%。
：基础过关练
一、填空题
1．如图是一条莫比乌斯带，在它的中间画一条虚线，沿着虚线剪开后会得到( )个圈。
2．莫比乌斯带是用数学家莫比乌斯的姓命名的，该数学家在1858年研究“四色定理”时偶然发现，即把一根纸条一头扭转( )°后，两头再粘接起来做成纸环，这个纸环具有魔术般的性质。一般常见的纸环具有( )的面和( )的面两个面（即双侧曲面），两个面可以分别涂成( )的颜色。而这样的纸环只有( )面（即单侧曲面），沿着面涂颜色最后涂成的是( )颜色。这样的神奇的单面纸环后来就用数学家莫比乌斯的姓命名为“( )”，也叫“( )”。
3．把长方形的长纸条先捏着一端，将另一端扭转180°，再粘贴起来，形成一个环，这个纸环叫( )。
4．沿着纸环的( )处剪就会使一个小纸环变成一个大纸环。
5．沿着纸环的( )处剪就会使纸环变成一大一小两个纸环套在一起。
二、选择题
6．如图，沿莫比乌斯圈的二分之一线剪下去，剪出来的结果会是（ ）。
A．两个独立的纸环B．一个两倍长的大纸环（不是莫比乌斯圈）
C．一个长方形纸条D．一个两倍长的莫比乌斯圈
7．淘气用纸片做了一个莫比乌斯带，如图，将莫比乌斯带沿中间虚线剪开，得到的是（ ）。
A．一个大的莫比乌斯带
B．两个套在一起的纸环
C．两个分开的纸环
D．一个大的纸环，但不是莫比乌斯带
8．如图，取一条长方形纸条，沿平行于长的方向画2条三等分线，将纸条的两端粘上，做成一个莫比乌斯带。沿莫比乌斯带的2条三等分线剪开，纸带会变成（ ）个纸环。
A．1B．2C．3D．4
9．关于莫比乌斯带，以下叙述错误的是（ ）。
A．普通纸能做成莫比乌斯带B．莫比乌斯带在生活中有很多应用
C．莫比乌斯带只有一个面D．莫比乌斯带是用物理学家的姓名命名的
10．将如图中的纸环，沿虚线剪开，可以得到（ ）个纸环。
A．1B．2C．3
三、判断题
11．如图的整只鞋从鞋底、鞋跟、鞋床到鞋帮都由一整条带状皮革环绕而成，产生了有两个普通鞋跟的高度，它们的造型都如同“莫比乌斯带”。( )
12．下面各物体的造型都应用了莫比乌斯带。( )
13．打印机的色带就是莫比乌斯带。这样就不会只磨损一面，节约了材料。( )
14．有些电动机的皮带连接成莫比乌斯带，仅仅是为了好看。( )
15．过山车的跑道利用的是莫比乌斯带的原理。( )
：基础过关练
四、解答题
16．做一做，想一想。
①取一条尺寸为10厘米×3厘米的长方形纸条，沿平行于长的方向画2条三等分线。
②将纸条的两端粘上，做一个莫比乌斯带。
③沿莫比乌斯带的2条三等分线剪开。纸带会变成什么样？是不是莫比乌斯带？
17．取一长90厘米宽8厘米的长方形纸条，把两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转180°，与相对的另一边连接，用固体胶粘起来。一只蚂蚁从某点沿着所标出的路线爬行，直到回到出发点为止，它爬行的距离大约是多少厘米？

18．如图的纸条照样子画2条虚线，把纸条平均分成三份，做成莫比乌斯带后再沿虚线剪开会成什么样子？如果平均分成四份呢？试着做一做。
19．在一张纸条的中间画一条虚线，把纸条平均分成两份，做成莫比乌斯带后再沿虚线剪开，会成什么样子？
20．奇思妙想。
县官的儿子偷了农民的东西，县官就在一张纸条的正面写上：小偷应当放掉。在纸的另一面写着：农民应当关押。然而执事官却关押了小偷，放掉了农民。县官看纸条的时候，只见纸条上面写着：应该关押小偷，应当放掉农民。你知道聪明的执事官是怎么做的吗？
1．1/一
分析：莫比乌斯带：拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，粘成一个莫比乌斯带；用剪刀沿纸带的中央把它剪开，纸带不仅没有一分为二，反而剪出一个两倍长的纸环；由此求解。
详解：将莫比乌斯带沿虚线剪开，结果是一个两倍长的纸环。
因此一条莫比乌斯带，在它的中间画一条虚线，沿着虚线剪开后会得到1个圈。
点睛：熟悉莫比乌斯带的特点是解决本题的关键，动手操作是解决此类问题最直接有效的方法。
2． 180 内侧 外侧 不同 一个 一种 莫比乌斯带 莫比乌斯环
分析：公元1858年，德国数学家莫比乌斯（Mbius，1790～1868）和约翰•李斯丁发现：把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个内侧的面，一个外侧的面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。这种纸带被称为“莫比乌斯带”（也叫莫比乌斯环）（也就是说，它的曲面从两个减少到只有一个）。
详解：莫比乌斯带是用数学家莫比乌斯的姓命名的，该数学家在1858年研究“四色定理”时偶然发现，即把一根纸条一头扭转180°后，两头再粘接起来做成纸环，这个纸环具有魔术般的性质。一般常见的纸环具有内侧的面和外侧的面两个面（即双侧曲面），两个面可以分别涂成不同的颜色。而这样的纸环只有一个面（即单侧曲面），沿着面涂颜色最后涂成的是一种颜色。这样的神奇的单面纸环后来就用数学家莫比乌斯的姓命名为“莫比乌斯带”，也叫“莫比乌斯环”。
点睛：此题是考查莫比乌斯带的制作、命名等。
3．莫比乌斯圈
分析：把长方形的纸条的一端扭转180，再将两端粘在一起，这样就做成了只有一个面的纸圈儿，这个圈就是莫比乌斯圈；由此求解。
详解：把长方形的长纸条先捏着一端，将另一端扭转180°，再粘贴起来，形成一个环，这个纸环叫莫比乌斯圈。
点睛：本题属于探究莫比乌斯圈的题目，如果把一张长方形纸条的首尾粘上，做成一个有两个面的纸圈；如果把长方形纸条的一端扭转180°，再将两端粘在一起，这样就做成了只有一个面的纸圈儿。
4．中心线
解析：略
5．中心线
解析：略
6．B
分析：拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端扭转180°，再把两端连上，就成为一个莫比乌斯带，据此解答。
详解：沿莫比乌斯圈的二分之一线剪下去，剪出来的结果会是一个两倍长的大纸环（不是莫比乌斯圈）。
故答案为：B
点睛：学生可以制作一个莫比乌斯圈，动手操作一下，得出结果。
7．D
分析：莫比乌斯带：拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，粘成一个莫比乌斯带，用剪刀沿纸带的中央把它剪开，纸带不仅没有一分为二，反而剪出一个两倍长的纸环，据此解答。
详解：淘气将莫比乌斯带沿中间虚线剪开，得到的是一个大的纸环，但不是莫比乌斯带。
故答案为：D
点睛：熟知莫比乌斯带的特点是解决本题的关键。
8．B
分析：沿莫比乌斯带的2条三等分线剪开，纸带会变成两个纸环，并且相互套在一起，据此选择。
详解：由分析可知，沿莫比乌斯带的2条三等分线剪开，纸带会变成2个纸环。
故答案为：B
点睛：此题考查了莫比乌斯带的相关认识，也可通过实验来证明。
9．D
解析：公元1858年，德国数学家莫比乌斯（Mbius，1790～1868）和约翰·李斯丁发现：把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。这种纸带被称为“莫比乌斯带”（也就是说，它的曲面从两个减少到只有一个）。
详解：根据分析可知，D.莫比乌斯带是用物理学家的姓名命名的，叙述错误，应该是用数学家姓名命名，
故答案为：D
点睛：理解并掌握“莫比乌斯带”是解答此题的关键。
10．A
分析：莫比乌斯带：拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，粘成一个莫比乌斯带，用剪刀沿纸带的中央把它剪开。纸带不仅没有一分为二，反而剪出一个两倍长的纸环；由此求解。
详解：将图中的纸环，沿虚线剪开，可以得到一个两倍长的纸环。
故答案为：A
点睛：熟知莫比乌斯带的特点是解决本题的关键。
11．√
分析：莫比乌斯把纸条的一端扭转180°，再将两端粘在一起，做成只有一个面、一条封闭曲线作边界的纸圈；这种纸圈就是“莫比乌斯带”；根据“莫比乌斯带”的特点直接进行判断即可。
详解：根据分析可知，整只鞋从鞋底、鞋跟、鞋床到鞋帮都由一整条带状皮革环绕而成，产生了有两个普通鞋跟的高度，它们的造型都如同“莫比乌斯带”；这种说法是正确的。
故答案为：√
点睛：本题考查了莫比乌斯带，它是德国数学家莫比乌斯在1858年发现的，莫比乌斯带在生活中和生产中都有应用。
12．√
分析：根据“莫比乌斯带”的特点直接进行判断即可。
详解：莫比乌斯把纸条儿的一端扭转180°，再将两端粘在一起，做成只有一个面、一条封闭曲线作边界的纸圈；这种纸圈就是“莫比乌斯带”；
所以整只鞋从鞋底、鞋跟、鞋床到鞋帮都由一整条带状皮革环绕而成，产生了有两个普通鞋跟的高度，它们的造型都如同“莫比乌斯带”；
题干的说法是正确的。
故答案为：√
点睛：莫比乌斯带，它是德国数学家莫比乌斯在1858年发现的，莫比乌斯带在生活中和生产中都有应用。
13．√
分析：根据莫比乌斯带的特点可知：打印机的色带是一个封闭的带子，它由一个面组成，这样可以使色带的油墨有效输送量增加一倍。据此解答。
详解：打印机的色带就是莫比乌斯带，这样可以使色带的油墨有效输送量增加一倍，节约了材料。所以原说法正确。
故答案为：√
点睛：本题主要考查旋转思想的应用，关键培养学生的应用能力。
14．×
分析：用皮带传送的动力机械的皮带就可以做成莫比乌斯带的形状，这样皮带就不会只磨损一面了。
详解：有些电动机的皮带连接成莫比乌斯带，不仅仅是为了好看，还是为了实用。所以原题说法错误。
故答案为：×
点睛：此题主要考查了莫比乌斯带的应用，要熟练掌握。
15．√
分析：把一根长方形纸条在某一处扭转一下，再将纸条两端黏起来，就形成了莫比乌斯带。据此，再结合过山车跑道的实际形象，解题即可。
详解：过山车的跑道，有扭转的部分，利用的是莫比乌斯带的原理。
故答案为：√
点睛：本题考查了莫比乌斯带，掌握莫比乌斯带的特点是解题关键。
16．见详解
分析：根据题中的步骤去操作，最后沿莫比乌斯带的2条三等分线剪开，观察形成的纸带形状，从而解题。
详解：答：纸带会变成两个纸环，而且相互套在一起。不是莫比乌斯带。
点睛：本题考查了莫比乌斯带。把一个莫比乌斯带沿中线剪开，剪开后变成了一个大环。将莫比乌斯带沿着三等分线剪开，会形成相互套连的两个环。
17．180厘米
分析：根据图示可知，这是一个莫比乌斯带，其特点之一是蚂蚁可以不接触边缘而爬完纸条的两面一面长为90厘米，两面则是180厘米。
详解：90×2＝180（厘米）
答：它爬行的距离大约是180厘米。
点睛：根据图示可知，这张直条做成的是一个莫比乌斯带，所以这只蚂蚁爬行的距离大约是长方形纸条的两个长。据此解答
18．莫比乌斯带沿三等分线的虚线剪开后，形成两个套在一起的纸环；莫比乌斯带沿四等分线的虚线剪开后，形成两个大环套在一起。
分析：通过动手进行实际操作，取一条长方形纸条，沿平行于长的方向画2条三等分线，将纸条的两端粘上，做成一个莫比乌斯带。沿莫比乌斯带的2条三等分线和3条四等分线剪开，即可得出答案。
详解：答：莫比乌斯带沿三等分线的虚线剪开后，形成两个套在一起的纸环；莫比乌斯带沿四等分线的虚线剪开后，形成两个大环套在一起。
点睛：本题考查图形的剪拼的问题，同时考查学生的动手和操作能力，做此类题目，亲自动手做一做最直观。
19．将莫比乌斯带沿虚线剪开，结果是一个两倍长的纸环。
分析：莫比乌斯带：拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，粘成一个莫比乌斯带；用剪刀沿纸带的中央把它剪开，纸带不仅没有一分为二，反而剪出一个两倍长的纸环；由此求解。
详解：答：将莫比乌斯带沿虚线剪开，结果是一个两倍长的纸环。
点睛：熟知莫比乌斯带的特点是解决本题的关键。
20．将纸条扭了个弯，并用手指将两端捏在一起