福建省厦门市湖滨中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

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A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将直线的一般式方程转化为斜截式方程，得到斜率，进而求倾斜角.
【详解】由题，直线方程可化为，
则斜率为，所以倾斜角为，
故选:C.
2．如图，在平行六面体中，为和的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用空间向量运算的三角形法则、平行四边形法即可得解.
【详解】因为在平行六面体中，为和的交点，
又，，，
所以
.
故选：A.
3．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】B
【分析】由椭圆定义得到，结合，相加得到周长.
【详解】由题意得，故，，
由椭圆定义得，
故的周长为.
故选：B
4.已知空间向量满足，则向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，求得，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】由向量，
因为，可得，解得，
所以.
又因为，所以.
故选：D．
5．已知曲线，设曲线上任意一点与定点连线的中点为，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设动点坐标，找到动点坐标与曲线上点坐标的关系，通过已知解析式得出动点的轨迹方程.
【详解】设，因为为的中点，所以，即，
又因为点在曲线上，所以，即．
所以点的轨迹方程为，即．
故选：B
6.已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程.
【详解】设关于直线的对称点为，
则，解得，即，
所以反射光线所在直线方程为，即.
故选：B.
7.已知O为坐标原点，，是椭圆C：（）的焦点，过右焦点且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用题给条件列出关于的齐次式，解之即可求得C的离心率.
【详解】由，，可得，
又由，可得，故，
由得，
整理得，即，
解之得或（舍）.
故选：A
8.如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不含端点）上运动，则下列结论正确的是（ ）
①的外接球表面积为；
②异面直线与所成角的取值范围是；
③直线平面；
④三棱锥的体积随着点的运动而变化.
A．①②B．①③C．②③D．③④
【答案】C
【分析】根据正方体棱长可知其外接球半径为,其表面积为，可判断①错误；建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的余弦值可求得②正确，求出平面的法向量为，可知，即③正确，易知点到平面的距离是定值，利用等体积法可知三棱锥的体积为定值，即④错误.
【详解】对于①，根据题意，设棱长为2的正方体外接球半径为,
则满足，可得，
此时外接球的表面积为，可知①错误；
对于②，以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，所以，
设，其中；
可得，
异面直线与所成角的余弦值为，
易知时，，
可得，
所以异面直线与所成角的取值范围是，即②正确；
对于③，由②可知，，则；
设平面的法向量为，又，
则，取，则；
所以平面的法向量为，
此时，可得，又平面，
所以直线平面，即③正确；
对于④，根据正方体性质平面，所以，
易知直线到平面的距离是定值，底面的面积为定值，
所以三棱锥的体积为定值，因此三棱锥的体积不会随点的运动而变化，即④错误；
综上所述，正确的结论为②③.
故选：C
【点睛】方法点睛：求解异面直线所成角的方法：
（1）平移法：将两异面直线通过平移作出其平面角，再利用余弦定理取得余弦值；
（2）向量法：建立空间直角坐标系利用空间向量所成的角与异面直线所成的角的关系，求得两向量夹角的余弦值.
9.已知空间向量，，，则（ ）
A．B．
C．D．是共面向量
【答案】ABD
【分析】根据题意，利用空间向量的坐标运算与表示，共线向量的坐标运算，共面向量定理，逐项判定，即可求解.
【详解】由向量，
可得，，所以A、B正确；
设，可得，所以，此时方程组无解，
所以向量与向量不共线，所以C错误；
设，可得，
所以，解得，所以共面，所以D正确.
故选：ABD.
10.已知圆，直线，则（ ）
A．直线恒过定点
B．直线l与圆C有两个交点
C．当时，圆C上恰有四个点到直线的距离等于1
D．圆C与圆恰有三条公切线
【答案】ABD
【分析】求出直线过的定点判断A；判断定点与圆的位置关系判断B；求出圆心到直线距离判断C；判断圆与圆的位置关系判断D.
【详解】对于A，直线的方程为，由，得，直线过定点，A正确；
对于B，，即定点在圆内，则直线与圆相交且有两个交点，B正确；
对于C，当时，直线，圆心到直线的距离为，
而圆半径为2，因此只有2个点到直线的距离等于1，C错误；
对于D，圆的方程化为，
其圆心为，半径为3，两圆圆心距为，
两圆外切，因此它们有三条公切线，D正确.
故选：ABD.
11．已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1
B．的最小值为
C．若为直角三角形，则的面积为
D．的范围为
【答案】ACD
【分析】对于A,利用焦半径的范围求解即可；对于B，利用位于椭圆上顶点时最大求解即可；对于C，利用点坐标求的面积即可；对于D，设利用二次函数求的范围即可.
【详解】对A，易知，则，故A正确；
对B，位于椭圆上顶点时最大，
此时最小，且
故此时为等边三角形，，故B错误；
对C，若为直角三角形，由B知， ，
所以或，不妨设，
则此时点横坐标，代入，得，
故的面积为：，故C正确；
对D，,设
则，
由得：，
故，
故，故D正确.
故选：ACD
12.两平行直线与之间的距离为 ．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由两直线平行求出，再代入两平行直线间距离公式求解即可；
【详解】由题意知，所以，
则化为，
所以两平行直线与之间的距离为．
故选：C．
13．已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用点到平面的向量求法，列式计算作答．
【详解】依题意，，而为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离,
故答案为：
14.已知圆，圆，其中.若两圆外切，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据两圆外切得到，变换为点与形成直线的斜率，根据直线和圆相切结合图像得到答案.
【详解】圆和圆外切，
则，整理得到，
表示圆的点与形成直线的斜率，

设直线方程为，即，
当直线与圆相切时，，解得或.
根据图像知：
15．已知直线，.
(1)当时，直线过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程
(2)若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）联立解得与的交点为，当直线过原点时，直线的方程为；当直线不过原点时，设的方程为，将代入得，解得所求直线方程；
（2）设原点到直线的距离为，则，解得：或，分情况根据斜率关系判断两直线的位置关系;
【详解】（1）联立解得即与的交点为.
当直线过原点时，直线的方程为；
当直线不过原点时，设的方程为，将代入得，
所以直线的方程为，故满足条件的直线方程为或.
（2）设原点到直线的距离为，
则，解得：或，
当时，直线的方程为，此时；
当时，直线的方程为，此时.
16．如图，在三棱柱中，平面，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．

(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）两种方法：第一种：通过证明线面垂直，进而证明线线垂直；第二种：先建立直角坐标系，通过证明
进而证明，即．
（2）先建立直角坐标系，再分别求出两个平面的法向量，即可求解
【详解】（1）（法一）
在三棱柱平面，平面平面，
平面平面，
平面，
为中点，，
平面平面，
平面

（法二）
以为原点，分别以所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，
，
，
所以．

（2）依题意，是平面的一个法向量，
，
设平面的一个法向量为n=x,y,z，
则．
则，即，
取，则，
平面的一个法向量为
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
17．已知的圆心在x轴上，经过点和．
(1)求的方程；
(2)过点的直线l与交于A、B两点．
（ⅰ）若，求直线l的方程；
（ⅱ）求弦AB最短时直线l的方程．
【答案】(1)
(2)①或；②.
【分析】（1）设圆心为，根据题中条件求出的值，可求出圆的半径，即可得出圆的标准方程；
（2）①求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直线写出直线的方程，直接验证即可；
在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，综合可得出结果；
②分析可知，当时，AB取最小值，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】（1）设圆心为，由题意可得，解得，
所以，圆的半径为，因此，圆的标准方程为.
（2）①当时，圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，此时，直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
②当时，圆心到直线的距离最大，此时，AB取最小值，
因为，则，
此时，直线的方程为，即.
18.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，且分别为的中点．

(1)求证：平面；
(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在平面内是否存在点，满足？若存在，请求出点的轨迹长度；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在；
【分析】（1）利用线面垂直的判定直接证明即可；
（2）利用向量法求得线面角的正弦值即可；
（3）推出点的轨迹是半径为的一个圆，求出圆的周长即可.
【详解】（1）

（法一）如图：连接，
中，为等边三角形．
为中点，，且，
底面为菱形，所以，
为等边三角形．
为中点，，且，
，
平面，
平面，

（法二）如图：连接，
中，为等边三角形，
为中点，，且，
底面为菱形，，
为中点，，
在中，由余弦定理得：
，
即，
平面
平面
（2）

由（1）知：，
如图：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
，
分别为的中点，，
，
，
，
设平面的一个法向量为，则．
则，所以，取，则，
平面的一个法向量为．
平面的一个法向量为，
则，
平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，则．
即直线与平面所成角的正弦值为．
（3）（3）（法一）存在点，使．
理由如下：点在以线段中点为球心，2为半径的球面上．，
设平面的一个法向量为，则．
则，则，取，则．
平面的一个法向量为．
点到平面的距离为．
，记，
在平面内存在点，且点的轨迹是半径为的一个圆，
即点的轨迹长度为．
（3）（法二）存在点，使．
理由如下：点在以线段中点为球心，2为半径的球面上．
是的中点点到平面的距离是到平面的距离的．
设点到平面的距离为，连接，
在中，由余弦定理得：
即，
，即，
，
．
，即点到平面的距离为，
点到平面的距离为．
，记，
在平面内存在点，且点的轨迹是半径为的一个圆，
即点的轨迹长度为．
19．已知椭圆经过点，且离心率为为坐标原点.
(1)求的方程.
(2)过点且不与轴重合的动直线与相交于两点，的中点为.
（i）证明：直线与的斜率之积为定值；
（ii）当的面积最大时，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②或.
.
【分析】（1）根据已知点在椭圆上及离心率列方程组求解可得椭圆方程；
（2）设方程，直线与椭圆联立消去利用韦达定理和斜率公式证明直线与的斜率之积为定值；根据弦长公式和三角形面积公式求得直线斜率最后得到直线方程.
【详解】（1）由已知，得解得
故的方程为.
（2）
① 由题可设.
将，
消去，得.
当，即时，有.
所以，即，
可得，所以，即直线与的斜率之积为定值.
②由（1）可知
又点到直线的距离，
所以的面积.
设，则，
当且仅当，即时等号成立，且满足.
所以当的面积最大时，直线的方程为或.
【点睛】关键点点睛：求解面积最值的关键点是换元设，把面积转换为的函数结合基本不等式计算最值即可，注意取等条件是否符合题意.