2024_2025学年新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.3.1抛物线及其标准方程分层作业课件新人教A版选择性必修第一册

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第三章3.3.1　抛物线及其标准方程12345678910111213AD 解析 抛物线方程化成标准方程形式为x2=8y,可得其开口向上,焦点坐标为(0,2),准线方程为y=-2.123456789101112132.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是抛物线C上一点,|AF|= x0,则x0等于(　　)A.4 B.2 C.1 D.8C123456789101112133.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是平面BB1C1C内一动点,若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹是(　　)A.直线 B.圆C.双曲线 D.抛物线D解析 由题意,知直线C1D1⊥平面BB1C1C,则C1D1⊥PC1,即|PC1|就是点P到直线C1D1的距离,那么点P到直线BC的距离等于它到点C1的距离,所以点P的轨迹是抛物线.123456789101112134.已知O是坐标原点,F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,M( ,3)是C上一点,则线段OF的长度为(　　)D12345678910111213C12345678910111213解析 过点Q作QQ'⊥l于点Q',如图.∵ ,∴|PQ|∶|PF|=3∶4,又焦点F到准线l的距离为4,∴|QF|=|QQ'|=3.123456789101112136.在平面直角坐标系Oxy中,双曲线C: -y2=1的焦距为　　　;若双曲线C的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合,则实数p的值为　　　. 44123456789101112137.已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x-3y+11=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为　　　　　. 3解析 抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F的距离,所以过焦点F作直线4x-3y+11=0的垂线,则点F到直线4x-3y+11=0的距离为d1+d2的最小值,如图所示,故(d1+d2)min= =3.123456789101112138.若抛物线顶点在原点,对称轴是x轴,点P(-5,2 )到焦点的距离是6,求抛物线的标准方程.解 设焦点为F(a,0),依题意有|PF|= =6,即a2+10a+9=0,解得a=-1或a=-9.当焦点为F(-1,0)时,抛物线开口方向向左,其方程为y2=-4x;当焦点为F(-9,0)时,抛物线开口方向向左,其方程为y2=-36x.综上,抛物线的标准方程为y2=-4x或y2=-36x.123456789101112139.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线上,且|MF|=6,FM的延长线交y轴于点N.若M为线段FN的中点,则p=(　　)A.2 B.4 C.6 D.8D123456789101112131234567891011121310.抛物线y2=16x的焦点到圆C:x2+(y-3)2=1上的点的距离的最小值为(　　)A.0 B.4 C.5 D.6B解析 抛物线y2=16x的焦点为F(4,0),圆C:x2+(y-3)2=1的圆心C(0,3),半径为r=1,|FC|= =5,则抛物线y2=16x的焦点F到圆C上的点的距离的最小值为|FC|-r=5-1=4.故选B.1234567891011121311.在平面直角坐标系Oxy中,圆M:(x-1)2+y2=1,点A(3,1),P为抛物线y2=2x上任意一点(异于原点),过点P作圆M的切线PB,B为切点,则|PA|+|PB|的最小值是　　　　　　. 3解析 设点P(x,y),可得y2=2x,圆M:(x-1)2+y2=1的圆心M(1,0),半径为1,连接PM,如图所示,即|PB|等于点P到y轴的距离.过点A作y轴的垂线,垂足为K,可得A,P,K三点共线时,|PA|+|PB|取得最小值|AK|=3,故|PA|+|PB|的最小值为3.1234567891011121312.设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点.(1)若点P到直线x=-1的距离为d,点A(-1,1),求|PA|+d的最小值;(2)若点B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.解 (1)依题意,抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.由已知及抛物线的定义,可知|PF|=d,于是问题转化为求|PA|+|PF|的最小值.由平面几何知识,知当F,P,A三点共线且P位于A,F中间时,|PA|+|PF|取得最小值,最小值为|AF|= ,即|PA|+d的最小值为 .12345678910111213过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1(如图所示).由抛物线的定义,可知|P1Q|=|P1F|,则|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=3+1=4,所以|PB|+|PF|的最小值为4.1234567891011121313.已知抛物线C:x2=-2py(p>0)的焦点为F,且经过点(2,-1).(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程;(2)过点F作斜率不为0的直线交抛物线C于M,N两点,直线y=-1分别交直线OM,ON于A,B两点,求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.(1)解 因为点(2,-1)在抛物线C上,所以22=-2p×(-1),解得p=2,所以抛物线C的标准方程为x2=-4y,其准线方程为y=1.1234567891011121312345678910111213