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广西壮族自治区玉林市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题
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这是一份广西壮族自治区玉林市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题，共11页。试卷主要包含了下列图形中，是中心对称图形的是，一元二次方程根的情况是，若是方程的一个解，则的值是等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：120分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、座位号、考籍号填写在试卷和答题卡上。
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选均得0分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．6，2，9B．2，，9C．2，，D．，6，
3．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，，将绕点沿逆时针方向旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．一元二次方程根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．无法确定
7．用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是（ ）
A．B．C．D．
8．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A．B．C．D．
9．若是方程的一个解，则的值是（ ）
A．2023B．C．2022D．
10．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成用配方法求抛物线的顶点坐标，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成求解．过程如图所示：
接力中，自己负责的出现错误的是（ ）
A．甲和乙B．乙和丙C．乙和丁D．甲和丙
11．如图所示是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（ ）
A．1mB．1.5mC．2.5mD．2m
12．定义运算“※”为：如：，则函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．请写出一个开口向上且过点的抛物线的解析式：______．
14．已知方程的一个根是1，则它的另一个根是______．
15．一次老同学聚会中，每两个人都握一次手，所有人共握手10次，则参加聚会的人数是______人．
16．如图，线段的两个顶点都在方格纸的格点上，建立平面直角坐标系后，点的坐标分别是，，将线段绕点沿顺时针方向旋转后得到，则点关于原点的对称点的坐标是______．
第16题图
17．如图，在等边中，是边上的一点，将绕点沿逆时针方向旋转得到．若，，则的周长为______．
第17题图
18．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标分别为，，．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围是______．
第18题图
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
19．（本题满分6分）
解方程：．
20．（本题满分6分）
如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，点旋转后的对应点为．
（1）画出旋转后的图形，并写出点的坐标；
（2）求点经过的路径的长．（结果保留）
21．（本题满分10分）
台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元．如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率．
22．（本题满分10分）
已知二次函数的部分图象如图所示．
（1）求二次函数图象的对称轴；
（2）求关于的一元二次方程的解．
23．（本题满分10分）
如图，某单位拟在一块空地上修建矩形植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过16米，另外三边由36米长的栅栏围成，设矩形中，垂直于墙的边米，面积为平方米．
（1）与之间的函数解析式为______，自变量的取值范围为______；
（2）若矩形的面积为154平方米，求的值．
24．（本题满分10分）
在一次学校组织的社会实践活动中，小洛看到农田里安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线（如图1所示）．他发现这种喷枪射程是可调节的，且在一定的调节范围内喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一组相关数据．通过研究发现，以地面为轴，以喷枪所在直线为轴，建立平面直角坐标系（如图2所示），设水流的最高点到地面的距离为，水流的最高点与喷枪的水平距离为，且满足．
请解答下列问题：
（1）该喷枪的出水口到地面的距离为______m；
（2）当水流的最高点与喷枪的水平距离为7m时，求水流的最高点到地面的距离；
（3）在（2）的条件下，请计算水流的射程约为多少米．（精确到1m，参考数据）
25．（本题满分10分）在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．
（1）同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由．
（2）你还有其他的设计方案吗？请在图中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．
26．（本题满分10分）综合与实践
【问题提出】
在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形DPEF的面积为，探究与的关系．
【初步感知】
（1）如图1，当点由点运动到点时，
①当时，______；
②求关于的函数解析式．
（2）在点由点运动到点的过程中，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求关于的函数解析式（并写出自变量的取值范围）及线段的长．
【延伸探究】
（3）若存在3个时刻对应的正方形DPEF的面积均相等．
①______；
②当时，求正方形的面积．
2024年秋季期期中教育质量监测与评价题
九年级数学 参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．A 解析：A中，是一元二次方程，故此选项正确；B中，是二元二次方程，故此选项错误；C中，当，是常数时，是一元二次方程，故此选项错误．D中，是分式方程，故此选项错误．故选A．
2．C 解析：一般形式是的二次项系数为2，一次项系数为，常数项为．故选C．
3．A 解析：A中，是中心对称图形，符合题意；B中，不是中心对称图形，不符合题意；C中，不是中心对称图形，不符合题意；D中，不是中心对称图形，不符合题意．故选：A．
4．B 解析：由旋转可知，．因为点在的延长线上，则．因为，所以，所以，即旋转角的度数为．故选：B．
5．C 解析：在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是．故选：C．
6．C 解析：，，，，，该方程有两个不相等的实数根．故选：C．
7．D
8．D
9．B 解析：由题意，得，．故选：B．
10．A 解析：老师—甲：，故甲错误；
甲—乙：，故乙错误．故选：A．
11．C 解析：如图，建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过的中点且通过点，则通过画图可得知为原点．
抛物线以轴为对称轴，且经过两点，可求出和为的一半，抛物线顶点的坐标为．
设顶点式，代入点的坐标，得，故抛物线的解析式为．
把代入抛物线的解析式，得，水面下降2.5米．故选：C．
12．C 解析：当时，图象是对称轴右侧的部分；当时，图象是对称轴左侧的部分．故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．（答案不唯一）
14．3 解析：将代入得，再解方程，得．
15．5 解析：根据题意，得，解得（舍去），．
16． 解析：线段绕点沿顺时针方向旋转后得到的位置如图所示．
由图可知，点关于原点的对称点的坐标是．故答案为：．
17．14 解析：将绕点沿逆时针方向旋转得到，
，，，
是等边三角形，，
的周长．故答案为：14．
18． 解析：正方形的顶点的坐标分别为，，，．
当抛物线经过点时，；当抛物线经过时，．观察图象可知，抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围是．故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
19．解：，或，所以，．
20．解：（1）如图，即为所求．
点的坐标为．
（2）由勾股定理，得，点经过的路径的长为．
21．解：设捐款增长率为．
根据题意列方程，得，解得，（不合题意，舍去），
答：捐款增长率为．
22．（1），
二次函数的图象的对称轴是直线．
（2）由图象可知：二次函数的图象与轴交于点．
由①知，该函数的对称轴为直线，该函数与轴的另一个交点为，
关于的一元二次方程的解是，．
23．解：（1）．
，，
与之间的函数解析式为．
（2）由题意，得，解得，．
，不符合题意，．
24．解：（1）由题意，对于函数，令，则，
该喷枪的出水口到地面的距离为2.5m．故答案为：2.5．
（2）由题意，把代入，得，
水流的最高点到地面的距离为6m．
（3）由题意，设水流轨迹，把代入，得，．
当时，（负值舍去），水流的射程为：．
25．解：（1）不符合．
设小路宽度均为．
根据题意，得，解得，．
但不符合题意，应舍去，．
小芳的方案不符合条件，小路的宽度应为2m．
（2）答案不唯一．
例如：
左图，取上边长的中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积等于矩形面积的一半；
右图，横竖两条小路，且小路在每一处的宽都相同，其小路的宽为4米时，除去小路剩下的面积为矩形面积的一半．
26．解：（1）在中，，，则．
当时，即，解得（负值已舍去），即．
当时，．
故答案为：①； ②．
（2）由（1）知，抛物线过点，顶点坐标为，
则抛物线的解析式为．
将代入上式，得，
解得，故抛物线的解析式为．
当时，则，解得（舍去）或8，则．
（3）①在题干图中画出，如图：
从两个函数解析式看，两个函数相同，都为1．
若存在3个时刻对应的正方形的面积均相等，
则如图所示，此时符合题意．
从图象看，关于直线对称，则，则．故答案为：4．
②从图象看关于对称，则．
而，所以，解得．
当时，，即正方形的面积为3．
（考试时间：120分钟 满分：120分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、座位号、考籍号填写在试卷和答题卡上。
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选均得0分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．6，2，9B．2，，9C．2，，D．，6，
3．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，，将绕点沿逆时针方向旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．一元二次方程根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．无法确定
7．用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是（ ）
A．B．C．D．
8．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A．B．C．D．
9．若是方程的一个解，则的值是（ ）
A．2023B．C．2022D．
10．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成用配方法求抛物线的顶点坐标，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成求解．过程如图所示：
接力中，自己负责的出现错误的是（ ）
A．甲和乙B．乙和丙C．乙和丁D．甲和丙
11．如图所示是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（ ）
A．1mB．1.5mC．2.5mD．2m
12．定义运算“※”为：如：，则函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．请写出一个开口向上且过点的抛物线的解析式：______．
14．已知方程的一个根是1，则它的另一个根是______．
15．一次老同学聚会中，每两个人都握一次手，所有人共握手10次，则参加聚会的人数是______人．
16．如图，线段的两个顶点都在方格纸的格点上，建立平面直角坐标系后，点的坐标分别是，，将线段绕点沿顺时针方向旋转后得到，则点关于原点的对称点的坐标是______．
第16题图
17．如图，在等边中，是边上的一点，将绕点沿逆时针方向旋转得到．若，，则的周长为______．
第17题图
18．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标分别为，，．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围是______．
第18题图
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
19．（本题满分6分）
解方程：．
20．（本题满分6分）
如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，点旋转后的对应点为．
（1）画出旋转后的图形，并写出点的坐标；
（2）求点经过的路径的长．（结果保留）
21．（本题满分10分）
台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元．如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率．
22．（本题满分10分）
已知二次函数的部分图象如图所示．
（1）求二次函数图象的对称轴；
（2）求关于的一元二次方程的解．
23．（本题满分10分）
如图，某单位拟在一块空地上修建矩形植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过16米，另外三边由36米长的栅栏围成，设矩形中，垂直于墙的边米，面积为平方米．
（1）与之间的函数解析式为______，自变量的取值范围为______；
（2）若矩形的面积为154平方米，求的值．
24．（本题满分10分）
在一次学校组织的社会实践活动中，小洛看到农田里安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线（如图1所示）．他发现这种喷枪射程是可调节的，且在一定的调节范围内喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一组相关数据．通过研究发现，以地面为轴，以喷枪所在直线为轴，建立平面直角坐标系（如图2所示），设水流的最高点到地面的距离为，水流的最高点与喷枪的水平距离为，且满足．
请解答下列问题：
（1）该喷枪的出水口到地面的距离为______m；
（2）当水流的最高点与喷枪的水平距离为7m时，求水流的最高点到地面的距离；
（3）在（2）的条件下，请计算水流的射程约为多少米．（精确到1m，参考数据）
25．（本题满分10分）在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．
（1）同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由．
（2）你还有其他的设计方案吗？请在图中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．
26．（本题满分10分）综合与实践
【问题提出】
在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形DPEF的面积为，探究与的关系．
【初步感知】
（1）如图1，当点由点运动到点时，
①当时，______；
②求关于的函数解析式．
（2）在点由点运动到点的过程中，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求关于的函数解析式（并写出自变量的取值范围）及线段的长．
【延伸探究】
（3）若存在3个时刻对应的正方形DPEF的面积均相等．
①______；
②当时，求正方形的面积．
2024年秋季期期中教育质量监测与评价题
九年级数学 参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．A 解析：A中，是一元二次方程，故此选项正确；B中，是二元二次方程，故此选项错误；C中，当，是常数时，是一元二次方程，故此选项错误．D中，是分式方程，故此选项错误．故选A．
2．C 解析：一般形式是的二次项系数为2，一次项系数为，常数项为．故选C．
3．A 解析：A中，是中心对称图形，符合题意；B中，不是中心对称图形，不符合题意；C中，不是中心对称图形，不符合题意；D中，不是中心对称图形，不符合题意．故选：A．
4．B 解析：由旋转可知，．因为点在的延长线上，则．因为，所以，所以，即旋转角的度数为．故选：B．
5．C 解析：在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是．故选：C．
6．C 解析：，，，，，该方程有两个不相等的实数根．故选：C．
7．D
8．D
9．B 解析：由题意，得，．故选：B．
10．A 解析：老师—甲：，故甲错误；
甲—乙：，故乙错误．故选：A．
11．C 解析：如图，建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过的中点且通过点，则通过画图可得知为原点．
抛物线以轴为对称轴，且经过两点，可求出和为的一半，抛物线顶点的坐标为．
设顶点式，代入点的坐标，得，故抛物线的解析式为．
把代入抛物线的解析式，得，水面下降2.5米．故选：C．
12．C 解析：当时，图象是对称轴右侧的部分；当时，图象是对称轴左侧的部分．故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．（答案不唯一）
14．3 解析：将代入得，再解方程，得．
15．5 解析：根据题意，得，解得（舍去），．
16． 解析：线段绕点沿顺时针方向旋转后得到的位置如图所示．
由图可知，点关于原点的对称点的坐标是．故答案为：．
17．14 解析：将绕点沿逆时针方向旋转得到，
，，，
是等边三角形，，
的周长．故答案为：14．
18． 解析：正方形的顶点的坐标分别为，，，．
当抛物线经过点时，；当抛物线经过时，．观察图象可知，抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围是．故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
19．解：，或，所以，．
20．解：（1）如图，即为所求．
点的坐标为．
（2）由勾股定理，得，点经过的路径的长为．
21．解：设捐款增长率为．
根据题意列方程，得，解得，（不合题意，舍去），
答：捐款增长率为．
22．（1），
二次函数的图象的对称轴是直线．
（2）由图象可知：二次函数的图象与轴交于点．
由①知，该函数的对称轴为直线，该函数与轴的另一个交点为，
关于的一元二次方程的解是，．
23．解：（1）．
，，
与之间的函数解析式为．
（2）由题意，得，解得，．
，不符合题意，．
24．解：（1）由题意，对于函数，令，则，
该喷枪的出水口到地面的距离为2.5m．故答案为：2.5．
（2）由题意，把代入，得，
水流的最高点到地面的距离为6m．
（3）由题意，设水流轨迹，把代入，得，．
当时，（负值舍去），水流的射程为：．
25．解：（1）不符合．
设小路宽度均为．
根据题意，得，解得，．
但不符合题意，应舍去，．
小芳的方案不符合条件，小路的宽度应为2m．
（2）答案不唯一．
例如：
左图，取上边长的中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积等于矩形面积的一半；
右图，横竖两条小路，且小路在每一处的宽都相同，其小路的宽为4米时，除去小路剩下的面积为矩形面积的一半．
26．解：（1）在中，，，则．
当时，即，解得（负值已舍去），即．
当时，．
故答案为：①； ②．
（2）由（1）知，抛物线过点，顶点坐标为，
则抛物线的解析式为．
将代入上式，得，
解得，故抛物线的解析式为．
当时，则，解得（舍去）或8，则．
（3）①在题干图中画出，如图：
从两个函数解析式看，两个函数相同，都为1．
若存在3个时刻对应的正方形的面积均相等，
则如图所示，此时符合题意．
从图象看，关于直线对称，则，则．故答案为：4．
②从图象看关于对称，则．
而，所以，解得．
当时，，即正方形的面积为3．
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