湖南省长沙市望城区第二中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

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参考答案：
1．A
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算
【分析】分别求出A与B中方程的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．
【详解】解：由A中方程解得：或，
即，
由B中方程解得：或，
即，
则．
故选A．
【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．C
【难度】0.85
【知识点】交集的概念及运算
【详解】试题分析：因为，=
所以.
考点：交集及其运算
点评：本题以一元不等式及绝对值不等式为载体考查交集运算，关键是准确解出不等式，再利用数轴得出要求交集．
3．D
【难度】0.85
【知识点】求分段函数值
【解析】直接根据分段函数解析式，代入计算可得；
【详解】解：因为，所以，
故选：D
【点睛】本题考查分段函数求函数值，属于基础题.
4．D
【难度】0.65
【知识点】函数对称性的应用、根据函数的单调性求参数值
【分析】由函数，的表达式即可判断f（x）是关于x=1对称的函数，利用单调性可得x的不等式求解即可．
【详解】由题画出函数的图像如图所示，故 ，即 ，解得的取值范围是
故选D
【点睛】本题考查函数的对称性和单调性，考查绝对值不等式的解法，考查计算能力是基础题
5．A
【难度】0.65
【知识点】对数函数单调性的应用、比较指数幂的大小
【分析】由题意利用对数函数的单调性和特殊点，指数函数的单调性，判断0.40.5，0.50.4，lg0.50.4的大小关系．
【详解】∵lg0.50.4＞lg0.50.5＝1，0.50.4 ＞0.50.5 ∈（0，1），0.40.5∈（0，1），
而，
∴lg0.50.4＞0.50.4 ＞0.40.5 ，
故选A．
【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小，考查逻辑推理的核心素养.
6．C
【难度】0.4
【知识点】对数函数图象的应用、指数函数图像应用
【分析】分别作出函数，，图像，根据三个图像分别与函数图像交点情况比较大小.
【详解】由，
得，，，
分别作函数，，图像，如图所示，
它们与函数图像交点的横坐标分别为，，，
有图像可得，
故选：C.
7．D
【难度】0.4
【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用、函数基本性质的综合应用
【分析】根据题意，求得函数为偶函数，其图象关于y轴对称，又由时，单调递增，所以当是函数单调递减，再把不等式等价与，得到不等式， 即可求解.
【详解】由题意，函数为定义在上的偶函数，且，
则，
所以函数为偶函数，其图象关于y轴对称，
当时，单调递增，所以当是函数单调递减，
又由
，
所以不等式等价与，
所以，平方得，解得
即不等式的解集为.
【点睛】本题主要考查了函数的单调性与函数的奇偶性的综合应用，以及不等式的求解，其中解答中把不等式转化为，再利用函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
8．D
【难度】0.15
【知识点】判断两个集合的包含关系、反函数的性质应用、由导数求函数的最值（不含参）、由导数求函数的最值（含参）
【分析】利用因为与互为反函数，所以，互相关于对称，得到，进而得出集合的范围；对于集合，化简得，设，进而利用导数求出的最值，得出集合的范围，即可求解
【详解】对于集合，因为与互为反函数，所以，互相关于对称，而，所以，只需要即可，因为，所以，
，得，设，得，所以，
，，单调递增；，，单调递减，所以，
，得到，所以，；
对于集合，化简得，设，，因为，
可设，，
单调递减，又，所以，当时，，，，单调递减，利用洛必达法则，
时，，
所以，，所以，；
由于，，所以，D正确
故选：D
9．AC
【难度】0.85
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】根据二次函数的性质，结合基本不等式、特例法逐一判断即可.
【详解】A：，当时，函数有最小值4，所以本选项符合题意；
B：当的最小值是4时，有，解得，
而，所以方程无实数解，所以本选项不符合题意，
C：，当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，所以本选项符合题意；
D：当时，，显然4不可能是函数的最小值，所以不符合题意，
故选：AC
10．BCD
【难度】0.65
【知识点】函数基本性质的综合应用、函数奇偶性的定义与判断、函数的周期性的定义与求解
【分析】根据狄利克雷函数与广义狄利克雷函数的定义，结合函数值、周期性、奇偶性等逐项判断即可得答案.
【详解】对于A，由于（其中且），当为无理数时，，故A不正确；
对于B，设为非零的有理数，若是有理数，则也是有理数； 若是无理数，则也是无理数，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数，所以对恒成立，对恒成立，即数和均为周期函数，但不存在最小正周期，故B正确；
对于C，，则，所以为偶函数，又，所以为偶函数，故C正确；
对于D，取，则为等边三角形，将这个三角形左右平形移动，即只需要三角形的高为，边长为的三角形均可以，所以这样的三角形有无数个，故D正确.
故选：BCD.
11．BD
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、指数型函数图象过定点问题
【分析】根据题意令，得到，即可对A、B、C项判断，令，得到，可对D项判断.
【详解】对于A、B、C项：
令，得.
因为，所以，
故函数的图像不经过坐标原点，故A项错误，
故函数的图像不关于原点对称，故C项错误.
又因为曲线且经过定点，所以B项正确.
对于D项：
令，得，
故，所以是偶函数，
所以函数的图像关于轴对称，故D正确.
故选：BD.
12．BCD
【难度】0.4
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用
【分析】借助赋值法令，，可得，令，可得为奇函数，结合为偶函数，可得、，亦可得其周期，即可得.
【详解】令，，则有， 故，即，
令，则，
即恒成立，故f−x=−fx，
又函数的定义域为，故为奇函数，故B正确；
则，又为偶函数，
故，则，故A错误；，故C正确；
，则，故函数的周期为，
，则，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题的结论：
（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；
（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.
13．
【难度】0.85
【知识点】根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算
【解析】根据交集的定义得的值，即可利用集合的并集得答案；
【详解】，
，
，
，
，
故答案为：.
14．616
【难度】0.65
【知识点】判断或证明函数的对称性、由函数对称性求函数值或参数
【分析】由题知的图象关于直线对称，的图像关于点对称，进而得、、，从而得到，结合的值，再解方程即可得答案.
【详解】由函数为偶函数，则，即函数关于直线对称，
故；
由函数为奇函数，则，整理可得，
即函数关于对称，故；
因为对于，均有，
所以，
因为关于直线对称，所以，
因为关于点对称，所以，
所以，
又，解得，，
所以.
故答案为：616.
15．
【难度】0.4
【知识点】根据函数的单调性解不等式、二次函数的图象分析与判断
【详解】略
16．见解析
【难度】0.94
【知识点】画出具体函数图象
【分析】由的图象与函数图象平移变换求解，
【详解】由图象向左平移一个单位即可，
17．(1)；(2).
【难度】0.85
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、分类讨论解绝对值不等式
【解析】（1）分类讨论，求解不等式即可；
（2）将问题转化为二次函数在区间上恒成立的问题，列出不等式组即可求得.
【详解】（1）当时，等价于，
解得；
当时，等价于，恒成立，
解得；
当时，等价于，
解得；
综上所述，不等式的解集为.
（2）不等式的解集包含，
等价于在区间上恒成立，
也等价于在区间恒成立.
则只需满足：
且即可.
即，
解得.
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，以及二次函数在区间上恒成立的问题，属综合基础题.
18．（1）；（2）证明见解析
【难度】0.65
【知识点】利用不等式求值或取值范围、分类讨论解绝对值不等式
【分析】（1）对不等式进行零点分段讨论求解；
（2）求出函数与x轴交点坐标，表示出三角形面积，根据求得面积即可得证.
【详解】（1）若，不等式即：
，
当时，，得，
当时，，得，
当时，，得，
综上所述：
即：不等式的解集为；
（2），
该函数图象与x轴围成的封闭区域为三角形，
其三个顶点为，
，该三角形面积：
所以原命题得证.
【点睛】此题考查求解绝对值不等式，利用零点分段讨论，根据三角形的面积证明不等式，关键在于准确求解顶点坐标，利用不等关系证明.
19．(1)；证明见解析
(2)证明见解析；解集为
【难度】0.65
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、抽象函数的奇偶性、根据函数的单调性解不等式
【分析】（1）赋值法令，可得；由给定性质，证明即可.
（2）证明的单调性，再由单调性解不等式.
【详解】（1）令，得，
又函数的值域为0,+∞，∴．
∵，
∴，
∴，
∴为奇函数．
（2）任取，．
．
∵，∴．
∵当时，，∴，∴．
又函数的值域为0,+∞，
∴，即，
∴为上的增函数．
由，即，化简得．
∵，
∴，∴．
又为上的增函数，∴，
故的解集为．
【点睛】方法点睛：抽象函数的性质研究：
①赋值法求特定元素的函数值；
②利用已知抽象函数的等式性质，证明函数的单调性；
③利用单调性解相关表达式.
20．（1）证明见解析 （2） （3）存在，
【难度】0.4
【知识点】函数综合、利用不等式求值或取值范围、绝对值的三角不等式应用
【分析】（1）取特殊值使得不成立，即可证明；
（2）根据“同比不减函数”的定义，恒成立，分离参数，构造函数，转化为与函数的最值关系，即可求出结果；
（3）去绝对值化简函数解析式，根据“同比不减函数”的定义，取，因为成立，求出的范围，然后证明对任意的，恒成立，即可求出结论.
【详解】证明：（1）任取正常数，存在，所以，
因为，
即不恒成立，
所以不是“同比不减函数”.
（2）因为函数是“同比不减函数”，
所以恒成立，即恒成立，
对一切成立.
所以.
（3）设函数是“同比不减函数”，
，
当时，因为成立，
所以，所以，
而另一方面，若，
（Ⅰ）当时，
因为，
所以，所以有成立.
（Ⅱ）当x∈−1,+∞时，
因为，
所以，
即成立.
综上，恒有有成立，
所以的取值范围是.
【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查等价转化思想，考查从特殊到一般的解决问题方法，属于较难题.
21．（Ⅰ）2；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2.
【难度】0.15
【知识点】集合的应用
【分析】（Ⅰ）根据定义求，，以及的值；（Ⅱ）设，，根据定义求，再根据定义化简，即得结果，（Ⅲ）先假设集合有三个不相同的元素，，，再根据得恰有个1，与个0，同理可得恰有个1，与个0，调整次序对应相减可得，最后根据为奇数，得到矛盾，否定假设，即得结果.
【详解】（Ⅰ），，
（Ⅱ）设，，，
由，可得，
所以，
当且仅当，，即，时上式“=”成立
由题意可知
即
所以，
（Ⅲ）解法1：假设，，为集合中的三个不相同的元素.
则
即
又由题意可知或1，
恰有个1，与个0
设其中个等于1的项依次为
个等于0的项依次为
由题意可知
所以，同理
所以
即
因为
由（2）可知
因为
所以，
设，由题意可知
所以，得与为奇数矛盾
所以假设不成立，即集合中至多有两个元素
当时符合题意
所以集合中元素的个数只可能是2
解法2：假设，，为集合中的三个不相同的元素.
则
即
又由题意可知或1，
恰有个1，与个0
设其中个等于1的项依次为
个等于0的项依次为
由题意可知
所以①
同理②
①—②得
又因为为奇数
与矛盾
所以假设不成立，即集合中至多有两个元素
当时符合题意
所以集合中元素的个数只可能是2
【点睛】本题考查新定义以及绝对值定义，考查综合分析论证与求解能力，属难题.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
D
A
C
D
D
AC
BCD
题号
11
12








答案
BD
BCD